四川省泸州市2024年中考数学试卷

四川省泸州市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（2024·泸州）下列各数中，无理数是（　　）
A． B．3.14 C．0 D．
2．（2024·泸州）第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21-24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·泸州）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·泸州）把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
5．（2024·泸州）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024·泸州）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·泸州）分式方程的解是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·泸州）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2024·泸州）如图，EA，ED是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（　　）
A．56° B．60° C．68° D．70°
10．（2024·泸州）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点处，交CD于点E，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024·泸州）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
12．（2024·泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，，则的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）．
13．（2024·泸州）函数的自变量x的取值范围是　 　．
14．（2024·泸州）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为　 　．
15．（2024·泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　 　．
16．（2024·泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为　 　．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（2024·泸州）计算：．
18．（2024·泸州）如图，在中，E，F是对角线BD上的点，且．求证：．
19．（2024·泸州）化简：．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（2024·泸州）某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表．
甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18
乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17
将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．
苗高分组 甲种小麦的频数
a
b
7
3
甲 乙
平均数 12.875 12.875
众数 14 d
中位数 c 13
方差 8.65 7.85
根据所给出的信息，解决下列问题：
（1）　 　，　 　，并补全乙种小麦的频数分布直方图；
（2）　 　，　 　；
（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是　 　（填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在（单位：cm）的株数　 　．
21．（2024·泸州）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
五、本大题共2小题，每小题8分，共16分．
22．（2024·泸州）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
23．（2024·泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（2024·泸州）如图，是的内接三角形，AB是的直径，过点B作的切线与AC的延长线交于点D，点E在上，，CE交AB于点F．
（1）求证：；
（2）过点C作于点G，若，，求FG的长．
25．（2024·泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时，y的取值范围是，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、3.14是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D 、是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据260000000用科学记数法表示为2.6×108.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、该三棱锥的主视图和左视图都为三角形，故此选项不符合题意；
B、该圆锥体的主视图和左视图都为三角形，故此选项不符合题意；
C、该圆柱体的主视图和左视图都为矩形，故此选项不符合题意；
D、该三棱柱的主视图是矩形，左视图为三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】主视图就是从正面向后看得到的正投影，左视图就是从左面向右看得到正投影，根据各个结合体的摆放方式及特点，分别找出它们的主视图及左视图，即可判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠2+∠3=∠1，
又∵∠1=45°，∠3=30°，
∴∠2=∠1-∠3=15°.
故答案为：B.
【分析】由二直线平行，内错角相等，得∠2+∠3=∠1，然后代入∠1与∠3的度数即可算出∠2.
5．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、3a与2a3不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、3a×2a3=6a4，故此选项计算错误，不符合题意；
C、(-2a3)2=4a6，故此选项计算正确，符合题意；
D、4a6÷a2=4a4，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由单项式乘以单项式法则“单项式乘以单项式，把系数与相同字母分别相乘，对于只在某一个单项式含有的字母则连同指数作为积的一个因式”，可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；由单项式除以单项式法则“单项式除以单项式，把系数与相同字母分别相除，对于只在被除式含有的字母则连同指数作为商的一个因式”，可判断D选项.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
又∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
A、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
A、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，可判断A选项；又平行四边形对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补及已知可推出∠B=∠C=90°，从而有一个角为直角的平行四边形是矩形，可判断B选项；由对角线相等得平行四边形是矩形可判断C选项；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断D选项.
7．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以(x-2)得1-3(x-2)=-2，
解得x=3，
检验，当x=3时，x-2≠0，
∴原方程的解为x=3.
故答案为：D.
【分析】方程两边同时乘以x-2约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0没有实根，
∴△=b2-4ac＜0，即22-4(1-k)＜0，
解得k＜0，
∴正比例函数y=kx得图象经过二四象限，
又∵反比例函数的图象图象两支分布在第一、三象限，
∴函数y=kx与函数的图象没有交点.即交点的个数为零.
故答案为：A.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系并结合题意得△=b2-4ac＜0，据此列出关于字母k的不等式，求解可得k的取值范围；然后根据正比例函数y=kx中，k＞0图象经过一三象限，k＜0图象经过二四象限；反比例函数中，k＞0图象两支分布在一三象限，k＜0图象两支分布在二四象限；分别判断出两个函数图象经过的象限，即可得出两函数图象交点的个数.
