八年级数学上册试题 第15章《轴对称与等腰三角形》章节测试卷-沪科版（含解析）

第15章《轴对称与等腰三角形》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形中，为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为第一象限内的格点，若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，连接CP，若∠BPC＝，则∠NAP的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是一段长方形纸带，∠DEF=21°，将纸带沿EF折叠成图，再沿BF折叠成图，则图中的∠CFE的度数为（　　）
A．107° B．112° C．117° D．128°
5．已知，是等边三角形．点D是边上的一个动点，点E是边上的一个动点，且，与交于点F．若是等腰三角形，则的度数是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
6．如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（　　）
A．6m B．8m C．110m D．9.6m
7．如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在中，的垂直平分线与边，分别交于点D，E．已知与的周长分别为22cm和14cm，则的长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若点与点关于轴对称，则__________ .
12．如图，在中，，D是中点，点E、F、G是线段上的三个点，若，则图中阴影部分的面积为_______．
13．如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是 __.
14．如图，在中，，D、C、E三点在一条直线上，且，过点C作，且．若，则______________．（用含的式子表示）
15．已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为 ___________．
16．如图，四边形中，对角线平分，，，并且，则的度数为__________．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，已知，
(1)画出关于x轴对称的图形，并写出各顶点坐标；
(2)画出关于y轴对称的图形，并写出各顶点坐标；
(3)求的面积；
(4)在y轴上找到一点P，使点P到点B、点C距离最短，画出图形，写出点P坐标．
18．（6分）如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）？
(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
19．（8分）如图，在2×2的正方形网格中，有一个以格点为顶点的△ABC．
(1)请在同样大小的网格中，画出所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的不同的三角形，并画出对称轴．（说明：每个网格中只画一种情况的图形．）
(2)通过观察（1）中完成的图形，你有哪些数学结论？
20．（8分）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以α cm/s（α＞0且α≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为秒．
(1)若AB＝AC，P在线段BC上，求当α为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？
(2)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？
(3)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为等边三角形？
21．（8分）如图1所示，直线AB交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足．
(1)如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标；
(2)如图2，连接，求证：；
(3)如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，求的值．
22．（8分）已知为等边三角形，边长为8，点D，E分别是边上的动点，以为边作等边．
(1)如图1，若点F落在边上．
①求证：；
②连接交于M点，则__________．
(2)如图1，当为直角三角形时，求的长．
(3)如图2，当时，点G为边的中点，求的最小值．
23．（8分）在中，经过点的直线交边于点，，是直线上一动点，以为边在的左侧作，使且，连接．
(1)如图，求证：；
(2)探究点的运动路径，并直接写出你得到的结论；（提示：尝试取几个不同位置的点，画图探索结论）
(3)当时，若，求的度数．（直接写出答案）
答案解析
选择题
1．D
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】根据轴对称图形的性质作出点，即可得到满足条件的点的个数．
【详解】解：满足条件的点有4个．
故选：B．
3．C
【分析】先根据角平分线的性质得出PF=PH=PE，然后根据角平分线的判定定理得出CP平分∠ACM，在根据三角形外角的性质求出∠BAC的度数，从而可以求出∠NAP的度数．
【详解】解：如图，过P作PE⊥BC，PF⊥BA，PH⊥AC，
∵BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，
∴PF=PH，PF=PE，，
∴PH=PE，
∴CP平分∠ACM，
∴，
∵∠BPC=∠PCM-∠PBC=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AP平分∠NAC，
∴．
故选：C．
4．C
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠EFB=∠DEF，再根据翻折的性质，∠EFB处重叠了3层，然后根据∠CFE=180°-3∠EFB代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵∠DEF=21°，长方形ABCD的对边，
∴∠EFB=∠DEF=21°，由折叠，∠EFB处重叠了3层，
∴∠CFE=180°-3∠EFB=180°-3×21°=117°．
故选：C．
5．B
【分析】由等边三角形的性质得出，由证明，得出 设，则，分三种情况：①若，则，证出，得出的情况不存在； ②若，则，得出方程，解方程即可得出结果； ③若，则，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可得出结果．
【详解】解： 如图，∵是等边三角形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴
设， 则，
若是等腰三角形，分三种情况：
①若，则，
∴，
而，
∴的情况不存在；
②若，则，
∴， 解得：，
∴；
③若，如图所示： 则，
在中，，
∴， 解得：，
∴；
综上所述：的度数是或．
故选B．
6．D
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．
【详解】解：，是的平分线，
垂直平分，
．
过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示．
，
．
故选：D．
7．D
【分析】利用分类讨论的思想，当PB=PC，BP=BC，CP=BC时分别找到点P即可．
【详解】如图所示，l为长方形ABCD的对称轴，即l为AB的垂直平分线，
∴当P在l上时满足PA=PB，
作BC的中垂线交l于，满足；
作BP=BC与l交于、两点，满足，；
作CP=BC与l交于、两点，满足，；
满足题意的点P共5个，
故选：D．
8．A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，．
∵的周长是14cm，
∴cm，
即cm；
∵的周长是22cm，
∴cm，
∴（cm），
∴（cm）．
故选：A
9．C
