福建省福州金山中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

福州金山中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则( )
A.16 B.8 C.4 D.2
2．已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则( )
A. B. C. D.1
3．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )
A.B.C.D.
4．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布( )
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
5．第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办,这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A,B,C分别承担这5个新增项目的比赛,且每个场地至少承办其中一个项目,则不同的安排方法有( )
A.150种 B.300种 C.720种 D.1008种
6．展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为( )
A. B. C.100 D.160
7．某学校有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为( )
A. B. C. D.
8．已知数列满足，，，则数列的第2024项为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10．已知等差数列的公差为d，前n项和为，，，，则( )
A. B.，
C. D.当时，有最大值
11．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是( )
A.若，且，，则
B.若，且，，则
C.若，，则
D.若，，，则
三、填空题
12．已知数列的首项，且满足，则________.
13．小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间（单位：分钟）服从正态分布；若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间（单位：分钟）服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间（单位：分钟）服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择__________上班迟到的可能性最小.（填“自驾”“公交”或“地铁”）
参考数据：若，则，，.
14．右曲线的一条切线为，其中a，b为正实数，则的取值范围是__________.
四、解答题
15．已知在的展开式中（），常数项为，求：
（1）a的值；
（2）展开式中的系数；
（3）含x的整数次幂的项共有多少项.
16．已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
17．已知数列的前n项和，等比数列的公比，且，是和的等差中项.
（1）求和的通项公式；
（2）令，的前n项和记为，若，对一切成立，求实数m的最大值.
18．2024年元旦期间,辽宁省推出了将冰雪温泉,民俗文化与体育活动深度融合的冬季主题系列活动.现主委会要招募一批志愿者,应聘者需参加相关测试,测试合格者才能予以录用.测试备选题中关于冰雪温泉内容的有3道,关于民俗文化内容的有4道,关于体育活动内容的有m道.已知应聘者甲随机抽出2道题都是关于冰雪温泉内容的概率为.
（1）求m的值;
（2）招募方案规定:每位应聘者要从备选题中随机抽出3道题进行测试,至少答对2道题者视为测试合格.已知应聘者甲能答对备选题中的6道题,应聘者乙答对每道备选题的概率都是.
(i)求应聘者甲答对题的数量X的分布列和数学期望;
(ii)试估计甲,乙两名应聘者谁被录用的可能性大,并说明理由.
19．已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）已知，当，试比较与的大小，并给予证明.
参考答案
1．答案：A
解析：因为等比数列的各项均为正数，公比，且满足，所以，则.故选：A.
2．答案：B
解析：表示选出的4个代表中有3个男生1个女生，则.
故选：B.
3．答案：C
解析：由导函数的图象知，导函数当和时的导函数值为0，故原来的函数当和时取得极值.当或时，导函数值为正(或0)，当时，导函数值为负，所以当或时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故选C.
4．答案：B
解析：设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，且，，故公差，故，故选：B.
5．答案：A
解析：若三个场地分别承担3,1,1个项目,则有种安排,
若三个场地分别承担2,2,1个项目,则有种安排,
综上,不同的安排方法有种.
故选：A.
6．答案：C
解析：取代入，得，解得
则原式
其中，只有前两项包含项.
，其中项的系数为；
，其中项的系数为.
故原式展开式中的项的系数为.
故选：C.
7．答案：C
解析：依题意，设第一周去自由校区开会为事件A，第二周去自由校区开会为事件B，
则，，
，
所以
则
故选：C.
8．答案：A
解析：，即.
.
.
.
9．答案：BC
解析：，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
10．答案：BD
解析：，，故选项A错误；
，，，，故选项B正确；
，且，
，故选项C错误；
由，知，当时，有最大值，故选项D正确；
故选：BD.
11．答案：BCD
解析：选项A：因为，所以，选项A不正确；
选项B：若，则A，B互斥，由，，
得，选项B正确；
选项C：由得事件A，B相互独立，所以事件，也相互独立，
所以，
则，选项C正确；
选项D：由，，
得，，，
所以，
解得，选项D正确.
12．答案：
解析：
13．答案：公交
解析：若选择自驾，则；
若选择地铁，则；
若选择公交，则.
故小明乘坐公交上班迟到的可能性最小
14．答案：
解析：设切点为，由，得，
因为过切点的直线为，
所以，
因为，所以，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
（3）6
解析：（1）由已知得二项展开式的通项，因为常数项，所以当时，解得
（2）由（1）知，令得所以的系数为
（3）要使为整数，只需k为偶数，由于，，因此含x的整数次幂的项共有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项
16．答案：（1），；
（2）最大值为4，最小值为0.
解析：（1），由题意得，解得.
此时，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.又因为，所以函数在区间上的最大值为4，最小值为0.
17．答案：（1）；，；（2）
解析：（1）时，，
当时，
也符合上式，所以
又和，得，或.
，∴.
∴，.
（2）∵
而随着n的增大而增大，所以
故有m最大值为.
18．答案：（1）
（2）(i)分布列见解析,
(ii)甲被录用的可能性大,理由见解析
解析：（1）设事件A表示甲抽出的2道题都是关于冰雪温泉内容的,
则,
解得.
（2）(i)甲答对题的数量X的所有可能取值为0,1,2,3.
则,
,,,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
于是X的数学期望.
(ii)设事件B表示甲测试合格,
则由(i)可知.
设事件C表示乙测试合格,
则.
因为,所以甲被录用的可能性大.
19．答案：（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2），证明见解析
解析：（1）因为，定义域为，
所以，
当时，，所以的单调递增区间为没有单调递减区间；
当时，令，得；令，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），
证明如下：当时，，又，
令，
则，
令，则，又，，
所以函数在上单调递增，且存在唯一零点，使得，
且时，；时，，
即时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，而，即，
两边取对数得，
所以，故在上恒成立.