沪科版九年级数学上册试题 第22章相似形章节检测卷（含答案）

第22章《相似形》章节检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
2．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A． B．点C，O，在同一直线上
C． D．
3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
4．是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A. B．
C． D．
5．下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中和的顶点都在小正方形的顶点上，则与一定相似的图形是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ）
A．或 B．15 C． D．
7．如图，在中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（ ）
A． B．2 C．3 D．4
8．如图，在中，，中线，相交于点．，交于点．，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
9．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG、AE．则下列结论：①OG=AB； ②四边形ABDE是菱形；③；其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如图，在平面直角坐标系中，，，，，将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，则的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3则DF＝___．
12．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__．
13．将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若AB=2AD，则的值为________.
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是___；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是___．
15．如图，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB点D，点M是AC一动点（AM＜AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F，则CD的长度是__________；若ME//CD，则AM的长度是___________；
16．如图，菱形的四个顶点位于坐标轴上，对角线，交于原点，线段的中点的坐标为，是菱形边上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是________．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．
（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之间的等量关系；
②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．
18．（6分）已知：.
（1）求代数式的值；
（2）如果，求的值.
19．（8分）如图，在的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
(1)如图1，作一条线段，使它是向右平移一格后的图形；
(2)如图2，作一个轴对称图形，使和是它的两条边；
(3)如图3，作一个与相似的三角形，相似比不等于1．
20．（8分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．

21．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2；
（2）△A1B1C1的面积是　 　平方单位．
（3）点P（a，b）为△ABC内一点，则在△A1B1C1内的对应点P’的坐标为　 　．
22．（8分）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为　　；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
23．（8分）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
答案解析
一．选择题
1．D
【详解】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
2．C
【分析】根据位似图形的性质进行判断即可得．
【详解】解：以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
、点在同一直线上、、，
，
即选项A、B、D说法正确，选项C说法错误，
故选：C．
3．D
【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．
【详解】如图：由题意可知，，，
∴，
而，
∴四边形DCBM为平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
4．A
【分析】根据黄金分割的特点即可求解．
【详解】∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P点是黄金分割点，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5．A
【分析】由已知根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
【详解】解：已知每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成．
A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠CDE，
BC=DC=，
∴，，
∴△ABC∽△CDE；
B：△ABC为等腰三角形，则△CDE不是等腰三角形，所以不相似；
C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，对应角不相等，所以不相似；
D：，，
∴，所以不相似．
故选：A．
6．A
【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．
【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，
若m是斜边，则；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，
若n是斜边，则；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m= 和n=不能同时取，
即当m=5，，，
当，n=10，，
故选：A．
7．C
【分析】过点D作交BC于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是BD的中点，可得BE=EF，进而解答即可．
【详解】解：过点D作交BC于F，如图，
∵，
∴，
∵O是BD的中点，
∴BO=OD，
∴BE=EF，
∵，
∴，
∴CF=2EF，
∴BE:EC=BE:3BE=1:3，
∵BE=1，
∴EC=3，
故选：C．
8．D
【分析】首先根据GE∥CD得到△AGF∽△ADC、△FEG∽△FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜边的中线性质得出结果．
【详解】解：∵GE∥CD，
∴△AGE∽△ADC，△FEG∽△FBD，
∴ ，
∴,
又∵BD=CD，
∴，
∴DF=2GF=2，
∴DG=DF+GF=3
∴AD=2DG=6，
在直角△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=2AD=12，
故选D．
9．D
【分析】证明四边形ABDE为平行四边形可得OB=OD，由菱形ABCD可得AG=DG，根据三角形中位线定理可判断①；根据等边三角形的性质和判定可得△ABD为等边三角形AB=BD，从而可判断平行四边形ABDE是菱形，由此判断②；借助相似三角形的性质和判定，三角形中线有关的面积问题可判断③．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD=AD，OA=OC，OB=OD，
∵CD=DE，
∴AB=DE．
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴BG=EG，AB=DE，AG=DG，
又∵OD=OB，
∴OG是△BDA是中位线，
∴OG=AB，
故①正确；
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△BAD是等边三角形，