【分析】根据点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是2×；根据以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是2×；以此类推，得点的纵坐标是，从而得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，
∴∠=90°-60°=30°，=OA=2，
∴＝ ＝2×，即点的纵坐标是2×，
以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，
∴∠=90°-60°=30°，＝＝2×，
∴＝ ＝2××，点的纵坐标是2××，即2×()2，
以为边在右侧作等边三角形，
同理，得点的纵坐标是2×，
按此规律继续作下去，得点的纵坐标是2×，即，
故选：C．
10．C
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFG和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此得出答案；③根据ASA证明△ADF≌△BAH即可判断；④由∠BAE=45°，∠ADC=∠BAH=15°，则∠EAH=30°，DF=2EH即可得出．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=60°，∠BAD=90°，AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，
∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，
∴∠ADC=15°，故①正确；
∵AE⊥BD，即∠AED=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠AFG=∠ADC＋∠DAE=60°，∠FAG=45°，
∴∠AGF=75°，
∴△AFG三个内角都不相等，
∴△AFG不是等腰三角形，故②错误；
由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAH=30°，
则∠BAH=∠ADC=15°，
在△ADF和△BAH中，
∠ADF=∠BAH，DA=AB，
∴△ADF≌△BAH（ASA），故③正确；
∵∠ABE=∠EAB=45°，∠ADF=∠BAH=15°，∠DAF=∠ABH=45°，
∴∠EAH=∠EAB－∠BAH=45°－15°=30°，
∴AH=2EH，
∵EH=1，△ADF≌△BAH（ASA）
∴DF=AH，
∴DF=AH=2EH=2，故④正确；
故选：C．
二．填空题
11．
【分析】利用关于x轴对称“横坐标不变，纵坐标互为相反数”求得的值，再进行有理数的加法运算得出答案．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．6
【分析】先根据 “，D是中点”求出，，，再根据得到，同理可得，进而得到，最后求解即可．
【详解】解：∵，D是中点，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，，，
∵在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，
则，
∴
．
13．9cm或cm
【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为xcm，则底边长为cm，再根据两个三角形的周长差是4cm，求出x的值即可.
【详解】解：如图所示，等腰中，，点D为的中点，设cm，
∵点D为的中点，
∴cm，，
当的周长大于的周长时，
，即，
解得，
∴底边长为（cm）；
当的周长大于的周长时，
则，即，
解得，
底边长为（cm）.
综上所述，这个等腰三角形的底边长为9cm或cm，
故答案为：9cm或cm.
14．
【分析】连接，，先证明, 再证,可得到是等腰直角三角形，则，再证，得是等腰直角三角形，得，由可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴（AAS）,
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（SAS）,
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴（SAS）,
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．想办法证明，推出，推出即可解决问题．
【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】过点D分别作的三条垂线，利用角平分线的性质，然后再证明，推出，再根据三角形内角和定理，推出，从而得到的度数．
【详解】解：过点D作于点E，于点F，于点G，
对角线平分，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
=，
，
，
即，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题
17．（1）是所求的三角形，，，
（2）是所求的三角形，，
（3）
（4）如图
18．（1）解：作出的垂直平分线与的交点，交点M即为厂址所在位置；
（2）如图所示：作点关于直线的对称点，再连接交于点，点即为所求．
19．（1）图形如图所示：
（2）轴对称图形是全等图形，对应点的连线被对称轴垂直平分．
20．（1）
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又点P与点Q同时出发，但速度不同，
∴
∴当BP=CP，BD=CQ时，△BPD≌△CQP，则
2=16-2，
解得．
又点D是AB的中点，
∴CQ=BD=10，
∴4α=10，
解得α=2.5（cm/s）
（2）
分两种情况讨论：
①当∠BPD=90°时，又∠B=60°，∴∠BDP=30°
∴
②当∠BDP=90°时，又∠B=60°，
∴∠BPD=30°
∴，解得：
∴出发2.5S或10S时，△BPD为直角三角形．
（3）
当BD=BP时，又∠B=，△BPD为等边三角形
∴，
解得
∴当时，△BPD为等边三角形
21．（1）解：∵，
∴，，
解得，，，
则，
∵C的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴点P坐标为，
故答案为：．
（2）证明：过点O作于点E，于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴平分，
∵，
∴．
（3）解：连接，如图所示：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
22．（1）①证明∶ ∵为等边三角形，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解∶由①得：，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
（2）解：如图，
当时，
由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴BE＝；
如图2，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或；
（3）解：如图3，
设，
∴，
在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
∴，
作射线，
如图4，
在中，，
取的中点M，连接，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线，
即：F点在的角平分线上运动，
作于，此时，最小；
∵G是的中点，
∴，
∴．
故的最小值为2．
23．（1）解，如图
，
∴，
即，
在与中，
∴，
∴；
（2）解：如图1，
如图1，取的中点为，连接，
由(1)得，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点的运动路径为过点且垂直于的直线；
（3）如图2，取的中点为，连接，设，
当点在的上方时，如图2，
由（1）（2）得，
∴，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
当点在的下方时，如图3
由（1）（2）得，，，
∴
，
，
在中，，
∴，
∴，
，
在中，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的度数为或．