2023~2024学年广东东莞市麻涌镇嘉荣外国语学校高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年广东东莞市麻涌镇嘉荣外国语学校高二上学期期中数学试
卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、设集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知过点 和 的直线的斜率为 ，则m的值为（ ）
A.
B.0
C.2
D.10
3、已知 ， ， 是空间直角坐标系 中 轴、 轴、 轴正方向上的单位向量，且 ，
，则点 的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知 ， ，则 的最小值是（ ）
A.0
B.1
C.
D.2
5、如果一个正四棱锥的底面边长为6，高为3，那么它的侧面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、如图，二面角 等于135°， ， 是棱 上两点， ， 分别在半平面 ， 内， ， ，且
， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.4
7、在四面体OABC中，E为OA中点， ，若 ， ， ， ，则
（ ）
A.
B.
C.2
D.3
8、如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每
条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得
到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为
，得到数列 .设数列 的前 项和为 ，若 时，则 的最小值为（ ）
（参考数据： ， ）
A.5
B.8
C.10
D.12
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列说法正确的是（ ）
A.截距相等的直线都可以用方程 表示
B.方程 能表示平行 轴的直线
C.经过点 ，倾斜角为 的直线方程为
D.经过两点 的直线方程
10、下列命题正确的是（ ）
A.将棱台的侧棱延长后必交于一点
B.绕直角三角形的一边旋转一周得到的几何体是圆锥
C.若一个球的表面积扩大一倍，则该球的体积扩大 倍
D.在棱长为1的正方体 中，四面体 的体积为
11、下列关于直线 与圆 的说法正确的是（ ）
A.若直线 与圆 相切，则 为定值
B.若 ，则直线 被圆 截得的弦长为定值
C.若 ，则圆上仅有两个点到直线 的距离相等
D.当 时，直线与圆相交
12、如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是
，M为 与 的交点，若 ， ， ，则下列正确的是（ ）
A.
B.
C. 的长为
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知向量 ，向量 ，若 ，则实数 的值为 .
14、正三棱柱 ， ， 在棱 上， 则 与平面 所成的角的余弦
值
15、若a＞0，b＞0，则lg [lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．(选填“≥”“≤”或“＝”)
16、若某直线被两平行线 与 所截得的线段的长为 ，则该直线的倾斜角大小
为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 内角 的对边分别为 ，设 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 的值.
18、（本小题12分）
平面直角坐标系中，已知△ 三个顶点的坐标分别为 ， ， .
(1)求 边所在的直线方程；
(2)求△ 的面积.
19、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，已知圆 的方程为 ， 点的坐标为(3，-3).
（1）求过点 且与圆 相切的直线方程.
（2）已知圆 ，若圆 与圆 的公共弦长为 ，求圆 的方程.
20、（本小题12分）
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC的边长AB=1，侧棱长为 ，P是A1B1的中点，E、F、G分别是
AC，BC，PC的中点．
（1）求FG与BB1所成角的大小；
（2 ）求证：平面EFG∥平面ABB1A1．
21、（本小题12分）
如图，在棱长为 的正方体 中，点 、 、 分别为 ， ， 的中点，点 是正
方形 的中心．
(1）证明： 平面 ；
(2）若平面 和平面 的交线为 ，求二面角 ．
22、（本小题12分）
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， // ， ， ，
，E为 的中点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)记 的中点为N，若M在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
解不等式确定集合 ，然后由交集定义得结论．
，所 以 ．
故选：C．
2、
【答 案】
A
【分析】
利用直线的斜率公式求解即可.
解： 过点 和 的直线的斜率为 ，
，解得 ，
故选：A.
3、
【答 案】
D
【分析】
由题设易知 ， ，由 ，设 结合空间向量线性运算的坐
标表示求 的坐标.
由题设知： ， ，
∴ ，若 ，则 ，易得 ，
∴ .
故选：D
4、
【答 案】
C
【分析】
求出 的坐标，再根据模的计算公式表示出 ，最后根据二次函数的性质求解.
= ,
则 = = = ，
所以当 时
故选：C
5、
【答 案】
B
【分析】
根据正棱锥的几何结构特征，求得斜高，结合正棱锥的侧面积公式，即可求解.
如图所示，连接 交于点 ，取 的中点 ，分别连接 ，
因为四棱锥 为正四棱锥，所以 底面 ，且 ，
在等腰 中， 为 的中点，所以 ，即 为正四棱锥的斜 高，
在直角 中， ，可得 ，
所以正四棱锥 的侧面积为 .
故选：B.
6、
【答 案】
C
【分析】
依题意，可得 ，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可.
