沪科版九年级数学上册试题 期末综合测试卷（含解析）

期末综合测试卷
一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）
1．如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．如图，在和中，，点A在边的中点上，若，，连结，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
5．如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ）
A.B．
C．D．
7．如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ）
A． B．若实数，则
C． D．当时，
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=（c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（ ）
A． B． C．3 D．
10．如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接.以下四个结论正确的是（ ）
①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时；④当时，.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是_____．
12．定义一种运算；，．例如：当，时， ，则的值为_______．
13．如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为_____
14．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点与（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝_______．（结果用a，b表示）
15．已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且 是边上的一点，连接和 且则长为______．
16．如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______．
三．解答题（共7小题，满分70分）
17．（8分）
18．（8分）如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D．
(1)求k值；
(2)求的面积．
19．（8分）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角，同时量得CD为．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到，参考数据：）
20．（10分）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
21．（10分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．（12分）如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S．
(1)求的长；
(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
23．（14分）在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．
(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
(2)在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
答案解析
一．选择题
1．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故选C．
2．C
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，,
在中，,
∴，
解得，
∴，
故选：C．
3．C
【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．
【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵
∴F是BC的中点，
∴AF⊥BC．
则AF＝AB sin60°＝2．
即的最小值是．
故选：C
4．D
【分析】过点E作EF⊥BC，交CB延长线于点F，过点A作AG⊥BE于点G，根据等腰直角三角形的性质可得，∠BED=45°，进而得到，，，再证得△BEF∽△ABG，可得，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF⊥BC，交CB延长线于点F，过点A作AG⊥BE于点G，
在中，∠BDE=90°，，
∴，∠BED=45°，
∵点A在边的中点上，
∴AD=AE=1，
∴，
∴，
∵∠BED=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵∠ABC=∠F=90°，
∴EF∥AB，
∴∠BEF=∠ABG，
∴△BEF∽△ABG，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故选：D
5．A
【分析】观察图象，先设 ，， ，根据已知条件及证明，得出，利用根与系数的关系知，最后得出答案．
【详解】设 ，， ，
∵二次函数的图象过点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
令，
根据根与系数的关系知，
∴，
故
故选：A．
6．B
【分析】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，
∴∠B＝60°，，，
∵CD⊥AB，
∴，，，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
，，
∴，
当M在BD上时，3＜t≤4，
，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】先根据抛物线对称轴求出，再由抛物线开口向上，得到，则由此即可判断A；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判断B；根据当时，，即可判断C；根据时，直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，即可判断D．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是，
∴，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∴，故A说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，，
∴当实数，则，
∴当实数时，，故B说法正确，不符合题意；
∵当时，，
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；
∵，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴，故D说法正确，不符合题意；
故选C．
8．A
【分析】根据二次函数（a≠0）的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0，然后对照四个选项中的图像判定即可．
【详解】解：因为二次函数的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0，
所以一次函数y=ax+b经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限．
故选：A．
9．D
【分析】延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，根据折叠的正方形的性质得到，在中应用勾股定理求出DE的长度，通过证明，利用相似三角形的性质求出NF和DF的长度，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，
∵，M是AD边上的一点，，
∴，，
∵将沿BM对折至，四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴(HL)，
∴，
∴，
在中，设，则，
根据勾股定理可得，解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
10．D
【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出，然后证，AM=AN，即可证出．
②当MN最小值时，即AM为最小值，当时，AM值最小，利用勾股定理求出，即可得到MN的值．
③当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，利用三角形中位线定理得到，用勾股定理求出，，而菱形ABCD的面积为：，即可得到答案．
④当时，可证，利用相似三角形对应边成比例可得，根据等量代换，最后得到答案．
【详解】解：如图：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，，OA=OC，
∵，
∴，与为等边三角形，
又，
，
∴，
在与中
∴，
∴AM=AN，
即为等边三角形，
故①正确；
∵，
当MN最小值时，即AM为最小值，当时，AM值最小，
∵，
∴
即，
故②正确；
当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
而菱形ABCD的面积为：，
∴，
故③正确，
当时，
∴
∴
∴
∴
故④正确；
故选：D．
二．填空题
11．
【分析】根据余弦的定义解答即可.
【详解】解：在Rt△ABC中，cosA＝＝，
故答案为：.
12．
【分析】根据代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=．
故答案为：．
13．12．
【分析】连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．
【详解】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，
由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，
∴四边形APP′A′是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），
∴PO2，∠AOP＝45°，
又∵AD⊥OP，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴PP′＝22＝4，
∴AD＝DO＝sin45° OA3，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：412．
故答案为：12．
14．a
【分析】设B（m，），A（，n），则P（m，n），阴影部分的面积S△AOB＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．
【详解】解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），
∵点P为曲线C1上的任意一点，
∴mn＝a，
∴阴影部分的面积S△AOB＝mnbb（m）（n）
＝mn﹣b（mn﹣b﹣b）
＝mn﹣bmn+b
a．
故答案为：a．
15．
【分析】将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，利用证明，得，，则，即可解决问题．
【详解】解：将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，
是等腰直角三角形，
∴∠HBD=45°
∵∠FBD=45°
∴点B、F、H共线
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长．
【详解】如解图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴∽
∴
∴，
设为，则，由勾股定理得，
又∵，
∴，
则，
∵且，
∴∽，
∴，
即，
解得，
∴．
∵
∴
∴
∴
故答案为：
三．解答题
17．解：原式．
18．
（1）
解：根据题意可得，
在中，，，
，
，
，，
，
的中点是B，
，
；
（2）
解：当时，，
，
，
．
19．设，
在中，
，得．
在中，
，得．
．
解方程，得．
．
答：烟囱AB的高度为53.2m.
20．解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
②如图，△A2B2C为所作；
③，
点B经过的路径长．
21．（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：（-5x+150）（x-8）=425，
整理得：，
解得：，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意得：
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
22．
（1）
解：∵，，，
∴，
∵，
∴=5，
∴AC=AD+DC=5+3=8；
（2）
解：由（1）得AD=5，
∵AP=x，
∴PD=5-x，
∵过点P作的垂线，与相交于点Q，
∴，
∵，
∴即，
在和中
，
∴，
∴
∴
∵与重叠部分的面积为S
∴的面积为S
即，
∵点P不与点A，D，C重合，
∴，
即．
当在上运动时，如图，设交于点，
则
即
综上所述，
23．
（1）
∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，-2m）．
∵，
∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）．
令x=0，则，
∴．
①当m=2时，-2m=-4，则，
∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②由上可知，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为，
如图，过点P作轴交直线AB于点E．
设点P的横坐标为t，
∴，，
∴，
∴△PAB的面积=，
∵-1＜0，
∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）；
（2）
由（1）可知，B（0，-2m），C（0，-m2+2），
①∵y轴上有一点，点C在线段MB上，
∴需分两种情况讨论：
当时，解得：，
当时，解得：，
∴m的取值范围是或；
②当时，
∵，
∴当m=1时，BC的最大值为3；
当时，
∴，
当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13，
∴BC的最大值是13．