9．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠C+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BCD=∠EAD+∠BAD+∠C=236°，
∴∠EAD=236°-180°=56°，
∵EA、ED是圆O的两条切线，且切点为A、D，
∴EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA=56°，
∴∠E=180°-∠EAD-∠EDA=68°.
故答案为：C.
【分析】连接AD，由圆内接四边形的对角互补得∠C+∠BAD=180°，结合已知可得∠EAD=56°，由切线长定理得EA=ED，进而根据等边对等角及三角形的内角和定理即可求出∠E的度数.
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是黄金矩形，
∴设AD=BC=，AB=CD=2a，∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由翻折得∠EAC=∠BAC，
∴∠ACD=∠EAC，
∴AE=CE，
令DE=x，则AE=CE=2a-x，
在Rt△ADE中，∵AD2+DE2=AE2，
∴，
解得，
∴，
在Rt△ADE中，sin∠DAE=.
故答案为：A.
【分析】由黄金矩形的性质设AD=BC=，AB=CD=2a，∠D=90°，AB∥CD，由翻折及平行线的性质推出∠ACD=∠EAC，由等角对等边得AE=CE，令DE=x，则AE=CE=2a-x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程可求出x的值得到DE的长，进而可得AE的长，最后在在Rt△ADE中，可求出sin∠DAE的值.
11．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1的图象经过第一、二、四象限，
∴
解得.
∴a的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象经过的象限，结合函数的图象与系数的关系可得对称轴直线在y轴的右侧，抛物线与x轴有两个不同的交点，抛物线与y轴的交点在原点或正半轴，据此建立出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围.
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，AD=AB，
又AE=BF，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠BAF+∠DAO=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAO=90°，
∴∠AOD=90°，
又∵点M是DF的中点，
∴
如图，在AB的延长线上截取BH=BG，连接FH，
∵∠FBG=∠FBH=90°，GB=HB，FB=FB，
∴△BFG≌△BFH（SAS），
∴FH=FG，
∴
当D、F、H三点在同一直线上时，DF+FH有最小值为DH，即有最小值，最小值为DH的一半，
∵AG=2GB，AB=6，
∴BH=BG=2，
∴AH=8，
在Rt△DAH中，由勾股定理得
∴的最小值为5.
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质得∠DAE=∠ABF=90°，AD=AB，从而用SAS判断出△ADE≌△BAF，由全等三角形的对应角相等得∠ADE=∠BAF，进而根据角的构成、等量代换及三角形的内角和定理可得∠AOD=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得在AB延长线上取BH=BG，连接FH，由SAS证△BFG≌△BFH，得FH=FG，则，当D、F、H三点在同一直线上时，DF+FH有最小值为DH，即有最小值，最小值为DH的一半，进而在Rt△DAH中，由勾股定理算出DH的长此题得解.
13．【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得x+2≥0，
解得x≥-2.
故答案为：x≥-2.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解即可.
14．【答案】3
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：盒子中黄色小球的个数为x，
由题意得，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，且符合题意.
故盒子中黄色小球的个数为3个.
故答案为：3.
【分析】盒子中黄色小球的个数为x，根据盒子中白色小球的个数比上盒子中小球的总个数等于从中随机摸出一个球是白球的概率列出方程，求解即可.
15．【答案】14
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的解，
∴x1+x2=3，x1x2=-5，
∴(x1-x2)2+3x1x2=(x1+x2)2-x1x2=32-(-5)=14.
故答案为：14.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，然后利用配方法将待求式子变形为(x1+x2)2-x1x2后整体代入计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；用坐标表示平移；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，将点B向上平移两个单位长度所得对应点M的坐标为，
过点M作MF⊥x轴于点F，则，∠OFM=90°，
在Rt△OMF中，OM=，sin∠MOF=，
∴∠MOF=30°，
由旋转的性质的∠B'OM=105°，OB'=OM=2，
∴∠B'OE=∠B'OM+∠MOF-∠EOF=45°，
过点B'作B'E⊥y轴于点E，
∴△B'OE是等腰直角三角形，
∴B'E=OE=，
∴点B'的坐标为
故答案为：.
