江苏省苏州市2024年中考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上．
1．（2024·苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：对于A，D，其与原点距离为3；
对于B，其与原点的距离为1；
对于C，其与原点的距离为2；
故距离原点最近的是1，
故选：B.
【分析】数轴上表示的各数与距离的关系逐一判断远近即可，或可利用绝对值几何意义判断其远近.
2．（2024·苏州）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】对于A，图形呈左右对称，故A正确，符合题意；
对于B，D，图形旋转180°后形状保持不变，故B，D均为中心对称图形，故B，D错误，不符合题意；
对于C，图形外圈同为中心对称，其内圈则不成对称，整体图形不构成对称图形，故C错误，不符合题意.
故选：A.
【分析】由轴对称及中心对称的定义逐一判断其对称性得出结果.
3．（2024·苏州）苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”．数据“2470000000000”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据“2470000000000”是13位数，
∴2470000000000=.
故选：C.
【分析】由 科学记数法的形式进行数据表示即可.
4．（2024·苏州）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
不等式两边同时加上1得，，
故选：D.
【分析】观察选项，利用不等式的性质进行原题干式子变形即可.
5．（2024·苏州）如图，，若，，则的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．65°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠2=120°，
∴∠2+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°-∠2=60°，
∴∠3=180°-∠1-∠BAD=180°-65°-60°=55°，
故选：B.
【分析】由平行线的性质进行条件转移，逐一往目标角靠拢即可.
6．（2024·苏州）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由图可知，甲和丁质量＞100，乙、丙和戊质量<100，
∵原5个数的中位数为100，
∴要使得其质量中位数为100，则需在甲和丁中选一个，乙、丙和戊中选另一个，
故选：C.
【分析】由数据中位数定义进行分析，选出合理的数据使得其中位数保持不变即可.
7．（2024·苏州）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：过点A和点B作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为M，N.
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=∠AMN=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，∠AOM+∠BON=90°，
∴∠OAM=∠BON，
∴△AOM∽OBN，
∴，
设，即，
设点A(-a，b)，即OM=a，MA=b，
∴，
∴点B(kb，ka)
此时将点A(-a，b)代入函数，即有，
将点B代入函数，即有，解得k=2（负值舍去），
∴，即.
故选：A.
【分析】为直接利用坐标系点的坐标，分别过A，B作x轴的垂线，利用相似将转化为点的横纵坐标比值，从而利用两已知函数建立等量关系得出其比值从而计算出的值.
8．（2024·苏州）如图，矩形ABCD中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC交直线l于点O，取AO中点M，连接MG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠BAC=∠ACE，∠CEO=∠AFO，∠B=90°，
又∵CE=AF，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AO=CO，
又∵AB=，BC=1，
∴在Rt△ABC中，AC=2AO=，即AO=1，
∴AM=OM=，
在Rt△AGO中，MG=，
又∵AG≤AM+MG，即，
当且仅当A、M、G三点共线时，AG最大，最大值为1.
故选：D.
【分析】在定矩形ABCD中，由CE=AF联想连接对角线AC并利用勾股定理求出其长度，即在直线l运动过程中始终经过矩形中心O，结合斜边中线的不变量分析得出AG最大值即可.
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9．（2024·苏州）计算： ．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故填：.
【分析】由同底数幂乘法运算法则进行计算即可.
10．（2024·苏州）若，则 ．
【答案】4
【知识点】解二元一次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解： 若，则
故填：4.
【分析】利用已知条件直接代入目标代数式进行消元即可得出结果.
11．（2024·苏州）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：依题意，阴影部分占8份中的3份，
即.
故填：.
【分析】由简单概率计算公式得出.
12．（2024·苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若，则 ．
【答案】62°
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=28°，
∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=180°-28°-28°=124°，
∴∠A==62°.
故填：62°.
【分析】连接OC，利用等腰等边对等角性质得出其各个内角的度数，然后利用圆的性质，即同弧中，其圆周角与圆心角的关系得出∠A.