由二面角的平面角的定义知 ，
所以 ，
由 ， ，得 ， ，
又因为 ，
所以
，
所以 ，即 ．
故选：C.
7、
【答 案】
B
【分析】
利用空间向量线性运算的几何表示及空间向量基本定理求出 ，利用对数的运算即可得出结论．
由题意，
，
又 ， 不共面，
则 ，
所以 .
故选：B.
8、
【答 案】
C
【分析】
观察图形可知周长形成的数列 是首项 ，公比为 的等比数列，即可求出 与 ，从而得到关于 的
不等式，解得即可..
观察图形知，各个图 形的周长依次排成一列构成数列 ，
从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的 倍，边长是相邻前一个图形的 ，
因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的 ，即有 ，
因此数列 是首项 ，公比为 的等比数列， ，
数列 的前 项和为 ，
若 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以 ，又 为正整数，所以 的最小值为 .
故选：C
二、多选题
9、
【答 案】
B;D
【分析】
对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于 轴的直线，斜率不存在，令 ，可得答
案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否
相等进行讨论，可得答案.
A 对于 ，当直线的截距不为零时，截距相等的直线可用方程 ，当截距是零时，不可用，故A错误；
对于B，当时 ，方程为 ，此时所表示的直线与 轴平行，故B正确；
对于C，当时 ， 不存在，此时直线方程为 ，故C错误；
对于D，当 时，由斜率公式，可得 ，可整理为
；
当时 ，方程 可整理为 ；故D正确.
故选：BD.
10、
【答案 】
A;D
【分析】
由棱台的定义可判断选项A是否正确，由圆锥的定义可考查B中所得的几何体是否是圆锥，结合球的表面积公式
和体积公式计算体积扩大的大小即可判断C，利用空间几何体的结构特征即可计算D中四面体的体积.
对A，由棱台的定义可知将棱台的侧棱延长后必交于一点，故A正确；
对B，绕直角三角形的直角边一边旋转一周得到的几何体是圆锥，绕直 角三角形的斜边一边旋转一周得到的几
何体是两个圆锥的组合体，故B错误；
对C，设球的半径为 ，扩大之后的半径 为 ，若表面积扩大一倍，则 ，解得 ，则该球
扩大之后的体积为 ，所以扩大了 倍，故C错误；
对D，在棱长为1的正方体 中，四面体 为正方体截去四个三棱锥之后的几何体，
其体积为 ，故D正确.
故选：AD.
11、
【答 案】
A;B;D
【分析】
计算圆心到直线的距离，利用几何法可判断AC选项的正误，求出弦长可判断B选项的正误；根据直线过圆内定
点 判断D．
圆 的圆心为 ，半径为1，
对于A选项，若 与圆 相切，
则 ，可得 ，A正确；
对于B选项，若 ，圆心到直线的距离为 ，此时直线被圆截得的弦长为
，B正确；
对于C选项，因为 ，圆心到直线的距离为 ，此时圆上有3个点到直线 的
距离相等，C错误；
对于D选项，当 时，直线的方程为 ，即直线过定点 ，又因为 ，可得点
在圆内，故直线与圆相交，D正确．
故选：ABD．
12、
【答 案】
A;B;D
【分析】
根据空间向量的加法运算可判断A，B；根据向量模长的计算公式求得 判断C；根据空间向量的夹角公式
求出 可判断D.
对于A， ，A正确；
对于B，
，B正确；
对于C， ，故 ，
故 ，C错误；
对于D， ，
故 ，D正确，
故选：ABD
三、填空题
13、
【答 案】
2
【分析】
根据 ，由 求解.
因为向量 ，向量 ，且 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为：2
14、
【答案 】
【分析】
首先取 的中点 ， 为 轴， 的垂线为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，然后根据空间向量求解
直线 与平面 所成的角的正弦值即可.
取 的中点 ， 为 轴， 的垂线为 轴， 为 轴，如图，建立空间直角坐标系.
在正三棱柱 中， ， 在棱 上，且 ，
则 ， ， ，
平面 的法向量可以为： ， ，
则 与平面 所成的角的正弦值为： .
故 与平面 所成的角的余弦值为： .
故答案为： .
15、
【答 案】
≥
【分析】
先化简 [lg(1＋a)＋lg(1＋b)]＝lg ，再化简lg ＝lg ，再比较大小得
解.
[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]＝ lg[(1＋a)(1＋b)]＝lg ，
lg ＝lg .
∵a＞0，b＞0，∴a＋1＞0，b＋1＞0.
∴ ≤ ＝ .
