2023~2024学年安徽淮北高二上学期期中数学试卷（树人高级中学）（PDF版含解析）

2023~2024学年安徽淮北高二上学期期中数学试卷（树人高级中学）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、复数 是纯虚数，则 （ ）
A.
B.
C.
D.3
3、“ ”是“直线 ： 与 ： 平行”的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4、已知角 的终边过点 .则 （ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知平面向量 ，且 与 的夹角为 ，则 （ ）
A.12
B.16
C.
D.
6、在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.11
7、已知空间直线 、 和平面 满足： ， ， .若点 ，且点 到直线 、 的距离相等，则点 的
轨迹是（ ）
A.直线
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
8、在平面直角坐标系 中，已知点 .若圆 上存在唯一点 ，使
得直线 在 轴上的截距之积为5，则实数 的值为（ ）
A.
B.
C. 和
D. 和
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A.若 ，则曲线C是圆
B.若 ，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C.若 ，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D.曲线C可以是抛物线
10、已知 为数列 前 项和，则下列结论成立的有（ ）
A．若数列 为等比数列，且 ，则数列 为等差数列
B．若数列 为等差数列，若 ，则
C．若数列 为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为 ，且 ，则公差为2
D．若数列 满足 ，且 ，则该数列的前100项和
11、已知双曲线 ，若圆 与双曲线C的渐近线相切，则（ ）
A.双曲线C的实轴长为6
B.双曲线C的离心率
C.点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为 、 ，则
D.直线 与 交于 、 两点，点 为弦 的中点，若 （ 为坐标原点）的斜率为 ，则
12、已知正方体 的棱长为4，正四面体 的棱长为a，则以下说法正确的是
（ ）
A.正方体 的内切球直径为4
B.正方体 的外接球直径为
C.若正四面体 可以放入正方体 内自由旋转，则a的最大值是
D.若正方体 可以放入正四面体 内自由旋转，则a的最小值是
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、与椭圆 有相同焦点且实轴长4的双曲线的方程为 .
14、已知事件 与事件 互斥，如果 ， ，那么 .
15、小明用数列 记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记 ，
当第k天没下过雨时，记 ，他用数列 记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法
为：当预报第k天有雨时，记 ，当预报第k天没有雨时，记 记录完毕后，小明计算出
，那么该月气象台预报准确的总天数为 .
16、已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 ，离心率分别为 ，且 ，若P是两条曲线的一
个交点，则 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且满足
(1)求 ；
(2)若 面积为 ，求 的周长．
18、（本小题12分）
已知 的顶点 ， ，线段AB的垂直平分线的方程为 ．
(1)求直线BC的方程；
(2)若 的外接圆 为圆M，过点 作圆M的切线，求切线方程．
19、（本小题12分）
设公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 在区间 中的项的个数，求数列 前100项的和.
20、（本小题12分）
某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，
60），[60，70），[70，80）， ，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若 成等差数列，且
成绩在区间 内的人数为120．
(1)求a，b，c的值；
(2)估计这500名学生 成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(3)由成绩在区间[90，100]内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间[50，60）内 的学生A，B，其中
3人帮助A，余下的2人帮助B，求甲、乙都帮助A的概率．
21、（本小题12分）
如图，在三棱锥 中， ， ， 为棱 的中点
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若点 在棱 上，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的大小
22、（本小题12分）
如图已知抛物线C的方程为 ，焦点为F，过抛物线内一点A作抛物线准线的垂线，垂足为 ，与
抛物线交于点P，已知 ， ， ，
(1)求p的值；
(2)斜率为k的直 线过点 ，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为 ，探究：是否存
在 ，使得 ，若存在，求出 的范围，若不存在，说明理由.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
D
【分析】
应用集合的并运算求集合.
由题设 .
故选：D
2、
【答 案】
B
【分析】
根据纯虚数的定义列式求解即可.
因为 i是纯虚数，
则 ，解得 .
故选：B.
3、
【答 案】
A
【分析】
由两条直线的一般式方程平行的判定，结合充要条件的定义，对选项进行验证.
时，直线 ： 即 ，与直线 ： 平行，充分性成立；
直线 ： 与 ： 平行，有 ，解得 或 ，
其中 时，两直线重合，舍去，故 ，必要性成立.
“ ”是“直线 ： 与 ： 平行”的充要条件.
故选：A.
4、
【答 案】
C
【分析】
根据角 的终边过点 ，利用三角函数的定义得到 ，然后利用两角差的正弦公式求解.
解：因为角 的终边过点 ，
所以 ，
所以 ，
，
故选：C
5、
【答 案】
C
【分析】
根据数量积的定义可得 ，结合模长公式和数量积的运算律运算求解.