13．（2024·苏州）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转15°，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，
由直线，令y=0时，x=1，即点A(1，0)，
令x=0时，y=-1，即点B(0，-1)，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
将直线 将直线绕点A逆时针旋转15°，得到直线，
即∠BAC=15°，
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=60°，
∴OCA=30°，
∴AC=2AO=2，
在Rt△OAC中，OC，
即C点坐标为(0，)，
设直线对应的函数表达式为，代入A(1，0)，
即k-=0，解得k=，
∴直线对应的函数表达式为，
故填：.
【分析】画出草图，结合直线的解析式的特殊角分析旋转后直线的位置，同时结合特殊角分析求出直线上的另一特殊点，即求得旋转后直线的表达式.
14．（2024·苏州）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
∵△ABO是正六边形的一部分，此时∠AOB=，
又∵AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
又∵点C是△ABO的内心，
∴∠ACB=2∠O=120°，
又∵AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=30°，
由CD⊥AB，，
∴AD=BD=，
∴在Rt△ADC中，cos∠CAD=，
解得：AC=2，
∴，
∴.
故填：.
【分析】由正六边形内角分析，结合特殊角三角函数值可快速求出所在圆的圆心C 的半径，从而得出花窗的周长.
15．（2024·苏州）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数经过，，
∴二次函数对称轴所在直线为，即b=-4a，
又∵二次函数经过，
∴c=m，
故二次函数解析式可记为，
将和代入解析式中有，
，解得，
∴.
故填：.
【分析】由特殊点分析得出函数对称轴与y轴交点完成第一步消元，即，后利用点坐标关系代入完成第二次消元，即n，m均可用a表示，从而得出其比值.
16．（2024·苏州）如图，△ABC中，，，，点D，E分别在AC，AB边上，，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥AC，垂足为点G，
在Rt△AGE和Rt△ACB中，
tan∠A=，
∴设EG=a，则AG=2a，
∴，
又∵，
∴AD=a，DG=AG-AD=a，
∴△DGE为等腰直角三角形，即∠EDG=45°，CD=10-a，
∴∠ADE=180°-∠EDG=135°，
由翻折可知，
∠EDF=∠EDA=135°，DF=AD=a，
∴∠FDG=∠EDF-∠EDG=90°，
∴，
，
∴.解得，(不符合题意，舍去)
∴AD=a=.
故填：
【分析】在定三角形ACB中，由定角A即夹边构成的形状固定的△ADE中，利用勾股定理可求得其内角中含特殊角，即∠ADE=135°，由特殊角分析并利用含a的式子表示目标三角形面积，建立等量关系解之即可.
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（2024·苏州） 计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由绝对值、零指数幂及算术平方根运算法则计算即可.
18．（2024·苏州） 解方程组：．
【答案】解：得，，解得，．
将代入①得．
方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】直接利用加减消元消去x解出y，后代入原方程中解出x即可.
19．（2024·苏州） 先化简，再求值：．其中．
【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】利用平方差公式对分式进行通分及约分化简，将x的值代入化简后的代数式求值即可.
20．（2024·苏州） 如图，△ABC中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
【答案】（1）证明：由作图知：．
△ABD和△ACD中，
．
（2）解：解法示例：
，，．
又，，．
，，．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）在读题标量的基础上，由作图描述及作图痕迹分析，即得等线段，由此可利用已知条件得出SSS全等；
（2）在（1）的基础上进一步结合作图分析即为中垂线，后由特殊三角形的边角关系逐一往目标线段求解长度即可.
21．（2024·苏州） 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 ；
（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）解：解法示例：
用树状图列出所有等可的结果：
等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）．
在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次，
P（抽取的书签价好1张为“春”，张为“秋”）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）由简单时间概率公式得出结果；
（2）将事件的所有可能情况利用树状图或列表逐一表示，并找出符合事件的结果，即为概率.
