第七章 锐角三角函数复习讲义（无答案） 苏科版数学九年级下册

第九讲 锐角三角函数
教学目标：
1、帮助学生系统性地回顾和整理锐角三角函数的各种模型与方法，构建完整的知识体系。
2、让学生熟练掌握各种锐角三角函数模型与方法等。
3、培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
知识梳理：
知识要点：
【知识点一】锐角三角函数
正弦： sinA＝＝
余弦： cosA＝＝
正切： tanA＝＝.
【知识点二】特殊三角函数
度数 三角函数 30° 45° 60°
1
【知识点三】解直角三角形的常用关系
(1) 三边之间的关系：；
(2) 锐角之间的关系：；
(3) 边角之间的关系：，，.
【知识点四】解直角三角形的应用
(1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．
(2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有.
(3) 方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.
(4) 解直角三角形实际应用的一般步骤：
a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解
例题精讲：
题型1：锐角三角函数
例1（☆）：如图，在中，于，．
（1）求证：．
（2）若，，求的面积．
变式1-1（☆☆）：在中，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
变式1-2（☆☆☆）：如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点，则
（1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）．
（2） ．
（3） ．

题型2：特殊三角函数值的计算
例2（☆）：计算
变式2-1（☆☆）：已知则（ ）
A． B． C． D．
变式2-2（☆☆）： ．
题型3：解直角三角形
例3（☆）：如图，是的中线，

求：
（1）的长；
（2）的正弦值．
变式3-1（☆☆）：如图所示，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以为边向上作正方形，若反比例函数的图象经过正方形的顶点C，则正方形的边长为（ ）

A． B． C． D．
变式3-2（☆☆☆）：如图，在矩形中，点是的中点，点为射线上的一个动点，沿着折叠得到，连接，分别交和于点和，已知，，若与相似，则的长是 ．

题型4：锐角三角函数与相关知识综合
例4（☆）：如图，在中，，，垂足为点，，.
（1）求的值；
（2）点在上，且，过作，垂足为点，求的长.
变式4-1（☆☆）：如图，等腰内接于圆，底边是直径，为的中点，点在上，且，与相交于点，则的正切值为（　　）
A． B． C． D．
变式4-2（☆☆）：如图，菱形的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，，反比例函数的图象经过点C，与交于点D，若的面积为30，则k的值等于 ．

题型5：三角函数与实际问题
例5（☆）：八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.75
变式5-1（☆☆）：如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离（CE的长度）为8m，测得旗杆的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是（ ）
A． B． C． D．
变式5-2（☆☆☆）：如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．

强化练习：
1．（☆）已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（　　）
A．70° B．60° C．50° D．30°
2．（☆）某人沿着坡度为1：2的山坡前进了米，则此人所在的位置升高了（　　）
A．100米 B．米 C．50米 D．米
3．（☆）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝（　　）
A．5：8 B．8：5 C．1：1 D．无法确定
4．（☆☆）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（　　）
A． B．7 C． D．
5．（☆☆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上且∠BEC＝90°，连结EF，则EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
6．（☆☆）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在BC、AC上，AD、BE交于F，若BD＝CD＝CE，AF＝DF，则tan∠ABC的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（☆☆）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．75° C．105° D．120°
8．（☆☆☆）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连接BD．若tan∠A＝，tan∠CDB＝0.5，则AD的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
9．（☆☆☆）如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，则AB的长是（　　）
A．4 B．3+ C．5 D．2+2
10．（☆☆☆）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝2，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC AC，tanα＝3，则点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，6） B．（﹣3，9） C．（﹣，） D．（﹣，）
课后作业：
1．（2分）（2020秋 如皋市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，则AB＝　 　．
2．（2分）（2022秋 常州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．若tan∠CAD＝，则sin∠BED＝　 　．
3．（2分）（2021秋 宝应县期末）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则tanB＝　 　．
4．（2分）（2022秋 宝应县期末）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是边长为1的小正方形网格边的中点，则tanA＝　 　．
5．（2分）（2023春 淮安期末）如图，将一个边长为2分米的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到3.5分米时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC 　 　断裂（填“会”或“不会”，参考数据：
6．（2分）（2021秋 苏州期末）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝　 　．
7．（2分）（2020秋 高邮市期末）如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为70cm，检票前双翼展开呈扇形CAP和扇形DBQ，若AC＝BD＝55cm，∠PCA＝∠BDQ＝30°，则A、B之间的距离为　 　cm．
8．（2分）（2021秋 溧阳市期末）如图，在边长1正网格中，A、B、C都在网格线上，点D为格点，AB与CD相交于点D，则sin∠ADC＝　 　．
9．（2分）（2021秋 苏州期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为 　 　．
10．（2分）（2022秋 苏州期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB、CD相交于点E，则sin∠AEC的值为　 　．