【高中数学人教版A版（2019）同步练习】3.4函数的应用（含答案）

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【高中数学人教版A版（2019）同步练习】
3.4函数的应用
一、单选题
1．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
2．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5·{m}+1)（元）决定，其中m>0，{m}是大于或等于m的最小整数，（如：{3}=3，{3.8}=4，{3.1}=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（　　）
A．3.71元 B．3.97元 C．4.24元 D．4.77元
3．已知函数，则不等式的解集为（　　）
A．[-1，1] B．[-2，2] C．[-2，1] D．[-1，2]
4．已知f（x）= ，则关于m的不等式f（ ）＜ln 的解集为（　　）
A．（0， ） B．（0，2）
C．（﹣ ，0）∪（0， ） D．（﹣2，0）∪（0，2）
5．对于函数 ﹐若集合 中恰有 个元素，则称函数 是“ 阶准偶函数”.若函数 是“ 阶准偶函数”，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．我们把函数 称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：
① ；② ；③ ；④ .
其中正确命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．已知函数，则函数的零点是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
8．符号 表示不超过x的最大整数，如 ， ，定义函数 ，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．函数 是增函数
C．方程 有无数个实数根
D． 的最大值为1，最小值为0
三、填空题
9．已知函数，则　 　．
10．若函数 ，则 =　 　.
11．已知函数f （x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+x；当﹣e≤x≤e时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞1时，f（x+2）=f（x），则f（8）=　 　．
12．已知函数 ，其中 ，若存在互不相等的三个实数 ，使得 ，则实数 的取值范围是　 　．
13．已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x．
（i） 当a=2时，满足不等式f（x）＞0的x的取值范围为　 　；
（ii） 若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为　 　．
14．狄利克雷是德国著名数学家，函数D（x）= 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D（x）的五个结论：
①若x是无理数，则D（D（x））=0；
②函数D（x）的值域是[0，1]；
③函数D（x）偶函数；
④若T≠0且T为有理数，则D（x+T）=D（x）对任意的x∈R恒成立；
⑤存在不同的三个点A（x1，D（x1）），B（x2，D（x2）），C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边角形．
其中正确结论的序号是　 　．
四、解答题
15．某工厂生产一新款 电子产品，每日的成本 （单位：万元）与日产量 （ ，单位：千只）的关系满足 ．每日的销售额 （单位：万元）与日产量 的关系满足：当 时， ，当 时， ；当 时， ．已知每日的利润 （单位：万元）．
（1）求 的值，并将该产品每日的利润 （万元）表示为日产量 （千只）的函数；
（2）当日产量为多少千只时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
16．已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是.
（1）把商品的利润表示为生产量的函数；
（2）当该商品生产量（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？
17．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不大于90万箱时，；当产量超过90万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
（Ⅰ）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（Ⅱ）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
18．已知定义在R上的函数f（x），满足 ，且f（3）=f（1）﹣1．
（1）求实数k的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+f（﹣x）（﹣2≤x≤2），求g（x）的值域．
19．已知函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数 使 成立，求实数 的取值范围.
20．已知函数．
（1）若存在，使得，求实数的取值范围；
（2）令的最小值为．若正实数，，满足，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
2．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
3．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法；分段函数的应用
4．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
5．【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素；偶函数；分段函数的应用
6．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
7．【答案】A,B,C
【知识点】分段函数的应用
8．【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；分段函数的应用
9．【答案】9
【知识点】分段函数的应用
10．【答案】2
【知识点】分段函数的应用
11．【答案】2﹣ln2
【知识点】分段函数的应用
12．【答案】（3，+∞）
【知识点】分段函数的应用
13．【答案】；
【知识点】分段函数的应用
14．【答案】②③④
【知识点】分段函数的应用
15．【答案】（1）当 时， ，解得 ．
（2）当 ， 时， ，在 上单调递增，
所以当 时， ；
当 ， 时， ．
令 ， ，设 ，根据函数的单调整性可知当 时， 取得最小值，所以每日利润达到最大值，即 时， ；
当 ， 时， 在 上单调递减，
所以当 时， ．综上，当 时， ．
答：当日产量为 千只时，每日的利润可以达到最大值为 万元．
【知识点】函数的最大（小）值；分段函数的应用
16．【答案】（1）设利润是（万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，
则，
所以.
（2）当时，
，
当，即时，，
当时，是减函数，时，，
所以当时，，
所以生产量为5千件时，最大利润为6万元.
【知识点】函数的最大（小）值；分段函数的应用
17．【答案】解：（Ⅰ）当时，，
，
当时，，
则当时，，
当时，，
综上，；
（Ⅱ）当时，，
令，则，则，
故，
则当时，，
当时，函数单调递增，当时，，
当时，函数单调递减，
综上，当产量为100万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；分段函数的应用
18．【答案】（1）解：由题意可得f（1）﹣1=1+2﹣1=2，
f（3）=f（﹣1+4）=f（﹣1）=2，
所以可得
（2）解：由 得：
，
∴ ，
当0＜x＜2时，1＜x+1＜3，
所以
在（x+1）2=4即x=1处取得最小值，
所以g（x）在（0，1）处单调递减，
在[1，2）上单调递增，
，
当x→2时， ，
所以g（x）在（0，2）上的值域为[5，6）．
当﹣2＜x＜0时，1＜1﹣x＜3，
∴ ；
当（1﹣x）2=4，即x=﹣1时取得最小值；
当x→﹣2时， ；
当x→0时， ，
∴g（x）在（﹣2，0）上的值域为[5，6）．
综上所述，g（x）的值域为
【知识点】分段函数的应用
19．【答案】（1）解： ， ，即得 ，得 .
（2）解：∵ ，∴ .
∵ ，且存在实数 使 ，
∴
【知识点】分段函数的应用
20．【答案】（1）解：，
所以在上递减，在上递增，
所以，
，解得；
（2）解：由（1）得，，
所以，
当且仅当时等号成立．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用
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