课题 直角三角形的性质和判定（2） 共 5课时第 2课时 课型 新课
教学目标 1．知识与技能：掌握勾股定理；学会利用勾股定理进行计算、证明与作图，了解有关勾股定理的历史，在定理的证明中培养学生的拼图能力2. 过程与方法：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；3.情感态度与价值观：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育
重点难点 1、重点：勾股定理及其应用2、难点：：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育
教学策略 观察、比较、合作、交流、探索
教 学 活 动 课前、课中反思
1、新课背景知识复习 （1）三角形的三边关系 （2）问题：直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？ 2、定理的获得 让学生用文字语言将上述问题表述出来． 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方 强调说明： （1）勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边 （2）学生根据上述学习，提出自己的问题（待定） 3、定理的证明方法 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形. 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形,方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形 以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说明定理的应用 例题1、 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝900 ，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长. 解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有 INCLUDEPICTURE "http://www.54jy.net/ja/UploadPic/2006113224436535.gif" \* MERGEFORMATINET ∴ 又 ∠2＝∠C∴CD的长是2.4cm例题2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝900 ，D是BC上任一点， 求证：BD2+CD2=2AD2 证法一：过点A作AE⊥BC于E则在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2 又∵AB＝AC，∠BAC＝900 ∵BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2 =BE2+CE2+2DE2=2AE2+2DE2=2AD2 ∴即BD2+CD2=2AD2 证法二：过点D作DE⊥AB于E， DF⊥AC于F 则DE∥AC，DF∥AB又∵AB＝AC，∠BAC＝900 ∴EB＝ED，FD＝FC＝AE 在Rt△EBD和Rt△FDC中 BD2=BE2+DE2 ,CD2=FD2+FC2 在Rt△AED中，DE2+AE2=AD2 ∴BD2+CD2=2AD25、课堂小结： （1）勾股定理的内容（2）勾股定理的作用已知直角三角形的两边求第三边 已知直角三角形的一边，求另两边的关系6、作业布置 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受
课后反思课题 直角三角形的性质和判定（2） 共 5课时第 3课时 课型 新课
教学目标 1．知识与技能：理解并会证明勾股定理的逆定理；会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数2. 过程与方法：通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力； 通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识能力3.情感态度与价值观：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征
重点难点 1、重点：勾股定理的逆定理及其应用2、难点：：勾股定理的逆定理及其应用
教学策略 观察、比较、合作、交流、探索
教 学 活 动 课前、课中反思
1、新课背景知识复习： 勾股定理的内容、文字叙述、符号表述、图形2、逆定理的获得 （1）让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来 （2）学生自己证明 逆定理：如果三角形的三边长a、b、c 有下面关系：a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形 强调说明：（1）勾股定理及其逆定理的区别 勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理． （2）判定直角三角形的方法：①角为900②垂直③勾股定理的逆定理 2、 定理的应用- 判定由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形。a=6, b=8, c=10;a=12, b=15, c=20. 如图1-21，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17. 求DC的长。 练习：补充：1、 如果一个三角形的三边长分别为a2 =m2-n2 ,b=2mn, c=m2+n2(m＞n)则这三角形是直角三角形 证明：∵ a2+b2=( m2-n2)2 +(2mn)2 =m4+2m2n2+n4 = (m2+n2)2∴a2+b2=c2 ,∠C＝900 2、 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝ ，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积 解：连结AC ∵∠B＝ ，AB＝3，BC＝4 ∴ ∴AC＝5∵ ∴ ∴∠ACD＝900 以上习题，分别由学生先思考，然后回答．师生共同补充完善．（教师做总结） 4、课堂小结： （1）逆定理应用时易出现的错误分不清哪一条边作斜边（最大边） （2）判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用．5、布置作业：补充： 如图，已知：CD⊥AB于D，且有 求证：△ACB为直角三角形 证明：∵CD⊥AB ∴ 又∵ ∴ ∴△ABC为直角三角形 通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力； 通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识能力
课后反思课题 直角三角形的性质和判定（2） 共 5课时第 1课时 课型 新课
教学目标 1．知识与技能：掌握直角三角形的性质“直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”， 掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度”2. 过程与方法：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；3.情感态度与价值观：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育
重点难点 1、重点：直角三角形的性质2、难点：：直角三角形性质的应用
教学策略 观察、比较、合作、交流、探索
教 学 活 动 课前、课中反思