22．（2024·苏州） 某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为 °；
（3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数．
【答案】（1）解：∵项目C占比为15%，其人数为9人，
故总人数：9÷15%=60（人），
则D类人数：60-6-18-9-12=15（人），
：
（2）72
（3）解：（人）．
答：本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（2）项目E人数为12人，
∴对应圆心角度数为：.
故填：72.
【分析】（1）结合两个统计图，根据C类占比及人数求出总人数，后相减得出项目D的人数；
（2）在总人数的基础上，利用E所占人数的百分比换算为对应圆心角度数即可；
（3）用频率估计概率，即用当前部分数据中项目B的百分比估计七年级的人数.
23．（2024·苏州） 图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
（1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）．
【答案】（1）解：过点C作，垂足为E（答图1）．
由题意可知，，
又，四边形ABCE为矩形．
，，，．
，．
在中，．
（2）解：过点D作，交BC的延长线于点F，交于点G．
由题意可知，四边形ABFG为矩形，．
在中，，．
，，，．
，，，．
在中，．
【知识点】解直角三角形—边角关系；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）求解直角梯形的边，即将该梯形分解为矩形和直角三角形，利用勾股定理解之即可；
（2）在（1）的基础上，为使用条件及计算出目标三角形，需构造直角三角形并结合（1）解之即可.
24．（2024·苏州） 如图，△ABC中，，，，，反比例函数的图象与AB交于点，与BC交于点E．
（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）解：，，．
又，．
，点．
设直线AB的函数表达式为，
将，代入，得
∴直线AB的函数表达式为．
将点代入，得．
．
将代入，得．
（2）解：延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．
，，．
轴，，．
，，，．
设点P的坐标为，，则，．
．
．
当时，有最大值，此时．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；列反比例函数关系式；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）在已知条件点A、C的基础上得出B点坐标，为求出D点横坐标m，可以利用函数解析式代入求出，后代入反比例函数中求得k；
（2）由，故目标△PMN的面积，可设点P表示N，以PN为底进一步表示其高即可，其次结合PM∥AB，即可利用45°直角三角形将其高进行代数表示，最后目标面积利用代数式的非负性或二次函数的角度表示得出其最大值.
25．（2024·苏州） 如图，△ABC中，，D为AB中点，，，⊙O是△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
【答案】（1）解：，，．
．
，D为AB中点，，．
（2）解：过点A作，垂足为E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，
在中，．
又，．
．
，．
设，则，．
在中，，
，即，解得，（舍去）．
，．
与都是所对的圆周角：．
CF为⊙O的直径，．
．
，即⊙O的半径为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形—构造直角三角形；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【分析】（1）根据条件提供的一组等角与公共角，易分析相似，及直接求出BC的边；
（2）在（1）相似的基础上得出相似比，由几何条件分析几何图为定形解形，可以从已知线段入手，由及作垂解直角三角形，后衔接相似比解出CD，AC，为求半径可直接构造并延用∠ADC，即延长CO交圆于点F，同理解直角三角形即可.
26．（2024·苏州） 某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了 分钟，从B站到C站行驶了 分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为．
① ▲ ；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值．
【答案】（1）90；60
（2）解：①；
②解法示例：
（千米/分钟），，（千米/分钟）．
，A与B站之间的路程为360．
，当时，G1002次列车经过B站．
由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车．
G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
ⅰ．当时，，
，，（分钟）；
ⅱ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅲ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅳ．当时，，
，，（分钟）．
综上所述，当或125时，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图表可知，D1001次列车8：00-9：30从A行驶到达B，9：50-10：50从B行驶到达C，
∴从A到B行驶90分钟，从B到C行驶60分钟，
故答案为：90，60.
（2）由图表可知，D1001次列车行驶时间为8：25到10：30，共计125分钟，
∵在行驶过程其行驶速度均保持不变，设从A到C的总路程为s，
则D1001次列车：，
D1002次列车：，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）由图表信息分析得出行驶时间即可；
（2）①设总路程为s，由行程问题可计算其速度比值；
②根据行程问题由V1速度先计算总路程及各段路程，其次根据D1001次列车的停车时间进行分类讨论，利用行程问题分析得出其距离差的等量关系并检验即可.
