2023~2024学年广东揭阳高二上学期期中数学试卷（第一中学榕江新城学校）（PDF版含解析）

2023~2024学年广东揭阳高二上学期期中数学试卷（第一中学榕江新城学
校）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部（ ）
A.
B.
C.
D.
2、圆 的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3、若直线 与直线 平行，则 的值为（ ）
A.
B.
C. 或
D.1或
4、已知命题p：“关于x的方程 有实根”，若非p为真命题的充分不必要条件为 ，则实
数m的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知样本数据 ， ， ， ， ，该样本平均数为4，方差为2，现加入一个数4，得到新样本的平均数为
，方差为 ，则（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
6、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： ．它表示：
在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率 ，信道内部的高斯噪
声功率N的大小，其中 叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不
改变带宽W，而将信噪比 从1000提升至16000，则C大约增加了 （ ）
A.10%
B.30%
C.40%
D.60%
7、已知直线 的方程为 ， ，则直线 的倾斜角范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知圆 ，点 是直线 上的动点，若圆 上总存在不同的两点 ，
使得直线 垂直平分 ，则 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若不等式 的解集为R，则实数a的取值可以是（ ）
A.-10
B.-8
C.0
D.2
10、将函数 图象向右平移φ个单位长度后得到函数 的图象，若函数 为奇函
数，则φ的可能值为（ ）
A.
B.
C.
D.
11、圆 和圆 的交点为 ，则有（ ）
A.公共弦 所在直线方程为
B.线段 中垂线方程为
C.公共弦 的长为
D. 为圆 上一动点，则 到直线 距离的最大值为
12、已知直线 ， R ，圆 ，则下列选项正确的为（）
A.圆心E到直线l的距离的最大值为5
B.圆E和直线l相交，所得的弦的长度取最小值时，l的方程为
C.圆E和直线l相交，所得的弦的长度的最大值为9
D.圆E被直线l分成两段圆弧，当大小两段圆弧的长度之比为3∶1时，直线l的方程为 或
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、数据：2，5，7，9，11，8，7，8，10中的第80百分位数是 .
14、已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 .
15、函数 的最小值是 .
16、已知直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知向量 ， ．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)若 （ ），求 的值．
18、（本小题12分）
在 中，已知角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，且 ，求 的周长.
19、（本小题12分）
在 中，已知 ， ， ．
（1）求边 上的中线所在的直线方程；
（2）求 边上的高 的长．
20、（本小题12分）
如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ， ， ， 为
的中点， 为棱 上的一点.
（1）证明：面 面 ；
（2）当 为 中点时，求二面角 余弦值.
21、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，已知圆 的方程为 ，圆 过点 ，且与圆 外切于
点 .
(1)求圆 的方程；
(2)设斜率为2的直线 分别交 轴负半轴和 轴正半轴于 ， 两点，交圆 在第二象限的部分于 ， 两点.若
与 的面积相等，求直线 的方程.
22、（本小题12分）
如图所示， 、 分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中 为 、 的交点.若 、 两点分别为该
市1路公交车的起点站和终点站，且 、 之间的公交线路是圆心在 上的一段圆弧，站点 到直线 、 的距离
分别为 和 ，站点 到直线 、 的距离分别为 和 .
(1)建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程；
(2)为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道 上 选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境
问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点 ）在点 上方，且点 到点 的距离 大于 且小于
，并要求公交线路（即圆弧 ）上任意一点到游乐场 的距离不小于 ，求游乐场C距点 距离的
最大值.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得 ，则答案可求.
由 ，得 ，
，
则 的虚部为 .
故选：A.
2、
【答 案】
A
【分析】
由于圆 ，所以其圆心坐标为 ，即 ；半径为
+ .
因此正确答案为：A.
3、
【答 案】
C
【分析】
直线 与直线 平行，
, 或 .
因此正确答案为： 或
4、
【答 案】
B
【分析】
根据方程有实根，求出 的取值范围，再结合非p为真命题的充分不必要条件为 ，转化为不等式关系
进行求解即可
解：命题p：“关 于x的方程 有实根”，则 ，得 ，所以非p： ，
因为非p为真命题的充分不必要条件为 ，
所以 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 ，
故选：B
5、
【答 案】
D
【分析】
利用平均数的计算公式以及方差的计算公式，求解新数据的平均数和方差即可求解.
