【高中数学人教版A版（2019）同步练习】必修第一册 4.2指数函数（含答案）

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【高中数学人教版A版（2019）同步练习】必修第一册
4.2指数函数
一、单选题
1．“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知函数f（x）=a|x﹣b|（a＞0，a≠1），则对任意的非零实数a，b，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集都不可能是（　　）
A．{1，3} B．{1，4}
C．{1，3，4} D．{1，2，3，4}
3．如图是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系：y=at的图象，有以下叙述，其中正确的是（　　）
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；
③浮萍每月增加的面积都相等；
④若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2=t3．

A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②④
4．已知实数a，b，c满足 =3，log3b=﹣ ， c，则实数a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
5．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程 关于时间 的函数关系是 ， ， ， 如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是（　　）
A． B． C． D．
6．设函数 和 ，若两函数在区间 上的单调性相同，则把区间 叫做 的“稳定区间”．已知区间 为函数 的“稳定区间”，则实数 的可能取值是（　　）
A． B． C． D．-4
二、多选题
7．若函数，（且）恒过一定点成立，且点在直线，（，）上，则下列命题成立的是（　　）
A．定点的坐标为 B．的最小值为4
C．的最小值为1 D．的最小值为1
8．以下命题正确的是（　　）
A．函数与函数表示同一个函数
B．，使
C．若，且，则的最小值为
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
三、填空题
9．已知，，则　 　1（填“”或“”）
10．已知指数函数 ，则函数必过定点　 　
11．已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a﹣b的值为　 　．
12．已知函数，记关于的方程的所有实数根的乘积为，若，则实数的取值范围是　 　.
13．不等式的解集为　 　.
14．已知，且，给出如下关系：①；②；③；④.其中所有可能成立的序号是　 　.
四、解答题
15．比较下列各题中两个值的大小．
（1）1.82.2，1.83；
（2）0.7－0.3，0.7－0.4；
（3）1.90.4，0.92.4.
16．已知函数 ，其中 是不为零的常数．
（1）若 ，求使得 的实数 的取值范围；
（2）若 在区间 上的最大值为 ，求实数 的值．
17．已知函数
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 的值域是 ，求 的值.
18．已知函数 是R上的偶函数，且当 时，
（1）求函数 的解析式；
（2）求方程 的解集.
19．已知函数 ， （ 且 ）， ．
（1）求函数 和 的解析式；
（2）在同一坐标系中画出函数 和 的图象；
（3）如果 ，请直接写出 的取值范围．
20．已知函数f（x）=2x
（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（﹣∞，0），使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；
（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点
2．【答案】C
【知识点】指数函数的图象变换
3．【答案】D
【知识点】指数函数的实际应用
4．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质
5．【答案】D
【知识点】指数函数的实际应用
6．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的图象与性质
7．【答案】A,C
【知识点】指数函数的图象与性质；基本不等式
8．【答案】B,C
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；指数函数单调性的应用；基本不等式在最值问题中的应用
9．【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用
10．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
11．【答案】4
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
12．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点
13．【答案】[1，+∞)
【知识点】函数的最大（小）值；指数函数单调性的应用
14．【答案】①②③
【知识点】指数函数的图象与性质
15．【答案】（1）解：1.82.2，1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，∴1.82.2<1.83
（2）解：∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4
（3）解：∵1.90.4>1.90＝1；0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4
【知识点】指数函数单调性的应用
16．【答案】（1）
；
（2）结合复合函数同增异减性质可知，
当 时， 在 上单调递增，此时，
当 时， 在 上单调递减，此时，
综上所述， 或 -14．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；复合函数的单调性；函数的最大（小）值；指数函数单调性的应用
17．【答案】（1）当 时，
令 ，
由 在 上单调递增，在 上单调递减，
又由 在 上单调递减，
根据复合函数的单调性的判定方法，可得 在 上递减，在 上递增，
即函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）令 ，
由指数函数的性质知，要使 的值域为 ，
应使 的值域为 ，
当 时， ，此时 ，符合题意；
当 时，函数 为二次函数其值域不可能为 ，不符合题意，
综上可得，实数 的值为 .
【知识点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点
18．【答案】（1）设 ，则 ，
所以 ，
因为函数 为偶函数，
所以 ，
所以函数 的解析式为 .
（2）当 时，
；
当 时， .
，
所以方程 的解集为 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；指数函数综合题
19．【答案】（1）解：∵f（﹣1） ．
∴ ．
∴a＝2，
所以f（x）＝2x，g（x）＝（ ）x
（2）解：两个函数在同一坐标系的图象如图：
（3）解：由图象知当x＝0时，f（x）＝g（x），
若f（x）＜g（x），则x＜0，
即不等式的解集为（﹣∞，0）
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数的图象与性质；指数函数单调性的应用
20．【答案】解：（1）F（x）=f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]
=2x+a 4x，令2x=t，（0＜t≤1），即有F（x）=at2+t，
a=0，即有最大值为1；a≠0时，对称轴为t=﹣，
讨论对称轴和区间的关系，即可得到，
（2）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1
所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1
即存在t∈（0，1）使得a<或a>
∴a＜0或a＞2；
（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立
因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为恒成立
∴
设m（x）=-2x+令=t，则x=-1，t∈[1，4]
∴m(t)=-2(-1)+t=-2(t-)2+
所以，当t=1时，m（x）max=1，
∴a≥1
【知识点】指数函数综合题
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