27．（2024·苏州） 如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，．
（1）求图象对应的函数表达式；
（2）若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标；
（3）如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接AD，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式．
【答案】（1）解：将代入，
得，解得.
对应的函数表达式为：．
（2）解：设对应的函数表达式为，将点代入得，．
对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．
又图象的对称轴也为直线，
作直线，交直线l于点H．（如答图①）
由二次函数的对称性得，，．
又，．
设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为．
将代入，得，
将代入，得．
，，
即，解得，（舍去）．
点P的坐标为．
（3）解：连接DE，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J．（如答图②）
，轴，四边形IGJF为矩形，，．
设对应的函数表达式为，
点D，E分别为二次函数图象，的顶点，，．
，，．
在中，．
，．
又，．
．
设，则．
，．
，．
，．
又，，．①
点F在上，，即．
，．②
由①，②可得．
解得（舍去），，．
的函数表达式为．
【知识点】二次函数-动态几何问题；解直角三角形—边角关系；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）由待定系数法将两点代入函数解析式中，即列出关于b，c的二元一次方程组，解之即得函数解析式；
（2）设为交点式，将点C代入函数得其解析式，为减少计算量，可先利用对称性分析将线段和差问题转化为等线段问题，设线段长，并由两函数的代数表达得出等量关系，解之即可；
（3）由已知条件，转化为点的表达方式，即利用K型相似或同角锐角三角函数建立等量关系，利用已知函数的图象代入并表达出其三角函数值，同理为规避计算量先设线段长度，利用代数式表达条件中的线段位置关系，得出点E和点F坐标，最后代入函数中得出等量关系解出a即可.
1 / 1江苏省苏州市2024年中考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上．
1．（2024·苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（2024·苏州）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·苏州）苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”．数据“2470000000000”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·苏州）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·苏州）如图，，若，，则的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．65°
6．（2024·苏州）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊
7．（2024·苏州）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·苏州）如图，矩形ABCD中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．1
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9．（2024·苏州）计算： ．
10．（2024·苏州）若，则 ．
11．（2024·苏州）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
12．（2024·苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若，则 ．
13．（2024·苏州）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转15°，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
14．（2024·苏州）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留）
15．（2024·苏州）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ．
16．（2024·苏州）如图，△ABC中，，，，点D，E分别在AC，AB边上，，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则 ．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（2024·苏州） 计算：．
18．（2024·苏州） 解方程组：．
19．（2024·苏州） 先化简，再求值：．其中．
20．（2024·苏州） 如图，△ABC中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
21．（2024·苏州） 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 ；
（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
22．（2024·苏州） 某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为 °；
（3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数．
23．（2024·苏州） 图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
（1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）．
24．（2024·苏州） 如图，△ABC中，，，，，反比例函数的图象与AB交于点，与BC交于点E．
（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
25．（2024·苏州） 如图，△ABC中，，D为AB中点，，，⊙O是△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．
26．（2024·苏州） 某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了 分钟，从B站到C站行驶了 分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为．
① ▲ ；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值．
27．（2024·苏州） 如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，．
（1）求图象对应的函数表达式；
（2）若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标；
（3）如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接AD，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：对于A，D，其与原点距离为3；
对于B，其与原点的距离为1；
对于C，其与原点的距离为2；
故距离原点最近的是1，
故选：B.
【分析】数轴上表示的各数与距离的关系逐一判断远近即可，或可利用绝对值几何意义判断其远近.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】对于A，图形呈左右对称，故A正确，符合题意；
对于B，D，图形旋转180°后形状保持不变，故B，D均为中心对称图形，故B，D错误，不符合题意；
对于C，图形外圈同为中心对称，其内圈则不成对称，整体图形不构成对称图形，故C错误，不符合题意.