解：因为 ， ， ， ， 的平均数为4，方差为2，所以加入一个数4，得到新样 本的平均数为
，方差为 ，
故选：D.
6、
【答 案】
C
【分析】
把两个信噪比代入 中，然后作商即可解决此题．
解：由题意，可得 ，
所以 大约增加了 ．
故选：C．
7、
【答 案】
B
【分析】
，则 ，
设直线 的倾斜角为 ，
故 ，
所以当 时，直线 的倾斜角 ；
当 时，直线 的倾斜角 ．
综上所述：直线 的倾斜角 ．
故选：B．
8、
【答 案】
A
【分析】
先讨论直线 的斜率不存在和为0时的情况，再根据直线 的斜率存在且不为0，表示出直线 方程，得出
圆心到直线的距离小于半径可求出.
在圆 上总存在不同的两点 使得 垂直平分 ．
若 为直线 与 轴交点，得 ，此时圆 上不存在不 同的两点 满足条件；
若 为直线 与 轴交点，得 ，此时直线 的方程为 ，满足条件， ；
若P不为直线l与坐标轴的交点，则直线 的斜率存在且不为0时，
因为 ，则 ，可得 ，
所以直线 方程为 ，化为 ，
由圆心到直线 的距离 ，得 ，
又因为 ，化为 ，解得： ，且 ；
综上所述： 的取值范围为 ．
故选：A.
二、多选题
9、
【答 案】
A;B;C
【分析】
分类讨论 ，当 时，符合题意；当 时，根据抛物线的开口方向和判别式列式可得结果
解：不等式 的解集为R，
当 时，不等式为 ，恒成立，所 以 符合题意；
当 时， 的解集为R，
则抛物线 的开口只能向下，且 ，即 ，
解得 ，
综上， 的取值范围 ，
故选：ABC
10、
【答 案】
A;C
【分析】
解：函数 图象向右平移φ个单位长度后得到函数
的图象，
因为函数 为奇函数，
所以 ，解得 ，
所以φ的可能值为 或 ，
因此正确答案为：AC
11、
【答 案】
B;D
【分析】
两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A；求出垂直平分线的方程判断B；利用垂径定理计算弦长判断
C；求出圆 到直线的距离的最大值判断D．
圆 的圆心 ，半径 ， 的圆心 ，
半径 ，显然 ，即圆 与圆 相交，
对于A，将方程 与 相减，
得公共弦AB所在直线的方程为 ，即 ，A错误 ；
对于B，由选项A知，直线 的斜率 ，则线段AB中垂线的斜 率为 ，
而线段 中垂线过点 ，于是线段AB中垂线方程为 ，即 ，B正确；
对于C，点 到直线 的距离为 ，
因此 ，C错误；
对于D，P为圆 上一动点，圆心 到直线 的距离为 ，
因此点P到直线AB距离的最大值为 ，D正确．
故选：BD
12、
【答案 】
B;D
【分析】
由已知直线 ， R ，则 ，直线 恒过定点 .
由圆 ，则 ，圆心 ，半径 .
选项A，如下图1所示，，当 时，即 如图 位置时，圆心E到直线l的距离 ，此时 最大，最大值为
，故A有误；
选项B，如下图1所示，，当 时，圆心 E到直线l的距离 的最大，此时弦的长度取最小值，
l的斜率 ，直线l的方程为 即 ,故B无误；
选项C，圆E和直线l相交，所得的弦的长度的最大时是圆 的直径， ，故C有误；
选项D，如下图2所示，，圆E被直线l分成两段圆弧，大小两段圆弧的长度之比为3∶1，劣 弧所对的圆心角为
，又 ，所以圆心E到直线l的距离 ，整理得 ，
解得 或 ，
所以直线l的方程为 或 ，故D无误.
因此正确答案为：BD.
三、填空题
13、
【答 案】
10
【分析】
首先将数据从小到大排列，再按照百分位计算规则计算可得.
将数据按照从小到大顺序排列为：2，5，7，7，8，8，9，10 ，11；
∵共有9个数据， ，∴第80百分位数即为从小到大的第8 个数，
即第80百分位数为10.
故答案为：10.
14、
【答 案】
【分析】
利用椭圆的标准方程和几何性质、一元二次不等式的解法运算即可得解.
解：∵方程 表示焦点在x轴上的椭圆，
∴由 ，解得： 或 ，
∴实数 的取值范围是 .
故答案为： .
15、
【答案 】
【分析】
由函数 的几何意义为点 至 和 的距离之和，结合图形
即可求得.