由题意可知： ，
所以 .
故选：C.
6、
【答 案】
A
【分析】
设 ，倒序相加再由等比数列的性质求解.
设 ，
则
，
所以 .
故选：A
7、
【答 案】
C
【分析】
画图分析，根据题意建立等量关系即可得到点 的轨迹是双曲线.
如图：
不妨设 在平面 内射影为 ，则 与 相交， 与 垂直，
设直线 与平面 的距离为 ，则在平面 内，以 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，
则 到 的距离为 ， 到 的距离为 ，从而 到直线 的距离为 ，
所以 ，即 ，故轨迹为双曲线，
故选：C.
8、
【答 案】
C
【分析】
设出 点的坐标，根据直线 在 轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得 的值.
圆 的圆心在直线 上，半径为 ，所以 在圆 外，
设 ，其中 且 ，
直线 的方程为 ，纵截距为 ，
直线 的方程为 ，纵截距为 ，
依题意有 ，整理得 ，
所以 在圆 上，圆心为 ，半径为 .
则圆 与圆 有且只有一个公共点，
则两圆外切或内切，或圆 与圆 相交，且其中一个交点的横坐标
为 ，
当两圆 外切或内切时：
圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 或 ，
前者无解，后者解得 .
当圆 与圆 相交，且其中一个交点的横坐标为 时，
，将 代入 ，
得 .
综上所述， 的值为 或 .
故选：C
关键点睛 ：求直线方程时，可以根据已知条件，利用合适的求法来求，如本题中，已知两点，则可以考虑两点
式，也可以考虑点斜式来求解.圆有关的问题，可考虑方程的思想，如本题中“截距之积”，这就是一个方程，也
即是一个等量关系式，是解题的突破口.
二、多选题
9、
【答 案】
A;C
【分析】
A选项，当 时，曲线 ，表示圆心在原点，
半径为 的圆，所以A无误.
B选项，当 时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，B有误.
C选项，当 时，，曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，C无误.
D选项，由于 是非零实数，所以 的最高次项都是 ，
所以曲线 不可能是抛物线，D有误.
因此正确答案为：AC
10、
【答案 】
ABC
【分析】
略
11、
【答 案】
B;C
【分析】
利用双曲线 的渐近线与圆相切求出 的值，结合离心率公式可判断AB选项的正误；设点 ，则
，结合点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误.
解：由题意知 的渐近线方程为 ，所以 ，
因为 ，则 ，所以双曲线 的实轴长为 ，故A错误；
，所以 ，故B正确；
设 ，则 ， ，故C正确；
设 、 ，则 ，两式作差得 ，
所以， ，故D错误.
故选：BC.
12、
【答案 】
A;C;D
【分析】
求得正方体外接球的直径判断选项A、B，对于C，即正四面体 的外接球小于等于正方体
内切球；对于D，即正方体 的外接球小于等于正四面体 内
切球.
对于A ，正方体 的内切球直径即其棱长，所以直径为4，A正确；
对于B，正方体 的外接球直径即其体对角线，所以直径为 ，B 错误；
正四面体 的棱长为a
因为正四面体 的外接球的球心O到点F、G、H的距离相等，
所以O在平面 BCD内的射影 ，到点F、G、H的距离相等，
又因为在正四面体 中 是正三角形，
所以 是 的中心，进而在正四面体 中，
有 平面 ，所以球心O在高线 上，
同理：球心O也在其它面的高线上，
又正四面体 中各面上的高都 相等，
所以由 得，
点O到正四面体各面的距离相等，
所以点O也是正四面体 的 内切球的球心，
这样正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．
记正四面体 的高为 ，则 .
因此，只要求出其中一个，则另一个也出来了 .
因为在正四面体 中， 是正三 角形， 是其中心，
所以 ，因为 平面 , 平面 ，
所以 ，在 中，由勾股定理，
得 ，所以 ，
解得 ， ，
故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为 .
对于C，若正四面体 可以放入正方体 内自由旋转，即正四面体 的外接
球小于等于正方体 内切球，又由棱长为a的正四面体的外接球半径
，C正确；
对于D，正方体 可以放入正四面体 内自由旋转，即正方体
的外接球小于等于正四面体 内切球，又由棱长为a的正四面体的内切球半径
，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13、
【答案 】
【分析】
根据双曲线焦点位置及 求解即可.
由椭圆 可知双曲线中， ，且焦点在 轴，
又 ， ， ，
所以双曲线方程为 .
故答案为：
14、
【答案 】
/
【分析】
根据互斥得到 ，计算 ，得到答案.
事件 与事件 互斥，则 ， ，
故 .