∴BD=AB，
∴是菱形，
故②正确；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG=AB，
∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），
∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，
∴S四边形ODGF=S△ABF；
故③正确；
故选：D．
10．A
【分析】由题意可得，的值就是线段的长度，过点作，过点作，根据勾股定理求得的长度，再根据三角形相似求得，矩形的性质得到，即可求解．
【详解】解：由题意可得，的值就是线段的长度，
过点作，过点作，如下图：
∵，
∴，
由勾股定理得
∵
∴，
又∵
∴
∴
∴，即
解得，
∵
∴
∴
∴，即
解得
由题意可知四边形为矩形，∴
故选A
二．填空题
11．7.5
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝5，BD＝3，
∴，即，解得DF＝7.5．
故答案为：7.5．
12．
【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝()2＝，
故答案为： ．
13．
【分析】如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先证明x=3b-2a，利用相似三角形的性质构建关系式，即可解决问题．
【详解】解：如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，
∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，
∴CD=2a-b，
∵KQ=PF，
∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，
∴x=3b-2a，
∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，
∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，
∴∠EFH=∠FTP，
∴△EHF∽△FPT，
∴，
∴，
整理得，3b2-15ab+14a2=0，
∴b=a，
∵4a-2b＞0，
∴＜2，
∴=．
故答案为：．
14． （﹣1，）， （﹣，）．
【分析】先利用矩形的性质写出B点坐标，则根据线段中点坐标公式可写出矩形AOCB的对称中心的坐标；再利用以原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系分别写出B1、B2、B3、B4的坐标，然后矩形A4OC4B4的对称中心的坐标．
【详解】解：∵OA=2．OC=1，
∴B（-2，1），
∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（-1，），
∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，
∴B1（-3，），
同理可得B2（-，），B3（-，），B4（-，），
∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣，）．
故答案为（-1，），（﹣，）．
15． 5 2.5
【分析】（1）根据已知条件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后证明△ABC∽△CBD，进而可以解决问题；
（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，进而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的长，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的长， 再证明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的长．
【详解】（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∵∠B=∠B，
∴ΔBCD∽ΔBAC，
∴BC：AB=BD：BC，
即6：9=BD：6，BD=4，
∴AD=CD=9-4=5；
（2）∵△ADM沿DM折叠得到ΔEDM，
∴AM=EM，∠CAD=∠E，
∵ME//CD，
∴∠E=∠CDE，
∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，
∴DF//BC，且DF=CF，
∴ΔADF∽ΔABC，
∴DF：BC=AD：AB，
即DF：6=5：9，
解得DF=，
∴CF=；
∵DF//BC，
∴AF：CF=AD：BD，
即AF：=5：4，
解得：AF=，
设AM=ME=x，则MF=-x；
∵ME//CD，
∴ΔMEF∽ΔCDF，
∴ME：CD=MF：CF，
即x：5=（-x）：，
解得x=2.5；
故答案：5； 2.5；
16．或或
【分析】根据线段的中点的坐标为，易得，根据菱形的性质与直角三角形的性质，可得菱形的边长，，然后分别从①当时，②当时，③当时去分析求解即可求得答案．
【详解】解：①过点作于，延长交于点，连接，
∵点的坐标为，
∴在中，，，
∴，
∴，
∵点为菱形的边的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴点是线段的中点，点是线段的中点，
∴，，
，，
∴，
∴，
∴；
②过点作于，延长交于点，
∵点为菱形的边的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴点是线段的中点，点是线段的中点，
由①知：，，
∴，，，
∴，
∴；
③过点作于，延长交于点，连接，，
由①知：，，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴点是线段的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
根据题意，菱形关于坐标轴和原点对称，
∴．
综上所述，点的坐标是或或．
三．解答题
17．（1）如图，点F为所求；
（2）①∵△ABC是“和谐三角形”
∴a=2c
又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
联立化简得到a=b+1；
②∵E点是BD中点
∴BE=
由①得到AB=
∴
又∠ABE=∠CBA
∴△ABE∽△CBA
∴
故△ACE是“和谐三角形”．
18．∵
∴设a=2k，b=3k，c=5k，
（1）；
（2）∵
∴6k-3k+5k=24，
∴k=3，
∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.
19．
（1）
解：如图，线段CD即为所求作的线段，
（2）
如图，四边形ABDC是所求作的轴对称图形，
（3）
如图，如图，即为所求作的三角形，
由勾股定理可得： 而
同理： 而
20．（1）∵，
∴=．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴=，
∴==，
∴==；
（2）∵AD∥CB，点E是BC的中点，
∴△EFC∽△DFA．
∴CF：AF=EC：AD=1：2，
∵FG⊥BC，
∴FG//AB，
∴CG：BG=CF：AF=1：2，
∴CG=BG．
21．解：（1）△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积＝4S△ABC＝4×（4×5﹣×3×5﹣×1×3﹣×2×4）＝28，
故答案为：28．
（3）点P（a，b）为△ABC内一点，则在△A1B1C1内的对应点P’的坐标为（2a，2b），
故答案为：（2a，2b）．
22．
解：（1）如图1，设AB＝x，
由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，
∴∠BCF＝∠BDF=90°，
又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴BC=x，
∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，
∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，
∵DE＝AC＝AB＝x，
∴DF＝DE+EF＝（+2）x，
∴，
故答案为：．
（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（+1）x，A5纸短边长为（）x，
∴对A5纸，长边：短边，
∴A4纸与A5纸相似．
23．解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=1m，OE=1m，
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE，
设AB=EB=x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴，
，
解得：x=4．
经检验：x=4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4m．