【分析】根据点的坐标平移规律“横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减”可得点M，过点M作MF⊥x轴于点F，则，∠OFM=90°，在Rt△OMF中，由勾股定理算出OM，由∠MOF的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出∠MOF=30°，由旋转的性质得由旋转的性质的∠B'OM=105°，OB'=OM=2，则∠B'OE=∠B'OM+∠MOF-∠EOF=45°，过点B'作B'E⊥y轴于点E，易得△B'OE是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得B'E=OE=，从而即可求出点B'的坐标.
17．【答案】解：原式=，
=3
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据绝对值性质、0指数幂性质“任何一个部位零的数的零次幂都等于1”、特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的性质“任何一个不为零的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”分别进行计算，再计算乘法，最后合并同类二次根式及进行有理数的加法运算即可.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵DE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠1=∠2.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠ADE=∠CBF，从而由SAS判断出∠ADE=∠CBF，由全等三角形的对应角相等得∠1=∠2.
19．【答案】解：原式=
=
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】把括号内的整式看成分母为1的式子，通分计算括号内的加法，同时将除式的分子利用平方差公式分解因式，并把除法转变为乘法，然后将被除式的分子利用完全平方公式分解因式，进而计算分式乘法，约分化简即可.
20．【答案】（1）2；4
（2）13.5；13
（3）乙；375
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由统计表可得甲种小麦苗高在7≤x＜10的频数a=2，
甲种小麦苗高在10≤x＜13的频数b=4；
乙种小麦苗高在13≤x＜16的频数7，
补全乙种小麦苗高的频数分布直方图如下：
故答案为：2，4；
（2）将甲抽取的16株麦苗的高度从低到高排列后排第8与9位的麦苗高度是13和14，
∴甲种小麦苗高的中位数为c=（13+14）÷2=13.5，
从统计表可得乙种小麦苗高的众数为d=13，
故答案为：13.5；13；
（3）∵8.65＞7.85，即甲种小麦苗高的方差大于乙种小麦苗高的方差，
∴ 甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；
若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在10≤x＜13的株数为：1200×=375（株）.
故答案为：乙；375.
【分析】（1）由表格可直接得出a，b的值；求出乙种小麦苗高在13x<16的频数，补全乙种小麦的频数分布直方图即可；
（2）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）根据方差越大，数据的波动越大，越不稳定，可得甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；根据用样本估计总体，用1200乘以样本中乙种小麦苗高在10≤x<13 (单位：cm)的株数所占的百分比，即可得出答案.
21．【答案】（1）解：设A种商品每件进价为x元，B种商品每件进价为y元，由题意可得
解得
答：A种商品每件进价为100元，B种商品每件进价为60元；
（2）解：购进A种商品a件，则购进B种商品（60-a）件，由题意得
，
解得19≤a≤20，
∴购进A种商品最多为20件.
【知识点】不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设A种商品每件进价为x元，B种商品每件进价为y元，根据“ 购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元 ”列出方程组，求解即可；
（2）购进A种商品a件，则购进B种商品（60-a）件，由“ 购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍 及 销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元 ”列出不等式组，求出最大整数解即可.
22．【答案】解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵∠CAF=45°，AC=30nmile，
∴
∵∠CBF=60°，
∵∠FCB=30°，∠FCD=60°，
∴∠BCD=∠FCD-∠FCB=30°，
.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CF⊥AB于点F，易得△ACF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得，在Rt△BCF中，易得∠CBF=60°，由∠CBF的正弦函数可求出CB，根据方向角易得∠BCD=30°，在Rt△BCD中，由∠BCD的余弦函数可求出CD的长.
23．【答案】（1）解：将点B(2，3)代入反比例函数 ，
可得，
解得a=6，
∴反比例函数的解析式为；
将点A(-2，0)与B(2，3)分别代入y=kx+b得
，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：设直线CD与x轴的交点为M，
，
又∵S△OBC=2S△OCD，
∴S△OBC=8，
∵S△BON+S梯形BNMC=S△BOC+S△COM，且S△BON=S△COM，
∴S梯形BNMC=S△BOC=8，
将x=m代入，
得
∴C，又点B（2，3）
∴，
解得m1=6，m2=，
∵m＞2，
∴m=6，
∴点C的坐标为（6，1）.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决此题；
（2）设直线CD与x轴交于M，由反比例k的几何意义得，则S△OBC=8，进而根据S△BON+S梯形BNMC=S△BOC+S△COM，且S△BON=S△COM，推出S梯形BNMC=S△BOC=8，将x=m代入反比例函数算出对应的函数值可得点C的坐标，进而结合点B的坐标及梯形面积计算公式建立方程可求出m的值，从而得到点C的坐标.
