有理数的运算技巧分类练习 暑假预习讲义 2023-2024学年人教版七年级数学上册

有理数的运算技巧分类练习
数列运算———等差数列求和、分组求和
知识装备
1.等差数列的概念
等差数列是指从第二项起，每一项与它前一项的 等于同一个 的数列.
2.等差数列的通项公式和求和公式
一个等差数列首项为a ，公差为d，则第n项。 前n项和
二 方法点拨
类型一 等差数列求和
例题 1 计算
(1)3+4+5+6+…+76+77+78
(2)1+3+5+7+…+87+99
(3)4+7+10+13+…+40+43+46
【解析】找准等差数列的首项、公差和项数，运用等差数列的求和公式进行求解.
【答案】
(1)算式中的等差数列一共有76项,所以3+4+5+6+…+76+77+78=(3+78)×76÷2=3078.
(2)算式中的等差数列一共有 50项,所以1+3+5+7+…+87+99=(1+99)×50÷2=2500.
(3)算式中的等差数列一共有15项,所以4+7+10+13+…+40+43+46=(4+46)×15÷2=375.
类型二 分组求和
例题 2 计算
(1)1—2+3—4+…+99—100
(2)1—2—3+4+5—6—7+8+…—2010—2011+2012+2013—2014
【解析】合理分组求和计算.
中小学教育资源及组卷应用平台
【答案】(1) -50. (2) -1.
题型分练
类型一 等差数列求和
计算
(1)1+2+3+4+5+…+100
(2)1+3+5+7+…+97+99+101
(3)100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90
计算
(1)2014+2015+2016+2017+2018+2019+2020
(2)99+198+297+396+495+594+693+792+891+990
(3)1÷50+2÷50+…+98÷50+99÷50
计算
(2)1+2+3+4+5+6+…+(2n-2)+(2n-1)+2n
(3)a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+…+(a+99b)
(4)(8888+8886+8884+…+8002)-(2+4+6+…+888)
类型二 分组求和
计算
(1)1+2+3+…+97+98+99+98+97+…+3+2+1
(2)100-99+98-97+96-95+…+4-3+2-1
(3)199-198+197-196+195-194+…+5-4+3-2+1
(4)100-102+104-106+108-…-198+200
(5)2+4+6+…+2020-(1+3+5+…+2019)
(6)(9292+9290+9288+…+9002)-(2+4+6+…+292)
计算
(1)1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19
(2)1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70
(3)1000+999-998+997+996-995+…+106+105-104+103+102-101
(4)61+692+6993+69994+699995+6999996
计算
(1)2020+2019-2018-2017+2016+2015-2014-2013+…+4+3-2-1
(2)2019+2018+2017-2016-2015-2014+2013+2012+2011-2010-2009-2008+…+9+8+7--6-5-4+3+2+1
(3)1-(1+2)+(1+2+3)-(1+2+3+4)+…-(1+2+…+98)+(1+2+…+99)
技巧运算——裂项、连锁约分、整体换元
一 知识装备
1.分数裂项
对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a2.整数裂项
1×2+2×3+3×4+…+(n--1)n= .
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+(n-2)(n-1)n=
二 方法点拨
类型一 分数裂项
例题1 计算
【解析】分数裂项时注意系数.
【答案】
(1)原式
(2)原式:
类型二 整数裂项
例题2 计算
1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10
【解析】利用整数裂项，可以进行如下变形
【答案】原式
类型三 连锁约分
例题 3 计算
【解析】先利用平方差公式 进行分解，再约分.
【答案】根据题意可知
原式：
类型四 整体换元
例题 4 计算
【解析】将除数看成一个整体，被除数恰好是除数的2倍.
【答案】原式=2.
三 题型分练
类型一 分数裂项
1 计算
计算
计算
类型二 整数裂项
计算
(1)3×4+4×5+5×6+…+19×20+20×21
(2)1×4+4×7+7×10+…+49×52
计算
( 11
3计算
10×16×22+16×22×28+…+70×76×82+76×82×88
类型三 连锁约分
1计算
计算
计算
类型四 整体换元
计算
计算
计算
类型一等差数列求和
1.(1)原式
(2)原式=(1+101)×51÷2=2601.
