2023~2024学年甘肃庆阳华池县甘肃省华池县第一中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年甘肃庆阳华池县甘肃省华池县第一中学高二上学期期中数
学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知直线 在 轴和 轴上的截距相等，则 的值是
A.1
B.-1
C.-2
D.2
2、已知{an}是等差数列，且 ， ，则该数列的公差是（ ）
A.3
B.
C.－4
D.－14
3、圆 的圆心C的坐标为（ ）
A.（1，0）
B.（－1，0）
C.（2，0）
D.（－2，0）
4、若两条直线 与 平行，则 与 间的距离是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为（ ）
A.4
B.
C.2
D.
6、在等比数列 中， 是方程 的根，则 的值为（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
7、已知 ，若3是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ）
A.
B.7
C.
D.9
8、已知数列 是正项数列， 是数列 的前 项和，且满足 .若 ， 是
数列 的前 项和，则 （ ）
A.
B.
C.
D.1
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、（多选）点 在圆 的内部，则 的取值不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知 是数列 的前 项和， ，则下列结论正确的是（ ）
A.数列 是等比数列
B.数列 是等差数列
C.
D.
11、已知点P在圆 上，点 ， ，则（ ）
A.直线 与圆C相交
B.直线 与圆C相离
C.点P到直线 距离小于5
D.点P到直线 距离大于1
12、已知数列 满足 ， ，记数列 的前 项和为 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知直线 的倾斜角 ，直线 ，则 的倾斜角为 .
14、已知等差数列 满足 ， ，记 表示数列 的前n项和，则当
时，n的取值为 .
15、已知数列 为递减数列，其前 项和 ，则实数 的取值范围是 .
16、已知 为坐标原点，点 在圆 上运动，则线段 的中点 的轨迹方程
为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知直线 经过点 .
(1)当原点 到直线 的距离 最大时，求直线 的方程；
(2)设直线 与坐标轴交于 两点，且 为 的中点 ，求直线 的方程.
18、（本小题12分）
已知等差数列 的前 项和 满足
(1)、求 的通项公式；
(2)、 ，求数列 的前 项和 .
19、（本小题12分）
已知圆C的圆心为原点，且与直线 相切，直线 过点 ， ．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线 与圆C相切， 求直线 的方程．
(3)若直线 被圆C所截得的弦长为 ，求 直线 的方程．
20、（本小题12分）
已知数列 满足 ， .
(1)证明：存在等比数列 ，使 ；
(2)若 ，求满足条件的最大整数 .
21、（本小题12分）
已知以点 为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求证： 的面积为定值.
(2)设直线 与圆C交 于点M，N，若 ，求圆C的方程.
(3)在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l： 和圆C上的动点，求 的最小值.
22、（本小题12分）
已知数列 的前 项和为 ， .数列 满足 ，且点 在直线
上.
(1)求数列 ， 的通项 和 ；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ；
(3)若 ，求对所有的正整数 都有 成立的 的范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
试题分析：由题意得，直线的截距式方程为 ，所以 ，故选A．
考点：直线的截距式方程的应用．
2、
【答 案】
A
【分析】
设数列{an}公差为d，首项为 ，则由 ， 可得关于 和 d的方程组.
设数列{an}
公差为d，首项为 ，则由 ， 可得：
.
故选：A
3、
【答 案】
B
【分析】
圆的一般方程化为圆的标准方程即可求解.
由圆 可得 ，
故圆心坐标为 ,
故选：B
4、
【答 案】
C
【分析】
通过平行的条件求出 , 然后利用平行线直接的距离公式求解即可.
两条直线 与 : 平行, 可得 , 则 与 间的距离是: .
故选: C.
5、
【答 案】
A
【分析】
设数列 的公比为 ，
则 ，得 ，
解得 或 （舍），
所以 .
因此正确答案为：A.
6、
【答 案】
B
【分析】
因为在等比数列 中， 是方程 的根，
所以 ，
所以 ，
由等比数列的性质得 ，
所以 ，
所以 ，
因此正确答案为：B
7、
【答 案】
A
【分析】
通过题意得 ，即 ，所以 ，又 ，所以 ， ，所以
，当且仅当 ，即 ， 时等号
成立．故 的最小值为 ．
因此正确答案为：A
8、
【答 案】
C
【分析】
由 与 的关系式可得 ，由等差数列定义可得 ，即可得 ，由裂项相消
求和可得 ，计算可得 .
由 ，可得 ，
即 ，可得 ，即 ，
令 可得， ，解得 或 ，
又因为数列 是正项数列，所以 ；
可知数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，
所以 ，可得 ，
当 时， 符合 ，所以 ，
，
当 时， 符合 ，
可得 ，
，
因此
.
故选：C
二、多选题
9、
【答 案】
A;D
【分析】
求出实数 的取值范围，即可得出合适的选项.
由已知条件可得 ，即 ，解得 .
故选：AD.
10、
【答案 】
A;C;D
【分析】
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，
.
因此正确答案为：ACD.
11、
【答 案】
B;C
【分析】
利用点到直线的距离公式即可判断直线与圆的位置关系，进而判断选项A和B，再由圆上一点到直线距离的最大
最小值即可判断选项C和D.