24．【答案】（1）证明：∵AC=CE
又
为直径
∴∠BCA=90°
∴
又为切线
∴∠ABD=90°，
∴
∴∠D=∠ABC，
；
（2）解：∵BD是圆O的切线，
∴∠ABD=90°，
∵OA=3，
∴AB=2OA=6，
Rt△ABD中，，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在△ACB与△ABD中，
∵∠DAB=∠BAC，∠ACB=∠ABD=90°，
∴△ABC∽△ABD，
∴，
即，
∴，
；
∵CG⊥AB，
∴∠AGC=∠ABD=90°，
∴CG∥BD，
∴
∴
，
过点C作CH⊥AE于点H，
∵AC=CE，CH⊥AE，
∴AE=2AH，
∵∠AHC=∠ACB=90°，∠CAH=∠ABC，
∴△ACH∽△BAC，
，即，
，
设GF=x，则BF=2-x，AF=4+x，
∵∠E=∠CBF，∠EAF=∠BCF，
∴△CFB∽△AFE，
，即
整理得
12+3x=8x+8
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由等边对等角及同弧所对的圆周角相等得∠CAE=∠E=∠ABC，由直径所对的圆周角是直角及切线的性质得∠ACB=∠ABD=90°，进而由三角形的内角和定理及同角的余角相等推出∠D=∠ABC，由等量代换得∠CAE=∠D；
（2）首先由勾股定理算出AD的长，然后用有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△ABD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AC、BC的长，进而得到CD的长；由同位角相等，两直线平行得CG∥BD，由平行于三角形一边的直线截其他两边，所截三角形与原三角形相似得△AGC∽△ABD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AG的长；过点C作CH⊥AE于点H，根据等腰三角形的三线合一得AE=2AH；用有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACH∽△BAC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AH的长，从而得到AE的长；设GF=x，则BF=2-x，AF=4+x，用有两组角对应相等的两个三角形相似得△CFB∽△AFE，由相似三角形对应边成比例建立方程组可求出x的长，从而即可得出答案.
25．【答案】（1）解：∵A（3，0），抛物线的对称轴直线直线为x=1，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：∵当-1≤x≤t时，
∴当x=-1时，y=-x2+2x+3=0，取得最小值，
∴当x=t时（t＜3），y取得最大值，
∵抛物线开口向下，对称轴直线为x=1，
∴当x=1，y=-x2+2x+3=4，取得最大值，
即2t-1=4，
解得t=2.5；
（3）解：存在，理由如下：
令y=-x2+2x+3=0中的x=0，得y=3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（3，0），B（0，3）分别代入得
解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+3，
设点C（x，-x2+2x+3=0），则点D（x，-x+3），
当BD为边时，对应菱形为BDCE'，则CD=BD，
∴CD=-x2+2x+3-(-x+3)=BD=，
解得，
，
当BC为边时，对应的菱形为BCDE，CD=BC，
∴(-x2+3x)2=x2+(-x2+2x)2
解得x=2（不符合题意的值已经舍去）
∴CD=-22+3×2=2，
综上，菱形的边长为2或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入y=ax2+bx+3可得一个关于字母a、b的方程，根据抛物线的对称轴直线可得方程，联立两方程，求解得出a、b的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）当1≤x≤t，由x=-1时，y取得最小值，当x=t时，y取得最大值，即可求解；
（3）令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；根据点的坐标与图形性质，设设点C（x，-x2+2x+3=0），则点D（x，-x+3），当BD为边时，对应菱形为BDCE'，则CD=BD，据此结合两点间的距离公式建立方程，可求出x的值，从而得到BD的长；当BC为边时，对应的菱形为BCDE，CD=BC，据此结合两点间的距离公式建立方程，可求出x的值，从而得到CD的长，综上即可得出答案.