故选：A.
【分析】由轴对称及中心对称的定义逐一判断其对称性得出结果.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据“2470000000000”是13位数，
∴2470000000000=.
故选：C.
【分析】由 科学记数法的形式进行数据表示即可.
4．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
不等式两边同时加上1得，，
故选：D.
【分析】观察选项，利用不等式的性质进行原题干式子变形即可.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠2=120°，
∴∠2+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°-∠2=60°，
∴∠3=180°-∠1-∠BAD=180°-65°-60°=55°，
故选：B.
【分析】由平行线的性质进行条件转移，逐一往目标角靠拢即可.
6．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由图可知，甲和丁质量＞100，乙、丙和戊质量<100，
∵原5个数的中位数为100，
∴要使得其质量中位数为100，则需在甲和丁中选一个，乙、丙和戊中选另一个，
故选：C.
【分析】由数据中位数定义进行分析，选出合理的数据使得其中位数保持不变即可.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：过点A和点B作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为M，N.
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=∠AMN=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，∠AOM+∠BON=90°，
∴∠OAM=∠BON，
∴△AOM∽OBN，
∴，
设，即，
设点A(-a，b)，即OM=a，MA=b，
∴，
∴点B(kb，ka)
此时将点A(-a，b)代入函数，即有，
将点B代入函数，即有，解得k=2（负值舍去），
∴，即.
故选：A.
【分析】为直接利用坐标系点的坐标，分别过A，B作x轴的垂线，利用相似将转化为点的横纵坐标比值，从而利用两已知函数建立等量关系得出其比值从而计算出的值.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC交直线l于点O，取AO中点M，连接MG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠BAC=∠ACE，∠CEO=∠AFO，∠B=90°，
又∵CE=AF，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AO=CO，
又∵AB=，BC=1，
∴在Rt△ABC中，AC=2AO=，即AO=1，
∴AM=OM=，
在Rt△AGO中，MG=，
又∵AG≤AM+MG，即，
当且仅当A、M、G三点共线时，AG最大，最大值为1.
故选：D.
【分析】在定矩形ABCD中，由CE=AF联想连接对角线AC并利用勾股定理求出其长度，即在直线l运动过程中始终经过矩形中心O，结合斜边中线的不变量分析得出AG最大值即可.
9．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：.
故填：.
【分析】由同底数幂乘法运算法则进行计算即可.
10．【答案】4
【知识点】解二元一次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解： 若，则
故填：4.
【分析】利用已知条件直接代入目标代数式进行消元即可得出结果.
11．【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：依题意，阴影部分占8份中的3份，
即.
故填：.
【分析】由简单概率计算公式得出.
12．【答案】62°
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=28°，
∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=180°-28°-28°=124°，
∴∠A==62°.
故填：62°.
【分析】连接OC，利用等腰等边对等角性质得出其各个内角的度数，然后利用圆的性质，即同弧中，其圆周角与圆心角的关系得出∠A.
13．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，
由直线，令y=0时，x=1，即点A(1，0)，
令x=0时，y=-1，即点B(0，-1)，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
将直线 将直线绕点A逆时针旋转15°，得到直线，
即∠BAC=15°，
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=60°，
∴OCA=30°，
∴AC=2AO=2，
在Rt△OAC中，OC，
即C点坐标为(0，)，
设直线对应的函数表达式为，代入A(1，0)，
即k-=0，解得k=，
∴直线对应的函数表达式为，
故填：.
【分析】画出草图，结合直线的解析式的特殊角分析旋转后直线的位置，同时结合特殊角分析求出直线上的另一特殊点，即求得旋转后直线的表达式.
14．【答案】
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
∵△ABO是正六边形的一部分，此时∠AOB=，
又∵AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
又∵点C是△ABO的内心，
∴∠ACB=2∠O=120°，
又∵AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=30°，
由CD⊥AB，，
∴AD=BD=，
∴在Rt△ADC中，cos∠CAD=，
解得：AC=2，
∴，
∴.
