2023~2024学年广东佛山高二上学期期中数学试卷（超盈实验中学第三次（二））（PDF版含解析）

2023~2024学年广东佛山高二上学期期中数学试卷（超盈实验中学第三次
（二））
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知 ，若 ，则 （ ）
A.4
B.6
C.5
D.3
2、倾斜角为120°的直线经过点 和 ，则a =（ ）
A.0
B.2
C.
D.
3、从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生的概率为（ ）
A.0.6
B.0.5
C.0.4
D.0.3
4、直线 和 ，若 ，则 与 之间的距离
A.
B.
C.
D.
5、“加上一个参数给椭圆，它的形状会有美妙的变化”欧几里得如是说，而这个参数就是椭圆的离心率.若椭圆
的离心率为 ，则该椭圆的长轴长为（ ）
A.8
B.2或4
C.1或4
D.4或8
6、已知线段AB的端点B的坐标是 ，端点 在圆 上运动，则线段AB的中点M的轨迹
方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、如图，在斜三棱柱 中，M为BC的中点，N为 靠近 的三等分点，设 ，
， ，则用 ， ， 表示 为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、若直线 与曲线 有两个交点，则实数 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知空间中三点 ， ， ，则下列结论错误的是（ ）
A. 与 是共线向量
B.与 同向的单位向量是
C. 与 夹角的余弦值是
D.平面 的一个法向量是
10、下列说法错误的是（ ）
A.直线 的倾斜角 的取值范围是
B.“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
C.过 两点的所有直线的方程为
D.经过点 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
11、已知直线 与圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A.直线 恒过定点
B.圆 的半径为2
C.存在实数 ，使得直线 与圆 相切
D.直线 被圆 截得的弦长最长为
12、点 是正方体 中侧面正方形 内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正
确的是（ ）
A.满足 的点M的轨迹长度为
B.点M存在无数个位置满足直线 平面
C.在线段 上存在点M，使异面直线 与CD所成的角是30°
D.若E是棱 的中点，平面 与平面 所成锐二面角的正切值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设 为三个随机事件，若A与 是互斥事件， 与 是相互对立事件，且 ，则
.
14、已知 ，则 在 上的投影向量的坐标为 .
15、过圆 上的点 的切线方程为 .
16、如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早季时水
位下降了1米，则此时水面跨度增大到 米．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知菱形 中， ， ， 边所在直线过点 ．求：
(1) 边所在直线的方程；
(2)对角线 所在直线的方 程．
18、（本小题12分）
已知圆 过点 ， ，且圆心 在直线 上．
(1)求圆 的标准方程；
(2)若直线 过点 ，被 圆 所截得的弦长为2，求直线 的方程．
19、（本小题12分）
如图，在三棱柱 中，侧面 是边长为 的正方形， 为矩形， .
(1)求证： 平面ABC；
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点C到平面 的距离.
20、（本小题12分）
甲、乙两位同学参加某项知识竞赛，比赛共有两道题目，已知甲同学答对每道题的概率都为 ，乙同学答对每道
题的概率都为 ，且在比赛中每人各题答题结果互不影响．已知同一道题甲、乙至少一人答对的概率为
，两人都答对的概率为 ．
(1)求 和 的值；
(2)求本次知识竞赛 甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率．
21、（本小题12分）
如图，在棱长为a的正方体 中， 分别是棱 上的动点，且 .
(1)求证： ；
(2)当三棱锥 的 体积取得最大值时，求平面 与平面 的夹角的正切值.
22、（本小题12分）
已知椭圆 的左焦点为 ，点 在 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过 的两条互相垂直 的直线分别交 于 两点和 两点，若 的中点分别为 ，证明：直线
必过定点，并求出此定点坐标．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
由 得 ，
又∵ ， ，
,
解得 ,
因此正确答案 为：A.
2、
【答 案】
A
【分析】
根据直线的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求解.
设直线的斜率为 ， ，
故答案为：A
3、
【答 案】
A
【分析】
5人中任选2人，基本事件共10种，其中2人中恰有一名男生占6种基本事件，可求概率.
设2名男同学为 ，3名女同学为 ，
从以上5名同学中任选2人总共有 共10种可
能，
选中 的2人恰好是一男一女的情况共有共6种可能
则选中的2人恰好是一男一女的概率为0.6，
故选：A.
4、
【答 案】
B
【分析】
因为 ，所以 ，解得 （舍去）， ，因此两条直线方程分别化为
，则 与 之间的距离 ，故选B.