1 / 1四川省泸州市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（2024·泸州）下列各数中，无理数是（　　）
A． B．3.14 C．0 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、3.14是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D 、是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．（2024·泸州）第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21-24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据260000000用科学记数法表示为2.6×108.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．（2024·泸州）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、该三棱锥的主视图和左视图都为三角形，故此选项不符合题意；
B、该圆锥体的主视图和左视图都为三角形，故此选项不符合题意；
C、该圆柱体的主视图和左视图都为矩形，故此选项不符合题意；
D、该三棱柱的主视图是矩形，左视图为三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】主视图就是从正面向后看得到的正投影，左视图就是从左面向右看得到正投影，根据各个结合体的摆放方式及特点，分别找出它们的主视图及左视图，即可判断得出答案.
4．（2024·泸州）把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠2+∠3=∠1，
又∵∠1=45°，∠3=30°，
∴∠2=∠1-∠3=15°.
故答案为：B.
【分析】由二直线平行，内错角相等，得∠2+∠3=∠1，然后代入∠1与∠3的度数即可算出∠2.
5．（2024·泸州）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、3a与2a3不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、3a×2a3=6a4，故此选项计算错误，不符合题意；
C、(-2a3)2=4a6，故此选项计算正确，符合题意；
D、4a6÷a2=4a4，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由单项式乘以单项式法则“单项式乘以单项式，把系数与相同字母分别相乘，对于只在某一个单项式含有的字母则连同指数作为积的一个因式”，可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；由单项式除以单项式法则“单项式除以单项式，把系数与相同字母分别相除，对于只在被除式含有的字母则连同指数作为商的一个因式”，可判断D选项.
6．（2024·泸州）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
又∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
A、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
A、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，可判断A选项；又平行四边形对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补及已知可推出∠B=∠C=90°，从而有一个角为直角的平行四边形是矩形，可判断B选项；由对角线相等得平行四边形是矩形可判断C选项；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断D选项.
7．（2024·泸州）分式方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以(x-2)得1-3(x-2)=-2，
解得x=3，
检验，当x=3时，x-2≠0，
∴原方程的解为x=3.
故答案为：D.
【分析】方程两边同时乘以x-2约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
8．（2024·泸州）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0没有实根，
∴△=b2-4ac＜0，即22-4(1-k)＜0，
解得k＜0，
∴正比例函数y=kx得图象经过二四象限，
又∵反比例函数的图象图象两支分布在第一、三象限，
∴函数y=kx与函数的图象没有交点.即交点的个数为零.
故答案为：A.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系并结合题意得△=b2-4ac＜0，据此列出关于字母k的不等式，求解可得k的取值范围；然后根据正比例函数y=kx中，k＞0图象经过一三象限，k＜0图象经过二四象限；反比例函数中，k＞0图象两支分布在一三象限，k＜0图象两支分布在二四象限；分别判断出两个函数图象经过的象限，即可得出两函数图象交点的个数.
9．（2024·泸州）如图，EA，ED是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（　　）
A．56° B．60° C．68° D．70°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠C+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BCD=∠EAD+∠BAD+∠C=236°，
∴∠EAD=236°-180°=56°，
∵EA、ED是圆O的两条切线，且切点为A、D，
∴EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA=56°，
∴∠E=180°-∠EAD-∠EDA=68°.
故答案为：C.
【分析】连接AD，由圆内接四边形的对角互补得∠C+∠BAD=180°，结合已知可得∠EAD=56°，由切线长定理得EA=ED，进而根据等边对等角及三角形的内角和定理即可求出∠E的度数.
10．（2024·泸州）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点处，交CD于点E，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是黄金矩形，
∴设AD=BC=，AB=CD=2a，∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由翻折得∠EAC=∠BAC，
∴∠ACD=∠EAC，
∴AE=CE，
令DE=x，则AE=CE=2a-x，
在Rt△ADE中，∵AD2+DE2=AE2，
∴，
解得，
∴，
在Rt△ADE中，sin∠DAE=.
故答案为：A.