(3)原式=(100+90)×11÷2=1045.
2.(1)原式=(2014+2020)×7÷2=4034×7÷2=14119.
(2)原式=(99+990)×10÷2=1089×10÷2=5445.
(3)原式=(1+2+3+4+5+…+98+99)÷50
=(1+99)×99÷2÷50=99.
3.(1)原式
(2)原式:=(1+2n)×2n÷2=n(2n+1)=2n +n.
(3)原式=(a+a+99b)×100÷2
=(2a+99b)×50=100a+4950b.
(4)原式
=444×8000
=3552000.
类型二分组求和
1.(1)原式=(1+2+3+…+99)+(98+97+96+…+1)
=9801.
(2)原式=(100-99)+(98-97)+(96-95)+…+(4-3)+(2-1)
=1+1+1+…+1+1=50.
(3)同(2),原式=100.
(4)原式=100+(104-102)+(108-106)+…+(196-194)+(200-198)
=100+2+2+2+…+2=100+50=150.
(5)方法一：等差数列求和.
原式=(2+2020)×1010÷2-(1+2019)×1010÷2
=1010.
方法二：把括号去掉，两两结合，简便计算.
原式=(2-1)+(4-3)+…+(2008-2007)
=1+1+1+…+1+1+1=1004.
(6)同(5),原式=1314000.
2.(1)原式=5.5×5+15.15×5
=(5.5+15.15)×5
=103.25.
(2)把这个数列拆分为两个数列1+4+7+10+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69,对它们分别求和:原式=(1+70)×24÷2+(3+69)×23÷2=1680.
(3)本题也可以按照上题的方法做，但还有更简便的办法，把式子中的减法都计算出来可以得到下式：
1000+1+997+1+…+106+1+103+1.
这是1000+997+…+106+103 和1+1+…+1+1的组合，分别计算结果即可：
原式=(1000+103)×300÷2+1×300=165750.
(4)原式=(70-9)+(700-8)+(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)=7777770-(9+8+7+6+5+4)=7777731.
3.(1)方法一:
原式=(2020+2019-2018-2017)+(2016+2015-2014-2013)+…+(4+3-2-1)
=4+4+…+4=4×505=2020.
方法二：
原式=2020+(2019-2018)-(2017-2016)+(2015-2014)-(2013-2012)+…-(5-4)+(3-2)-1=2020+1-1+1-1+…-1+1-1=2020.
方法三:2020-2018=2019-2017=2016-2014=…=4-2=3-1=2，观察到这一点就好解决问题了，改变原来的运算顺序不难发现每两个数放在一起都是2，就等于说把每一个数都看成1就行了，原式有 2020项，所以最后答案就是2020(让学生体会观察数列的规律，动脑思考的重要性).
(2)从 2019开始,每 6 个数一组,2019+2018+2017-2016-2015-2014=9,以后每一组 6个数加、减后都等于9.2019÷6=336……3.最后剩下三个数3,2,1,3+2+1=6.因此,原式=336×9+6=3030.
(3)原式=1+[1+2+3-(1+2)]+[1+2+3+4+5-(1+2+3+4)]+…+[1+2+3+…+99-(1+2+3+…+98)]
=1+3+5+…+99
=(1+99)×50÷2
=2500.
(4)原式=(1+3+5+7+9+11+13)+
第9 节 技巧运算——裂项、连锁约分、整体换元
类型一分数裂项
1.(1)原式
(2)原式
(3)原式
2.(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
3.(1)原式
(2)原式
类型二整数裂项
1.(1)原式:= ×[3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-
4)+…+19×20×(21-18)+20×21×(22-19)]
=3072.
(2)原式=15572.
2.(1)原式
(2)原式=19503.
3.原式
=2147376.
类型三 连锁约分
1.(1)原式
(2)原式
2. ( 1) 原 式
(2)原式
3.原式
类型四 整体换元
1.(1)设
则原式
(2)原式
2.(1)将31拆开,写成 即可，得到分子整体是分母的2倍关系，所以原式=2.
(2)原式=1.
3.因为
所以,原式=1.