5、
【答 案】
D
【分析】
根据题意，分类讨论m> 和 两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可.
因为椭圆 的离心率为 ，易知 ，
当m> 时，椭圆焦点在 轴上， ， ，
所以 ，解得 ，则 ，所以椭圆的长轴长为 .
当 时，椭圆焦点在 轴上， ， ，
所以 ，得 ，满足题意，此时 ，所以椭圆的长轴长为 .
综上，该椭圆的长轴长为4或8.
故选：D.
6、
【答 案】
D
【分析】
根据相关点法即可由中点坐标公式得 ，将其代入已知圆的方程中即可求解.
设 ，则由中点坐标公式可得 ，将 代入 中得
，
故选：D
7、
【答 案】
A
【分析】
因此正确答案为：A
8、
【答 案】
C
【分析】
曲线 是以 ， 为圆心， 为半径的半圆，如下图所示
直线 是过定点 ， 的直线．
设切线 的斜率为 ，切线 的方程为y ，圆心 ， 到直线 的距离等于半径 ，即
，解得
直线 的斜率为 ， ，
实数 的取值范围是
因此正确答案为
点睛：根据图象结 合题目条件，直线恒过定点，直线与半圆有两个交点，由相切到过点 ，运用点到直线距离
公式即可求出结果
二、多选题
9、
【答 案】
A;C
【分析】
A：利用共线向量定义进行判断；B：与 同向的单位向量 ；C：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平
面 的法向量为 ，则 ，由此能求出结果．
对于A： ，
与 不是共线向量，故A错误；
对于B： ，则与 同向的单位向量是 ，故B正确；
对于C： ，
∴ ，故C错误；
对于D： ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，故D正确．
故选：AC．
10、
【答 案】
B;C;D
【分析】
对于A：直线 的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，因此正确答案为项A说法无误；
对于B：当 时， 与直线 斜率乘积等于 ，两直线互相垂直，所以充分性成
立，若“直线 与直线 互相垂直”则 可得 或 ，所以得不出
，故必要性不成立，“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充分不必要条
件，因此正确答案为项B说法不正确；
对于C：当 或 时，直线的方程为 或 ，此时直线的方程 不成立，
因此正确答案为项C说法不正确；
对于D：当过 且横纵截距都为 时，所求直线方程为 ，当过 且横纵截距相等不为 时，设所
求直线方程为 ，即 ，可得 ，所以直线的方程为 ，因此正确答案为项D
说法不正确；
因此正确答案 为：BCD.
11、
【答 案】
A;B
【分析】
将直线方程变形后得到 ，求出恒过的定点,即可判断A,将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐
标和半径，进而判断B；圆心到直线 的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式即可判断C；当圆心在直线
上，故直线 被圆 截得的弦长为直径4，为最大弦长，即可判断D.
变形为 ，故恒过定点 ，A正确；
变形为 ，圆心 坐标为 ，半径为2,B正确；
令圆心 到直线 的距离 ，
整理得： ，
由 可得 ，方程无解，
故不存在实数 ，使得直线 与圆 相切，C错 误；
若 ，直线方程为 ，圆心 在 直线 上，
故直线 被圆 截得的弦长为直径4，为最大弦长，故D错误．
故选：AB
12、
【答案 】
A;B;D
【分析】
对于A， 平面 ， 平面 ，
，又 四边形 为正方形，
，又 平面 ， ，
平面 ，
点 轨迹即为平面 与平面 的交线，即为 ，
点 轨迹的轨迹长度为 ，A无误；
对于B， ， 平面 ， \n 平面 ，
平面 ，同理可知 平面 ，
又 ， 平面 ，
平面 平面 ，
轨迹为平面 与平面 的交线，即 ，
点 存在无数个位置满足直线 平面 ，B无误 ；
对于C，以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ，
在线段 上存在点M，设 ， ，
则 ， ，
设异面直线 与CD所成的角为 ，又 ，
所以
，
而 ，所以在线段 上不存在点M，使异面直线 与CD所成的角是 ，故C有
误；
对于D，因为 ， ， ，
， ，
设平面 的法向量 ，
，令 ， ，
又平面 的一个法向量 ，
，
，
即平面 与平面 所成锐二面角的正切值为 ，D无误.
因此正确答案为：ABD.
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
先利用对立事件的概率公式求得 的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得 的值.
由 与 是对立事件，可得
由 与 是互斥事件，可得
.