故填：.
【分析】由正六边形内角分析，结合特殊角三角函数值可快速求出所在圆的圆心C 的半径，从而得出花窗的周长.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数经过，，
∴二次函数对称轴所在直线为，即b=-4a，
又∵二次函数经过，
∴c=m，
故二次函数解析式可记为，
将和代入解析式中有，
，解得，
∴.
故填：.
【分析】由特殊点分析得出函数对称轴与y轴交点完成第一步消元，即，后利用点坐标关系代入完成第二次消元，即n，m均可用a表示，从而得出其比值.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥AC，垂足为点G，
在Rt△AGE和Rt△ACB中，
tan∠A=，
∴设EG=a，则AG=2a，
∴，
又∵，
∴AD=a，DG=AG-AD=a，
∴△DGE为等腰直角三角形，即∠EDG=45°，CD=10-a，
∴∠ADE=180°-∠EDG=135°，
由翻折可知，
∠EDF=∠EDA=135°，DF=AD=a，
∴∠FDG=∠EDF-∠EDG=90°，
∴，
，
∴.解得，(不符合题意，舍去)
∴AD=a=.
故填：
【分析】在定三角形ACB中，由定角A即夹边构成的形状固定的△ADE中，利用勾股定理可求得其内角中含特殊角，即∠ADE=135°，由特殊角分析并利用含a的式子表示目标三角形面积，建立等量关系解之即可.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由绝对值、零指数幂及算术平方根运算法则计算即可.
18．【答案】解：得，，解得，．
将代入①得．
方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】直接利用加减消元消去x解出y，后代入原方程中解出x即可.
19．【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】利用平方差公式对分式进行通分及约分化简，将x的值代入化简后的代数式求值即可.
20．【答案】（1）证明：由作图知：．
△ABD和△ACD中，
．
（2）解：解法示例：
，，．
又，，．
，，．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）在读题标量的基础上，由作图描述及作图痕迹分析，即得等线段，由此可利用已知条件得出SSS全等；
（2）在（1）的基础上进一步结合作图分析即为中垂线，后由特殊三角形的边角关系逐一往目标线段求解长度即可.
21．【答案】（1）
（2）解：解法示例：
用树状图列出所有等可的结果：
等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）．
在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次，
P（抽取的书签价好1张为“春”，张为“秋”）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）由简单时间概率公式得出结果；
（2）将事件的所有可能情况利用树状图或列表逐一表示，并找出符合事件的结果，即为概率.
22．【答案】（1）解：∵项目C占比为15%，其人数为9人，
故总人数：9÷15%=60（人），
则D类人数：60-6-18-9-12=15（人），
：
（2）72
（3）解：（人）．
答：本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（2）项目E人数为12人，
∴对应圆心角度数为：.
故填：72.
【分析】（1）结合两个统计图，根据C类占比及人数求出总人数，后相减得出项目D的人数；
（2）在总人数的基础上，利用E所占人数的百分比换算为对应圆心角度数即可；
（3）用频率估计概率，即用当前部分数据中项目B的百分比估计七年级的人数.
23．【答案】（1）解：过点C作，垂足为E（答图1）．
由题意可知，，
又，四边形ABCE为矩形．
，，，．
，．
在中，．
（2）解：过点D作，交BC的延长线于点F，交于点G．
由题意可知，四边形ABFG为矩形，．
在中，，．
，，，．
，，，．
在中，．
【知识点】解直角三角形—边角关系；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）求解直角梯形的边，即将该梯形分解为矩形和直角三角形，利用勾股定理解之即可；
（2）在（1）的基础上，为使用条件及计算出目标三角形，需构造直角三角形并结合（1）解之即可.