【分析】由黄金矩形的性质设AD=BC=，AB=CD=2a，∠D=90°，AB∥CD，由翻折及平行线的性质推出∠ACD=∠EAC，由等角对等边得AE=CE，令DE=x，则AE=CE=2a-x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程可求出x的值得到DE的长，进而可得AE的长，最后在在Rt△ADE中，可求出sin∠DAE的值.
11．（2024·泸州）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1的图象经过第一、二、四象限，
∴
解得.
∴a的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象经过的象限，结合函数的图象与系数的关系可得对称轴直线在y轴的右侧，抛物线与x轴有两个不同的交点，抛物线与y轴的交点在原点或正半轴，据此建立出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围.
12．（2024·泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，，则的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，AD=AB，
又AE=BF，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠BAF+∠DAO=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAO=90°，
∴∠AOD=90°，
又∵点M是DF的中点，
∴
如图，在AB的延长线上截取BH=BG，连接FH，
∵∠FBG=∠FBH=90°，GB=HB，FB=FB，
∴△BFG≌△BFH（SAS），
∴FH=FG，
∴
当D、F、H三点在同一直线上时，DF+FH有最小值为DH，即有最小值，最小值为DH的一半，
∵AG=2GB，AB=6，
∴BH=BG=2，
∴AH=8，
在Rt△DAH中，由勾股定理得
∴的最小值为5.
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质得∠DAE=∠ABF=90°，AD=AB，从而用SAS判断出△ADE≌△BAF，由全等三角形的对应角相等得∠ADE=∠BAF，进而根据角的构成、等量代换及三角形的内角和定理可得∠AOD=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得在AB延长线上取BH=BG，连接FH，由SAS证△BFG≌△BFH，得FH=FG，则，当D、F、H三点在同一直线上时，DF+FH有最小值为DH，即有最小值，最小值为DH的一半，进而在Rt△DAH中，由勾股定理算出DH的长此题得解.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）．
13．（2024·泸州）函数的自变量x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得x+2≥0，
解得x≥-2.
故答案为：x≥-2.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解即可.
14．（2024·泸州）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为　 　．
【答案】3
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：盒子中黄色小球的个数为x，
由题意得，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，且符合题意.
故盒子中黄色小球的个数为3个.
故答案为：3.
【分析】盒子中黄色小球的个数为x，根据盒子中白色小球的个数比上盒子中小球的总个数等于从中随机摸出一个球是白球的概率列出方程，求解即可.
15．（2024·泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　 　．
【答案】14
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的解，
∴x1+x2=3，x1x2=-5，
∴(x1-x2)2+3x1x2=(x1+x2)2-x1x2=32-(-5)=14.
故答案为：14.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，然后利用配方法将待求式子变形为(x1+x2)2-x1x2后整体代入计算可得答案.
16．（2024·泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；用坐标表示平移；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，将点B向上平移两个单位长度所得对应点M的坐标为，
过点M作MF⊥x轴于点F，则，∠OFM=90°，
在Rt△OMF中，OM=，sin∠MOF=，
∴∠MOF=30°，
由旋转的性质的∠B'OM=105°，OB'=OM=2，
∴∠B'OE=∠B'OM+∠MOF-∠EOF=45°，
过点B'作B'E⊥y轴于点E，
∴△B'OE是等腰直角三角形，
∴B'E=OE=，
∴点B'的坐标为
故答案为：.
【分析】根据点的坐标平移规律“横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减”可得点M，过点M作MF⊥x轴于点F，则，∠OFM=90°，在Rt△OMF中，由勾股定理算出OM，由∠MOF的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出∠MOF=30°，由旋转的性质得由旋转的性质的∠B'OM=105°，OB'=OM=2，则∠B'OE=∠B'OM+∠MOF-∠EOF=45°，过点B'作B'E⊥y轴于点E，易得△B'OE是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得B'E=OE=，从而即可求出点B'的坐标.
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（2024·泸州）计算：．
【答案】解：原式=，
=3
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据绝对值性质、0指数幂性质“任何一个部位零的数的零次幂都等于1”、特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的性质“任何一个不为零的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”分别进行计算，再计算乘法，最后合并同类二次根式及进行有理数的加法运算即可.
18．（2024·泸州）如图，在中，E，F是对角线BD上的点，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵DE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠1=∠2.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠ADE=∠CBF，从而由SAS判断出∠ADE=∠CBF，由全等三角形的对应角相等得∠1=∠2.
