2024年湖南省中考数学真题试卷（含答案）

2024年湖南省中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作　　
A．元 B．元 C．元 D．元
2．据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为　　
A． B． C． D．
3．如图，该纸杯的主视图是　　
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
5．计算的结果是　　
A． B． C．14 D．
6．下列命题中，正确的是　　
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
7．如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
8．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是　　
A．130 B．158 C．160 D．192
9．如图，在中，点，分别为边，的中点．下列结论中，错误的是　　
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”，特别地，当（其中的值为整数时，称“整点” 为“超整点”．已知点在第二象限，下列说法正确的是　　
A．
B．若点为“整点”，则点的个数为3个
C．若点为“超整点”，则点的个数为1个
D．若点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离之和大于10
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．计算：　　．
12．有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是 　　．
13．分式方程的解为 　　．
14．若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 　　．
15．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　．
16．在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长成反比例关系，即为常数，．若某乐器的弦长为0.9米，振动频率为200赫兹，则的值为 　　．
17．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则　　，
18．如图，图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，则点到水平线的距离为 　　分米（结果用含根号的式子表示）．
三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的学生人数为 　　人：
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 　　；
（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．
22．（8分）如图，在四边形中，，点在边上，　　．
请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
23．（9分）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
24．（9分）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米； ③在点处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，，，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）
（1）求线段和的长度；
（2）求底座的底面的面积．
25．（10分）已知二次函数的图象经过点，点，，，是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接，，．若，求证：的值为定值；
（3）如图2，点在第二象限，，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值．
26．（10分）【问题背景】
已知点是半径为的上的定点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，过点作的切线，在直线上取点，使得为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当时，　　；
【问题探究】
（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点，连接，对角线，相交于点．
①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：
②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．
2024年湖南省中考数学试卷参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
2．B
3．A
4．B
5．D
6．A
7．C
8．B
9．D
10．C
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．2024
12．
13．
14．100
15．2
16．180
17．6
18．
三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（6分）解：原式．
20．（6分）解：原式
，
当时，
原式．
21．（8分）解：（1）本次被抽取的学生人数为：（人，
故答案为：100；
（2）“3项”的人数为：（人，
补全条形统计图如下：
（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是，
故答案为：36；
（4）（人，
答：估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数大约为300人．
22．（8分）解：（1）选择①或②，证明如下：
选择①，，
，
，
四边形为平行四边形；
选择②，，，
，
，
四边形为平行四边形；
故答案为：①或②；
（2）由（1）可知，四边形为平行四边形，
，
，
，
，
即线段的长为6．
23．（9分）解：（1）设脐橙树苗的单价为元，黄金贡柚树苗的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元；
（2）设可以购买脐橙树苗棵，则购买黄金贡柚树苗棵，
由题意得：，
解得：，
答：最多可以购买脐橙树苗400棵．
24．（9分）解：（1），的长为4米，，
，
（米；
，
米，
（米；
（2）过点作于点，如图所示：
，
，
米，
米，
米，
底座的底面的面积为：（平方米）．
25．（10分）（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
则，
即抛物线的表达式为：；
（2）证明：为定值，理由：
令，则，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点、、的表达式分别为：，、，、，，
则，
同理可得：，
则为定值；
（3）解：点、的表达式分别为：，、，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则，
故的最大值为：．
26．（10分）（1）解：，，
，
与圆相切，
，
．
故答案为：30．
（2）①证明：四边形是矩形，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
即无论在给定的范围内如何变化，总成立．
②解：是切线，
，
，
．
设，则，，
，，
，，
即点在线段上，
如图，过作，垂足为，则，
，，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，解得，
，，
．
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