故答案为：
14、
【答案 】
【分析】
利用投影向量的定义，结合空间向量数量积的坐标运算，可得 在 上的投影向量的坐标.
已知空间向量 和 ，
则 在 上的投影向量为
.
故答案为： .
15、
【答案 】
【分析】
求出圆心与切点连线的斜率，而切线与这条直线垂直，由此可得切线斜率．
依题意，圆x2+y2﹣2x+4y﹣5＝0的圆心O坐标为（1，﹣2），
∴直线OP的斜率kOP 3，
∴切线l的斜率k ，
∴圆O过点P的切线方程为：y﹣1 （x﹣1），即x+3y﹣5＝0.
故答案为 ．
本题考查过圆上一点的切线 方程，由过圆心与切点的半径和切线垂直可求得切线斜率，从而得切线方程．
16、
【答 案】
8
【分析】
画出圆拱图示意图，设圆半径为 ,雨季时水位方程 ，解得 ；
旱季时水位方程 ，解得 ，所以此时水面跨度为 .
所以答案为 8.
四、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程；
（2）由互相垂直的直线斜率间关系，以及中点，利用点斜式可得直线 方程.
（1）由已知得直线 // ，
又 ，
边所在直线的方程为： ，
即
（2）由已知得 与 互相垂直平分，
又 ，且 中点为 ，
，
所在直线方程为： ，
即 .
18、
【答案 】
(1) ；
(2) 或 .
【分析】
（1）由圆 过点 ， ，可得圆 的圆心在直线 上，
又圆心 在直线 上，令 可得 ，
所以圆 的圆心为 ,半径为 ，
所以圆 的标准方程为 .
（2）当l斜率不存在时，l的方程为 ，
易知此时被圆C截得的弦长为2，与题意相符 ，所以 ；
当l斜率存在时，设l的方程为 ，
则 ．
又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以直线l的方程为 ．
综上：l的方程为 或 .
19、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解 两平面的夹角余弦值，再由同角三角函数关系可得正弦值；
（3）利用法向量方法求点面距.
（1）因为侧面 为正方形， 为矩形，
所以 ， ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由（1）知， ， ，
由题意知 ， ， ，
所以 即 ，
如图，以 为原点，以 分 别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，连接 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，
则 ；
故所求平面 与平面 所成角的正弦值为 ；
（3）由（1）知平面 的法向量为 ，
，则点 到平面 的距离为 .
故点C到平面 的距离为 .
20、
【答 案】
(1) ,
(2)
【分析】
（1）根据设 “甲同学答对该题”， “乙甲同学答对该题”，再根据所给概率列式求解即可；
（2）设m，n分别表示甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得所求概率为
，再分别计算求和即可.
（1）设 “甲同学答对该题”， “乙甲同学答对该题”，
则 ．
由于二人答题互不影响，且 每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，
所以 ， ，
即 ，解得 ．
（2）设m，n分别表示甲、乙两位同学答对的题目数，由题意得，所求概率为
．
21、
【答 案】
(1)证明见解析.
(2) .
【分析】
（1）不妨设 ，以C为原点， 为单位正交基底建立如图空间直角坐标系.
则 ,
， ， ,
则 ,
，故 .
（2）由（1）知 ,而 ，
故当 取到最大值时，三棱锥 的体积取得最大值，
，
当 时， 有最大值，即三棱锥 的体积取得最大值，
取 为平面 的法向量，
, ,
设 为平面EFB’的法向量，则 ，
即 ，令 ，则 ，所以 ，
令平面 与平面 的夹角为 ，
则 cos ，
tan ，
平面 与平面 的夹角的正切值为 .
22、
【答 案】
(1)
(2) ，证明见解析
【分析】
（1）确定焦点得到 ，解得 ， ，得到椭圆方程.
（2）考虑斜率存在和不存在的情况，设出直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定中点坐标
得到直线 的方程，取 代入计算得到答案.
（1）椭圆的左焦点为 ， ，则右焦点为 ，点 在椭圆上，
取 得到 ，即 ，又 ，
解得 ， ，（舍去负值），故椭圆方程为 ，
（2）当两条直线斜率存在时，设 的直线方程为 ， ， ，
则 ，整理得到 ，
，
故 ， ，即 ，
同理可得： ，则 ，
故直线 的方程为： ，
取 ，
.
故直线过定点 .
当有直线斜率不存在时， 为 轴，过点 .
综上所述：直线 必过定点
关键点睛：本题考查了椭圆方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用
设而不求的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，是解题的关键，此方法是考查的重点，需要熟练掌握.