19．（2024·泸州）化简：．
【答案】解：原式=
=
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】把括号内的整式看成分母为1的式子，通分计算括号内的加法，同时将除式的分子利用平方差公式分解因式，并把除法转变为乘法，然后将被除式的分子利用完全平方公式分解因式，进而计算分式乘法，约分化简即可.
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（2024·泸州）某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表．
甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18
乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17
将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．
苗高分组 甲种小麦的频数
a
b
7
3
甲 乙
平均数 12.875 12.875
众数 14 d
中位数 c 13
方差 8.65 7.85
根据所给出的信息，解决下列问题：
（1）　 　，　 　，并补全乙种小麦的频数分布直方图；
（2）　 　，　 　；
（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是　 　（填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在（单位：cm）的株数　 　．
【答案】（1）2；4
（2）13.5；13
（3）乙；375
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由统计表可得甲种小麦苗高在7≤x＜10的频数a=2，
甲种小麦苗高在10≤x＜13的频数b=4；
乙种小麦苗高在13≤x＜16的频数7，
补全乙种小麦苗高的频数分布直方图如下：
故答案为：2，4；
（2）将甲抽取的16株麦苗的高度从低到高排列后排第8与9位的麦苗高度是13和14，
∴甲种小麦苗高的中位数为c=（13+14）÷2=13.5，
从统计表可得乙种小麦苗高的众数为d=13，
故答案为：13.5；13；
（3）∵8.65＞7.85，即甲种小麦苗高的方差大于乙种小麦苗高的方差，
∴ 甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；
若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在10≤x＜13的株数为：1200×=375（株）.
故答案为：乙；375.
【分析】（1）由表格可直接得出a，b的值；求出乙种小麦苗高在13x<16的频数，补全乙种小麦的频数分布直方图即可；
（2）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）根据方差越大，数据的波动越大，越不稳定，可得甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；根据用样本估计总体，用1200乘以样本中乙种小麦苗高在10≤x<13 (单位：cm)的株数所占的百分比，即可得出答案.
21．（2024·泸州）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？
（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
【答案】（1）解：设A种商品每件进价为x元，B种商品每件进价为y元，由题意可得
解得
答：A种商品每件进价为100元，B种商品每件进价为60元；
（2）解：购进A种商品a件，则购进B种商品（60-a）件，由题意得
，
解得19≤a≤20，
∴购进A种商品最多为20件.
【知识点】不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设A种商品每件进价为x元，B种商品每件进价为y元，根据“ 购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元 ”列出方程组，求解即可；
（2）购进A种商品a件，则购进B种商品（60-a）件，由“ 购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍 及 销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元 ”列出不等式组，求出最大整数解即可.
五、本大题共2小题，每小题8分，共16分．
22．（2024·泸州）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【答案】解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵∠CAF=45°，AC=30nmile，
∴
∵∠CBF=60°，
∵∠FCB=30°，∠FCD=60°，
∴∠BCD=∠FCD-∠FCB=30°，
.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CF⊥AB于点F，易得△ACF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得，在Rt△BCF中，易得∠CBF=60°，由∠CBF的正弦函数可求出CB，根据方向角易得∠BCD=30°，在Rt△BCD中，由∠BCD的余弦函数可求出CD的长.
23．（2024·泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标．
【答案】（1）解：将点B(2，3)代入反比例函数 ，
可得，
解得a=6，
∴反比例函数的解析式为；
将点A(-2，0)与B(2，3)分别代入y=kx+b得
，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：设直线CD与x轴的交点为M，
，
又∵S△OBC=2S△OCD，
∴S△OBC=8，
∵S△BON+S梯形BNMC=S△BOC+S△COM，且S△BON=S△COM，
∴S梯形BNMC=S△BOC=8，
将x=m代入，
得
∴C，又点B（2，3）
∴，
解得m1=6，m2=，
∵m＞2，
∴m=6，
∴点C的坐标为（6，1）.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决此题；
（2）设直线CD与x轴交于M，由反比例k的几何意义得，则S△OBC=8，进而根据S△BON+S梯形BNMC=S△BOC+S△COM，且S△BON=S△COM，推出S梯形BNMC=S△BOC=8，将x=m代入反比例函数算出对应的函数值可得点C的坐标，进而结合点B的坐标及梯形面积计算公式建立方程可求出m的值，从而得到点C的坐标.