函数 ，
即为点 至 和 的距离之和，
点 关于 轴对称的点为 ，
所以 ,
由图形易得最小值为 .
故答案为: .
16、
【答案 】
【分析】
通过题意，将已知转化为直线 与曲线 有两个不同的交点，
直线 过定点 ，曲线 表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与 轴
的交点），
画出图形如下 图所示．
当直线 ，即直线 与圆相切时，
则有 ，解得 ， ．
结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有 ，
∴实数 的取值范围是 ．
因此正确答案为： ．
四、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）解： ；
（2）解：
+ + = ；
（3）解：因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 .
18、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）利用二倍角公式化简得到 ，即可得到 ；
（2）根据三角形面积公式和余弦定理列方程得到 ， ，然后借助完全平方公式得到
，即可求三角形周长.
（1）由 ，可得 ，
解得 或 （舍去），
又 ，
.
（2） ，
，
由 得 ，
又由余弦定理 得 ， ，
解得 ，
的周长 为 .
19、
【答案 】
（1） ；（2） ．
【分析】
（1）先求出 的中点坐标，结合点 由两点式可得直线的方程.；
（2）求出直线 的方程，由点到直线的距离公式求点 到 的距离即 可.
（1）因为 ， ，所以 的中点为
所以边 上的中线所在的直线方程为 ，即 ；
（2）因为 ， ，所以直线 的方程为： ，
整理可得： ，
设 到 的距离为 ，所以 .
20、
【答 案】
（1）证明见解析；（2） .
【分析】
证明：（1）因为底面 为正方形，所以
又因为 ， ，满足 ，
所以
又 ， 面 ， 面 ，
，
所以 面 .
又因为 面 ，所以，面 面 .
（2）由（1）知 ， ， 两两垂直，以 为坐 标原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴建系如下图所
示，
则 ， ， , ， 则 ， .
所以 ， ， ， ，
设面 法向量为 ，则由 得 ，
令 得 ， ，即 ；
同理，设面 的法向量为 ，
则由 得 ，
令 得 ， ，即 ，
所以 ，
设二面角 的大小为 ，则
所以二面角 余弦值为 .
21、
【答 案】
(1) ；
(2) .
【分析】
（1）由题知圆 的圆心在直线 上，进而根据题意，待定系数求解即可；
（2）设直线 的方程为 （ ），根据 与 的面积相 等得 ，
进而 ， 的中点重合且为 ，在结合 求解即可.
（1）解：设圆 的方程为 （ ），
因为圆 的方程为 ，
所以，圆 的的圆心坐标为 ，
因为圆 与圆 外切于点 ，
所以，圆 的圆心在直线 上，
因为直线 的方程为 ，
所以，
因为圆 过点 ，且与圆 外切于点 ，
所以 ,解得 ， ， ，
所以圆 的方程为 ；
（2）解：设直线 的方程为 （ ），则 ， ，
因为圆 的方程为 ，
所以，圆 与 轴正半轴的交点的坐标为 ，
因为直线 交圆 在第二象限的部分于 ， 两点，
所以，圆心 到直线 的距离满足 且 ，
所以，
因为 与 的面积相等，则 ，
所以 ， 的中点重合.
所以 的中点
因为 ， ，
所以， ，即 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
22、
【答 案】
(1) （ ， ）
(2)
【分析】
（1）由题意建立适当的直角坐标系，可以用待定系数法来确定圆弧的方程 .
（2）由题意 ，结合 可得 对任意
的 恒成立，从而即可求得 的范围.
（1）以 为坐标原点，直线 、 分别为 轴和 轴建立平面直角坐标系如图所示，
则由题意 ， ，设圆弧 所在圆的方程为 ，
又因为 、 之间的公交线路是圆心在 上的一段圆弧，
所以 ，解得 ，
故公交线路所在圆弧的方程为 （ ， ）.
（2）如图所示：
因为游乐场距点 的距离为 ，所以 ，
设 为公交线路上任意一点，
则 （ ， ），即 ，
且 ，对公交线路上任意点 均成立，
整理得， 对任意的 恒成立，
令 ，因为 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，解得 或 ，
又 ，故 ，
即游乐场C距点 距离的最大值 为 .
关键点睛：第一问比较常规用待定系数 法来做就可以了，第二问的关键是结合两点间的距离公式把问题转换为
恒成立问题来做.