24．【答案】（1）解：，，．
又，．
，点．
设直线AB的函数表达式为，
将，代入，得
∴直线AB的函数表达式为．
将点代入，得．
．
将代入，得．
（2）解：延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．
，，．
轴，，．
，，，．
设点P的坐标为，，则，．
．
．
当时，有最大值，此时．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；列反比例函数关系式；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）在已知条件点A、C的基础上得出B点坐标，为求出D点横坐标m，可以利用函数解析式代入求出，后代入反比例函数中求得k；
（2）由，故目标△PMN的面积，可设点P表示N，以PN为底进一步表示其高即可，其次结合PM∥AB，即可利用45°直角三角形将其高进行代数表示，最后目标面积利用代数式的非负性或二次函数的角度表示得出其最大值.
25．【答案】（1）解：，，．
．
，D为AB中点，，．
（2）解：过点A作，垂足为E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，
在中，．
又，．
．
，．
设，则，．
在中，，
，即，解得，（舍去）．
，．
与都是所对的圆周角：．
CF为⊙O的直径，．
．
，即⊙O的半径为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形—构造直角三角形；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【分析】（1）根据条件提供的一组等角与公共角，易分析相似，及直接求出BC的边；
（2）在（1）相似的基础上得出相似比，由几何条件分析几何图为定形解形，可以从已知线段入手，由及作垂解直角三角形，后衔接相似比解出CD，AC，为求半径可直接构造并延用∠ADC，即延长CO交圆于点F，同理解直角三角形即可.
26．【答案】（1）90；60
（2）解：①；
②解法示例：
（千米/分钟），，（千米/分钟）．
，A与B站之间的路程为360．
，当时，G1002次列车经过B站．
由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车．
G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
ⅰ．当时，，
，，（分钟）；
ⅱ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅲ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅳ．当时，，
，，（分钟）．
综上所述，当或125时，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图表可知，D1001次列车8：00-9：30从A行驶到达B，9：50-10：50从B行驶到达C，
∴从A到B行驶90分钟，从B到C行驶60分钟，
故答案为：90，60.
（2）由图表可知，D1001次列车行驶时间为8：25到10：30，共计125分钟，
∵在行驶过程其行驶速度均保持不变，设从A到C的总路程为s，
则D1001次列车：，
D1002次列车：，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）由图表信息分析得出行驶时间即可；
（2）①设总路程为s，由行程问题可计算其速度比值；
②根据行程问题由V1速度先计算总路程及各段路程，其次根据D1001次列车的停车时间进行分类讨论，利用行程问题分析得出其距离差的等量关系并检验即可.
27．【答案】（1）解：将代入，
得，解得.
对应的函数表达式为：．
（2）解：设对应的函数表达式为，将点代入得，．
对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．
又图象的对称轴也为直线，
作直线，交直线l于点H．（如答图①）
由二次函数的对称性得，，．
又，．
设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为．
将代入，得，
将代入，得．
，，
即，解得，（舍去）．
点P的坐标为．
（3）解：连接DE，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J．（如答图②）
，轴，四边形IGJF为矩形，，．
设对应的函数表达式为，
点D，E分别为二次函数图象，的顶点，，．
，，．
在中，．
，．
又，．
．
设，则．
，．
，．
，．
又，，．①
点F在上，，即．
，．②
由①，②可得．
解得（舍去），，．
的函数表达式为．
【知识点】二次函数-动态几何问题；解直角三角形—边角关系；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）由待定系数法将两点代入函数解析式中，即列出关于b，c的二元一次方程组，解之即得函数解析式；
（2）设为交点式，将点C代入函数得其解析式，为减少计算量，可先利用对称性分析将线段和差问题转化为等线段问题，设线段长，并由两函数的代数表达得出等量关系，解之即可；
（3）由已知条件，转化为点的表达方式，即利用K型相似或同角锐角三角函数建立等量关系，利用已知函数的图象代入并表达出其三角函数值，同理为规避计算量先设线段长度，利用代数式表达条件中的线段位置关系，得出点E和点F坐标，最后代入函数中得出等量关系解出a即可.
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