【高中数学人教版A版（2019）同步练习】必修第一册 4.3对数（含答案）

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【高中数学人教版A版（2019）同步练习】必修第一册
4.3对数
一、单选题
1．设 均为正数且 ，则 的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．10 D．20
2．设 均为不等于 的正实数，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
4．如果lgx=lga+3lgb﹣5lgc，那么（　　）
A．x=a+3b﹣c B． C． D．x=a+b3﹣c3
5．已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间单调递增. 若实数满足， 则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数（为整数），若，则的值可能是（　　）
A．－3 B．0 C．1 D．5
8．任何一个正整数 可以表示成 ，此时， .
真数 2 3 4 5 6 7 8
常用对数（近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903
下列结论正确的是（　　）
A． 是 位数
B． 是 位数
C． 是48位数
D．一个 位正整数的 次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5
三、填空题
9．　 　.
10．lg20+lg5=　 　．
11．已知，则　 　.
12．化简求值：=　 　
13．若，且，则实数的值为　 　．
14．已知a＞1，b＞1，ab＝8，则 的最大值为　 　.
四、解答题
15．
（1）若，求的值.
（2）求值：.
16．计算下列各式的值：
（1）
（2）
17．已知函数且的图象过点.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在上的最大值；
（3）若，比较与的大小.
18．化简求值：
（1）（7+4 ） ﹣81 +32 ﹣2×（ ） + ×（4 ）﹣1
（2）（log62）2+（log63）2+3log62×（log6 ﹣ log62）．
19．已知函数.
（1）探究在上的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）判断方程是否存在实根？若存在，设此根为，请求出一个长度为的区间，使；若不存在，请说明理由.（注：区间的长度为）
20．对于函数 ，若存在实数对 ，使得等式 对定义域中的任意 都成立，则称函数 是“ 型函数”．
（1）若函数 是“ 型函数”，且 ，求出满足条件的实数对 ；
（2）已知函数 ．函数 是“ 型函数”，对应的实数对 为 ，当 时， ．若对任意 时，都存在 ，使得 ，试求 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数的性质与运算法则
3．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
4．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
5．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用；基本不等式在最值问题中的应用
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；对数的性质与运算法则
7．【答案】A,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则
8．【答案】A,C,D
【知识点】指数式与对数式的互化
9．【答案】4
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
10．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
11．【答案】1
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
12．【答案】6
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
13．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
14．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
15．【答案】（1）解：因为，所以，即，
，所以.
（2）解：原式.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
16．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
17．【答案】（1）解：由已知，，
，定义域为；
（2）解：，
，，则，
所以，时取等号，
最大值为；
（3）解：，，
，，
，，
所以，，则，，
∵，所以，，即，
，，
所以，，
∵在上是增函数，又在时是减函数，
∴在上是减函数，
∴．
【知识点】复合函数的单调性；对数的性质与运算法则
18．【答案】（1）解：原式=[（2+ ）2] ﹣ + ﹣2× + × =2+ ﹣ +8﹣8+2=4
（2）解：原式= ，
= ，
=（log62）2+（log63）2+2log62×log63
=
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
19．【答案】（1）解：，则函数在上为减函数，证明如下：
任取、且，
则，
因为，则，即，
故函数在上为减函数.
（2）解：由，可知，即，解得，
即，可得，
构造函数，
由（1）可知，函数在上为减函数，
而函数为定义域上的增函数，则函数在上为增函数，
又因为函数在上也为增函数，
故函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数在区间上存在零点，且零点记为，
，即，
，故，
，故，且区间的长度为.
故满足条件的一个区间为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；对数的性质与运算法则
20．【答案】（1）解：由题意，若 是“(a,b)型函数”，则 ,即 ,
代入 得 ，所求实数对为
（2）解：由题意得： 的值域是 值域的子集，易知 在 的值域为 ，
只需使当 时， 恒成立即可， ,即 ，
而当 时, , 故由题意可得，要使当 时,都有 ，
只需使当 时， 恒成立即可，
即 在 上恒成立，
若 ，显然不等式在 上成立，
若 ，则可将不等式转化为 ，
因此只需上述不等式组在 上恒成立，显然，当 时，不等式（1）成立，
令 在 上单调递增，∴ ，
故要使不等式（2）恒成立，只需 即可，综上所述,所求 的取值范围是
【知识点】集合间关系的判断；函数单调性的性质；指数式与对数式的互化
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