一、 创设情境，导入新课1 直角三角形有哪些性质？(1)两锐角互余；（2）斜边上的中线等于斜边的一半2 按要求画图：（1）画∠MON，使∠MON=30°，(2)在OM上任意取点P，过P作ON的垂线PK，垂足为K，量一量PO,PK的长度，PO,PK有什么关系？(3) 在OM上再取点Q,R，分别过Q,R作ON的垂线QD,RE,垂足分别为D,E，量一量QD，OQ，它们有什么关系？量一量RE,OR，它们有什么关系？由此你发现了什么规律？直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题.二、 合作交流，探究新知1 探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。如图，Rr△ABC中，∠A=30°，BC为什么会等于AB分析：要判断BC= AB,可以考虑取AB的中点，如果如果BD=BC，那么BC=AB，由于∠A=30°,所以∠B=60°,如果BD=BC,则△BDC一定是等边三角形，所以考虑判断△BDC是等边三角形，你会判断吗？由学生完成归纳：直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？ 先让学生交流，得出把△ABC沿着AC翻折，利用等边三角形的性质证明。2 上面定理的逆定理上面问题中，把条件“∠A=30°”与结论“BC=AB”交换，结论还成立吗？学生交流方法（1）取AB的中点，连接CD，判断△BCD是等边三角形，得出∠B=60°,从而∠A=30°（2）沿着AC翻折，利用等边三角形性质得出。（3）你能把上面问题用文字语言表达吗？归纳：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度。三、 应用迁移，巩固提高1、定理应用例1、 在△ABC中，△C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点D,BD=16cm，则AC的长为______例2、 如图在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC,AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.2 实际应用例3、（P5） 在A岛周围20海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30海里，该轮船如果不改变航向，有触礁的危险吗？四、 课堂练习 ，巩固提高五、 反思小结，拓展提高直角三角形有哪些性质？怎样判断一个三角形是直角三角形？六、作业布置： 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受
课后反思课题 直角三角形的性质和判定（2） 共 5 课时第 5 课时 课型 新课
教学目标 1．知识与技能：准确运用勾股定理及逆定理2. 过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决3.情感态度与价值观：培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用
重点难点 1、重点：掌握勾股定理及其逆定理2、难点：正确运用勾股定理及其逆定理
教学策略 观察、比较、合作、交流、探索
教 学 活 动 课前、课中反思
一、1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）A．等腰三角形； B．直角三角形；C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。2. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A.7,24,25 B.3,4,5 C.3,4,5 D.4,7,83．在下列说法中是错误的（ ）A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形.B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形.C．在△ABC中，若a＝c，b＝c，则△ABC为直角三角形.D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形.二 1．将勾股数3，4，5扩大2倍，3 ( http: / / www.21cnjy.com )倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 ， ， . 2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，则△ABC的形状为 。3．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 4．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 .三 师生小结四.用例1、如图，南北向MN为我国领域，即MN以西 ( http: / / www.21cnjy.com )为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC是什么类型的三角形？（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C最早会在什么时间进入？ 例2、已知：在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断△ABC的形状。分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。例3 已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。求证：△ABC是直角三角形。 作业P17习题B组7、8、9题 培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用
课后反思
A
M
E
N
C
B撰
课题 直角三角形的性质和判定（2） 共 5 课时第 4 课时 课型 新课
教学目标 1．知识与技能：准确运用勾股定理及逆定理2. 过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决3.情感态度与价值观：培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用
重点难点 1、重点：掌握勾股定理及其逆定理2、难点：正确运用勾股定理及其逆定理
教学策略 观察、比较、合作、交流、探索
教 学 活 动 课前、课中反思
一、创设情境，激发兴趣教师道白：在一棵树的l0m高的D处有两只猴 ( http: / / www.21cnjy.com )子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？ 评析：如图所示，其 ( http: / / www.21cnjy.com )中一只猴子从D→B→A共走了30m，另一只猴子从D→C→A也共走了30m,且树身垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决． 教师提出问题，引导学生分析问题、明确题意，用化归的思想解决问题． 解：设DC=xm，依题意得：BD+BA=DC+CA CA=30－x，BC=l0＋x在RtnABC中AC' =AB' +BC 即 解之x=5 所以树高为15m. 二、范例学习如图，在5×5的正方形网格中，每个小正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1） 从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2） 画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．教师分析 只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求． 解（1） 图1中AB长度为22．（2） 图2中△ABC、 △ABD就是所要画的等腰三角形．例如图，已知CD＝6m， AD＝8m， ∠ADC＝90°， BC＝24m， AB＝26m．求图中阴影部分的面积．教师分析：课本图14.2.7中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形，这是方向，同学们记住，实际上=－，现在只要明确怎样计算和了。
解 在Rt△ADC中，AC＝AD＋CD＝6＋8＝100（勾股定理）， ∴ AC＝10m．∵ AC＋BC＝10＋24＝676＝AB∴ △ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形），∴ S阴影部分＝Ｓ△ACB－Ｓ△ACD＝1/2×10×24－1/2×6×8＝96（m）．评析：这题应总结出两种思想方法：一是求不规则图形的面积方法“将不规则图化成规则”，二是求面积中，要注意其特殊性.三、课堂小结此课时是运用勾股定理和判定直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的勾股逆定理来解决实际问题，解决这类问题的关键是画出正确的图形，通过数形结合，构造直角三角形，碰到空间曲面上两点间的最短距离间题，一般是化空间问题为平面问题来解决．即将空间曲面展开成平面，然后利用勾股定理及相关知识进行求解，遇到求不规则面积问题，通常应用化归思想，将不规则问题转换成规则何题来解决．解题中，注意辅助线的使用．特别是“经验辅助线”的使用．五、布置作业 经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决
课后反思