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（2024·泸州）如图，是的内接三角形，AB是的直径，过点B作的切线与AC的延长线交于点D，点E在上，，CE交AB于点F．
（1）求证：；
（2）过点C作于点G，若，，求FG的长．
【答案】（1）证明：∵AC=CE
又
为直径
∴∠BCA=90°
∴
又为切线
∴∠ABD=90°，
∴
∴∠D=∠ABC，
；
（2）解：∵BD是圆O的切线，
∴∠ABD=90°，
∵OA=3，
∴AB=2OA=6，
Rt△ABD中，，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在△ACB与△ABD中，
∵∠DAB=∠BAC，∠ACB=∠ABD=90°，
∴△ABC∽△ABD，
∴，
即，
∴，
；
∵CG⊥AB，
∴∠AGC=∠ABD=90°，
∴CG∥BD，
∴
∴
，
过点C作CH⊥AE于点H，
∵AC=CE，CH⊥AE，
∴AE=2AH，
∵∠AHC=∠ACB=90°，∠CAH=∠ABC，
∴△ACH∽△BAC，
，即，
，
设GF=x，则BF=2-x，AF=4+x，
∵∠E=∠CBF，∠EAF=∠BCF，
∴△CFB∽△AFE，
，即
整理得
12+3x=8x+8
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由等边对等角及同弧所对的圆周角相等得∠CAE=∠E=∠ABC，由直径所对的圆周角是直角及切线的性质得∠ACB=∠ABD=90°，进而由三角形的内角和定理及同角的余角相等推出∠D=∠ABC，由等量代换得∠CAE=∠D；
（2）首先由勾股定理算出AD的长，然后用有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△ABD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AC、BC的长，进而得到CD的长；由同位角相等，两直线平行得CG∥BD，由平行于三角形一边的直线截其他两边，所截三角形与原三角形相似得△AGC∽△ABD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AG的长；过点C作CH⊥AE于点H，根据等腰三角形的三线合一得AE=2AH；用有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACH∽△BAC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AH的长，从而得到AE的长；设GF=x，则BF=2-x，AF=4+x，用有两组角对应相等的两个三角形相似得△CFB∽△AFE，由相似三角形对应边成比例建立方程组可求出x的长，从而即可得出答案.
25．（2024·泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时，y的取值范围是，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵A（3，0），抛物线的对称轴直线直线为x=1，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：∵当-1≤x≤t时，
∴当x=-1时，y=-x2+2x+3=0，取得最小值，
∴当x=t时（t＜3），y取得最大值，
∵抛物线开口向下，对称轴直线为x=1，
∴当x=1，y=-x2+2x+3=4，取得最大值，
即2t-1=4，
解得t=2.5；
（3）解：存在，理由如下：
令y=-x2+2x+3=0中的x=0，得y=3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（3，0），B（0，3）分别代入得
解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+3，
设点C（x，-x2+2x+3=0），则点D（x，-x+3），
当BD为边时，对应菱形为BDCE'，则CD=BD，
∴CD=-x2+2x+3-(-x+3)=BD=，
解得，
，
当BC为边时，对应的菱形为BCDE，CD=BC，
∴(-x2+3x)2=x2+(-x2+2x)2
解得x=2（不符合题意的值已经舍去）
∴CD=-22+3×2=2，
综上，菱形的边长为2或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入y=ax2+bx+3可得一个关于字母a、b的方程，根据抛物线的对称轴直线可得方程，联立两方程，求解得出a、b的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）当1≤x≤t，由x=-1时，y取得最小值，当x=t时，y取得最大值，即可求解；
（3）令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；根据点的坐标与图形性质，设设点C（x，-x2+2x+3=0），则点D（x，-x+3），当BD为边时，对应菱形为BDCE'，则CD=BD，据此结合两点间的距离公式建立方程，可求出x的值，从而得到BD的长；当BC为边时，对应的菱形为BCDE，CD=BC，据此结合两点间的距离公式建立方程，可求出x的值，从而得到CD的长，综上即可得出答案.
1 / 1