∴lg ≥lg ，
即lg ≥ [lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
故答案为≥
本题主要考 查对数的运算和基本不等式，考查比较法和对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水
平和分析推理能力.
16、
【答案 】
和
【分析】
先计算两平行直线的距离，再由截得的线段长为 ，可得直线 与直线 之间的夹角，从而可得答案.
因为直线 ： 与 ： 平行，
所以 与 之间的距离 ．
设直线 与 ， 的夹角为 （ ），
因为直线 被直线 与 截得的线段长 ，
所以 ，解得 ．
因为直线 ， 的斜率为1，所以其倾斜角为 ，
所以直线 的倾斜角 的值为 和 ．
故答案为： 和 .
四、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的
面积公式可得 ，结合余弦定理即可得到结果.
（1）原式化简可得： ，
整理得： ，
由正弦定理可得： ，
因此三角形的内角 ；
（2） ，
，
，
.
18、
【答案 】
(1) ；
(2)5.
【分析】
（1）直线 的斜率 ，故直线 的方程为 ，
即 .
（2）点A到直线 的距离 ，
又 ，
则△ 的面积 .
19、
【答 案】
（1）过点 且与圆 相切的直线方程为： 或 ；（2）圆 的方程为
或 .
【分析】
（1）当直线 的斜率不存在时，显然成立，当直线 的斜率存在时，设切线方程为： ，利用圆
心到直线的距离等于半径列出方程，解出 得到直线；
（2）两圆方程相减得出公共弦所在直线方程 ，由点线距 公式求出 到直线 的距离为 ，利用勾股定理列方程求
出 ，可得圆 的方程．
（1）当直线 的斜率不存 在时，显然直线 与圆 相切，
当直线 的斜率存在时，设切线方程为： ，
圆心到直线的距离等于半径 ，解得 ，
切线方程为： ，
综上，过点 且与圆 相切的 直线方程为： 或 .
2 （ ）圆 与圆 ，
相减得圆 与圆 的公共弦所在直线方程 ，
圆 的圆心为(1，0)， ，
设 到直线 的距离为 ，
∴ ，
又∵圆 与圆 公共弦长为 ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴圆 的方程为 或 .
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，解 决本题的关键点是利用圆的弦长的一
般，圆心到直线的距离和圆的半径组成直角三角形，列出勾股定理解出参数，得到圆的方程，考查学生逻辑思
维能力和计算能力，属于中档题．
20、
【答案 】
（1）30°； （2）见解析.
【分析】
（1）连接 ，可得 ，则 与 所成角即为 与 所成角．然后求解三角形得答案；
（2）由（1）可得，直线 平面 ，再证明 ，由面面平行的判定可得平面 平 面
．
（1）解：连 接PB，
∵G，F分别是PC，BC的中点，∴GF∥BP，
∴PB与BB1所成角即为FG与BB1所成角．
在Rt△PB1B中，由PB ，BB ，
PB
可得tan PBB ，
BB
∴FG与BB1所成角的大小为30°；
（2 ）证明：由（1）可得，直线FG∥平面ABB1A1，
∵E是AC 的中点，∴EF∥AB，
∵AB 平面ABB1A1，EF 平
面ABB1A1，
∴EF∥平面ABB A 1 1，
∵EF与FG EF 相交， 平面EFG，GF 平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABB 1A1．
本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了异面直线所成角的求法，是中档题．
21、
【答案 】
（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）连接 ， ，
点 、 、 分别为 的中点， ，
平面 ，
平面 ；
同理， 平面 ，
又 ，且 平面 ， 平面 ，
所以，平面 平面 ，
点 是正方形 的中心，
平面 ，
平面 ；
（2）以 为坐标原点建立如图所示的空间指标系，
则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，
可得 ，
令 ，则 ，
取平面 的法向量为 ，
则 ，
所以二面角 的大小为 .
22、
【答 案】
(1)证明见解析；
(2)2或
【分析】
（1）连接 ，由勾股定理证得 ，由等腰三角形得性质证得 ，再结合线面垂直得判定定理即
可得证；
（2）建立 空间直角坐标系，求得平面 的法向量，设 ，利用空间向量的夹角公式求出余
弦值，进而列出方程，解之即可.
(1)
连接 ，∵ ， ，∴ 且
∴四边形 为平行四边形；
∵ 且E为 的中点，∴ ，
所以 ，
∴ ，∴ ，即 ，
又∵ ，∴ 平面
(2)
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则
,
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，取
设 ，则 ，而 ，所以 ，
∵平面 的法向量为 ，设直线 与平面 所成的角为 ，
则
化简得 ，解得： 或 ，满足
故线段 的长度为2或 ．