故答案为： .
15、
【答案 】
【分析】
由题意可知，气象台预报准确时 ，不准确时 ，从而得到 从而得到最终得结果.
由题意可知，气象台预报准确时 ，不准确时 ， ，
设其中有 天准确，即等式左边有 个 ， 个 ，则 ，解得 ，
所以准确天数为 .
故答案为：
16、
【答 案】
【分析】
结合 为椭圆和双曲线的公共点，分别根据定义在椭圆和双曲线里列 和 的关系，表示出 和
，然后结合 ，在 用余弦定理表示 即可.
不妨设椭圆方程为 ，设双曲线的方程为 ，
，
设 P是两条曲线第一象限的一个交点，则有 ， ，所以 ，
，
在 中，
又因为 ，则 ，即 ，即 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
四、解答题
17、
【答 案】
(1)
(2)6
【分析】
（1）根据正弦定理边角互化即可求解，
（2）根据面积公式 ，进而根据余弦 定理可得 ，即可求解.
（1）由 和正弦定理得 ，
，由于 ,故 ，
（2） ，
又
故
周长
18、
【答案 】
(1)
(2) 或
【分析】
（1）先求得 点坐标，然后求得直线 的方程.
（2）根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，根 据点到直线的距离公式求得正确答案.
（1）因为线段AB的垂直平分线的方程为 ，
所以点A，B关于直线 对称．
因为 ，所以 ．
又 ，所以直线BC的方程 为 ．
（2）因为 ， ， ，
所以 外接圆的方程为 ，即 ．
所以圆M的圆心为 ，半径为 ．
当切线的斜率不存在时， 满足题 意．
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ．
因为圆心M到切线的距离 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 ．
综上所述，切线方程为 或 ．
19、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）利用等比数列的基本量运算即得；
（2）根据条件确定 的取值，进而利用 分组求和法即得.
（1）设公比为 ，由 ，得 ，
即 ，得 ，
解得 或 （舍去），得 ，又 ，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
故数列 的通项公式为 .
（2）由 为数列 在区间 中的项的个数，
可知 ， ， .
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， .
∴ .
∴数列 前100项的和为 .
20、
【答 案】
(1) ，
(2)中位数估计为73，平均数73.8
(3)
【分析】
（1）通过题意可得：
又∵ 成等差数列，
∴ 且 ，
解得：
（2）估计中位数设为t，而 的频率为0.41， 的频率为0.71,则 ，
∴ ，
解得： ，即中位数估计为73，
估计平均数为：
．
（3）5人中，将甲、乙分别编号为1,2，其余3人编号 ，
从这5人中选3人帮助A的所以可能结果有：（1，2，3），（1 ，2，4），（1，2，5），
（1，3，4），（1，3，5）（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（ 3，4，5），共10个基
本事件，
其中满足条 件的有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），共3个，
故满足条件的概率为 .
21、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)30°
【分析】
（1）如图，连接 ．∵ ， 为棱 的中点，
∴ ，且 又 ，
∴ ，且 则 ，
则
∵ ， 平面 ，
∴ 平面 ，而 平面 ，
∴平面 平面
（2）建立以 为坐标原点，直线 分别为 轴、 轴、 轴的空间直角坐标系，如图所示，
则
故
设 ，
则
设平面 的法向量为 ，
则
令 ，可得 ，
即
设直线 与平面 所成角为 ，则
∴ ，
解得 或 （舍去），
则平面 的法向量为 ．
易知平面 的一个法向量为 ，
设二面角 为 ，
∴二面角 的大小为30°
22、
【答案 】
(1)
(2)存在， 的范围是 ，
【分析】
（1）根据题目信息可知在 中， ，则根据定义可知 ，再根据 可表示
点 ，代入方程即可求解 的值.
（2）假设过 的直线方程： ，并与抛物线进行联立，求解出 ， .
由于 共线，则可知横坐标成比例，整理关于 的表达式，通过 的范围进行求解.
（1）因为 ， 则在 中， ，
又因为抛物线的定义可知， ，则 ，
又因为 ， ，则可计算 .
代入抛物线方程得： ，整理得 ，则 或 （ 舍）.
（2）
由（1）可知抛物线方程为： ，设 ， ，
斜率为k，过点 的直线方程为： ，
则联立 ，整理得： ，
由韦达定理可得： ， .
所以 ；
又因为 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，即 .
所以 、 同向，所以 .
整理得 ，解得： 或 .
所以存在 ， ，使得 .
方法点睛：圆锥曲线综合题目，只要出现直线与圆锥曲线相交，只需要联立方程，计算韦达定理，然后再分析
题干信息联立求解即可.