解：圆
所以圆心为 ，半径为
因为 ，
所以直线 的方程为 ：
对A，圆心 到直线 的距离为 ，所以直线 与圆C相离，故A错误；
对B，由选项A的分析知，直线 与圆C相离，故B正确；
对C，由选项A的分析知，圆心 到直线 的距离为 ，所以圆上一点 到直线 的距离的最大值
和最小值分别为 和 ，因为 ，所以点P到直线 距离小于5，故C正确；
对D，由选项C的分析知，圆上一点 到直线 的距离的最小值为 ，故D错误.
故选：BC.
12、
【答 案】
C;D
【分析】
解：因为 ， ，
所以 ，故A有误；
， ，所以数列 是以 为周期的周期数列，
所以 ，故B有误；
因为 ， ，
所以 ，故C无误；
，故D无误；
因此正确答案为：CD
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
根据直线与倾斜角之间的关系可得 ，由两直线垂直可得 的倾斜角为 .
由直线 的倾斜角 可得其斜率为 ，
设 的倾斜角为 ，由直线 可得 ，可得 ；
又 ，所以可得 .
所以 的倾斜角为 .
故答案为：
14、
【答案 】
【分析】
，故 ， ，故 ，故 ，
， .
，故 .
因此正确答案为：
15、
【答 案】
【分析】
①当 时， ，
②当 时， ，
∴当 时， ，数列 递减，
综上所述，若使 为递减数列，只需满足 ，即 ，
解得 ，
因此正确答案为 ： .
16、
【答案 】
【分析】
设出中点坐标 ，圆上的点 ，由中点坐标公式把P的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程得答案.
设点 ，点 ，
则 所以
因为点 在圆 上，
所以 ，
所以 ，
所以点M的轨迹方程为
即 ，
故答案为： .
四、解答题
17、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）解：当原点 到直线 的距离最大时，
则当直线 与直线 垂直时，原点 到直线 的距离最大，
， ，
，
，
直线 经过点 ，
，即 ，
故直线 的方程为 ．
（2）解： 直线 与坐标轴交于 ， 两点，且 为 的中点，
不妨设 ， ，
故直线 的方程为 ，即 ．
18、
【答 案】
(1)、
(2)、
【分析】
(1)、设公差为 ，则 ，所以 解得 ，
所以 ，
(2)、 ，所以 = ，所以
+
.
.
19、
【答 案】
(1)
(2) ，或
(3) 或
【分析】
（1）利用点到直线的距离求出半径，即可得到圆C的标准方程；
（2）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，当斜率存在时，设 出直线，利用点到直线距离等于半径求出斜
率，即可求解；
（3）分类讨论直 线斜率不存在与存在的情况，利用圆的垂径定理，列出弦长公式进行求解.
（1）
圆心 ， 到直线 的距离 ，
所以圆 的半径为 ，
所以 ；
（2）
当直线 斜率不存在时，圆心到直线的距离为 ，不相切．
直线斜率存在，设直线 ： ，
由 ，得 或k 所以切线方程为 ，或 ．
（3）
当直线 斜率不存在时， ，直线 被圆 所截得的弦长为 ，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线 ： ，
由 ，解得： ，
故 的方程是 ，即 ，
综上所述，直线 的方程为 或
20、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）利用构造法可得数列 的通项公式，进而确定 ，即可得证；
（2）利用分组求和可得 ，可得 ，即可得解.
（1）由已知 ，
得 ，
所以 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，
所以当 时， ，此时 ，
即 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）由（1）得 ，所以 ，
所以
，
因为 ，
则 ，
即 ，
解得 ，
所以 的最大值为 .
21、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】
（1）根据圆的方程求出A，B的坐标即可证明 的面积为定值；
（2）根据直线 与圆C交于点M，N，结合 ，建立条件关系即可，求圆C的方程；
（3）根据直线和圆相交以及点的对称性即可得到结论.
（1）证明：由题意可得：圆的方程为： ，
可化为 ，
则与坐标轴的交点分别为：
所以 （定值）.
（2）解：因为 ，所以原点O在线段MN的垂直平分线上，
设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，
OC的斜率 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，可得圆心
所以圆C的方程为 .
（3）解：由（ ）可知：圆心 ，半径 ，
点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，
又点 到圆上点Q的最短距离为 ，
则 的最小值为 .
22、
【答 案】
(1) ，
(2)
(3)
【分析】
（1）根据 与 的关系，结合等比数列的定义求 的通项公式，结合等差数列的定义求 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，利用错误相减法分析求解；
（3）由（1）可得： ，根据数列的单调性可得 的最大值为 ，结合题意可得
恒成立，利用基本不等式运算求解.
（1）因为 ，
当 时，则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得 ，
整理得 ，即 ，
可知数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ；
数列 满足 ，点 在直线 上，则 ，
可知数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 .
（2）由（1）可得 ，
则 ，①
，②
① ②得
，
整理得 .
（3）由（1）可得： ，
则 ，
可知数列 为单调递减数列，所以 ，即 的最大值为 .
因为对所有的正整数 都有 都成立，则 ，
又因为 ，可得 恒成立，只需满足 即可.
且 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 .