广西部分学校2024届高三下学期4月模拟考试数学试卷（含解析）

广西部分学校2024届高三下学期4月模拟考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
2．的共轭复数为( )
A. B. C. D.
3．把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为( )
A. B. C. D.
4．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，下列命题为真命题的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
5．下列函数中，在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
6．已知轴截面为正方形的圆柱的体积与球O的体积之比为，则圆柱的表面积与O球的表面积之比为( )
A.1 B. C.2 D.
7．已知，是函数的极小值点，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，，利用此样本数据求得的线性回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的线性回归方程为，且，则( )
A.8 B.12 C.16 D.20
二、多项选择题
9．若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
10．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为的重心，，，则( )
A. B.
C.的面积的最大值为 D.a的最小值为
11．已知定义在R上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则( )
A.的图象关于点对称
B.函数的图象关于直线对称
C.函数的周期为2
D.
三、填空题
12．智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器 自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有______种不同的选择方案.
13．已知，则______.
14．已知，分别是双曲线的左 右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则__________.
四、解答题
15．在等差数列中，，且等差数列的公差为4.
（1）求；
（2）若，数列的前n项和为，证明：.
16．为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：，，，，，，.整理得到如下频率分布直方图.
（1）求a的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）从成绩在，内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为X，求X的分布列与期望.
17．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为菱形，，，E是CD的中点.
（1）证明：平面平面PAE.
（2）求二面角的余弦值.
18．设抛物线的焦点为F，已知点F到圆上一点的距离的最大值为6.
（1）求抛物线C的方程.
（2）设O是坐标原点，点，A，B是抛物线C上异于点P的两点，直线，与y轴分别相交于M，N两点（异于点O），且O是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
19．定义：若函数图象上恰好存在相异的两点P，Q满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P，Q为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.
（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若，证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：设椭圆长轴长2a，焦距2c，则，即.故选：C.
2．答案：B
解析：，复数的共轭复数为.
故选：B.
3．答案：A
解析：把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数为：.故选：A.
4．答案：B
解析：如图，当时，与可相交也可平行，故A错；
当时，由平行性质可知，必有，故B对；
如图，当时，或，故C错；当时，l，m可相交、平行，故D错.
故选：B.
5．答案：D
解析：对于A，，其定义域为，不符合题意；
对于B，，在上为减函数，不符合题意；
对于C，，在上单调递减，不符合题意；
对于D，，在上单调递增，符合题意.
故选：D.
6．答案：B
解析：设圆柱底面圆半径为r，球O的半径为R，则圆柱的高为2r，由，可得，
所以圆柱的表面积与球O的表面积之比为
故选：B.
7．答案：A
解析：由题意知：，
令，，或，则当时，即，，
而恒成立，所以在R上单调递增，无极值点，不符合题意，
所以.
当时，即，则在上，，
在，上单调递增，
在上，，单调递减，
则在处取极大值，不符合题意，当时，即，则在上，，
在，上单调递增，在上，，单调递减，
则在处取极小值，符合题意，综上所述，a的取值范围为：.
故选：A.
8．答案：C
解析：设没剔除两对数据前的x，y的平均数分别为，，
剔除两对数据后的x，y的平均数分别为，，
因为，所以，则，
因为两对数据为和，所以，
所以，
所以，解得.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：根据Venn图可知，
对于A，显然，故A正确；
对于B，，，则，故B错误；
对于C，，，则，故C正确；
对于D，，或，，
则，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：O是的重心，延长交于点D，则D是中点，
，A错；
由得，所以，
又，即
所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；
，当且仅当时等号成立，，
，C正确；
由得，
所以，
，当且仅当时等号成立，所以a的最小值是，D错.
故选：BC.
11．答案：ABD
解析：对A，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称，
故的图象关于点对称，故A正确；
对B，，
，
又，故.
即，故的图象关于直线对称，故B正确；
对C，由A，，且，
又因为，故，
即，故，即.
由B，，故，故的周期为4，故C错误；
对D，由，的图象关于点对称，且定义域为R，则，，
又，代入可得，则，
又，故，，，，又的周期为4，.
则
.
即，
则，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：150
解析：不同的选择方案共有种.
故答案为：150.
13．答案：1或-3.
解析：因为，
所以或，
即或，
当时，，
当时，.
故答案为：1或-3.
14．答案：2
解析：双曲线的实半轴长为，
延长交直线于点H，由题意有，，
又O是中点，所以，
故答案为：2.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设的公差为d，则，，
又，所以，
所以，.
（2）由（1）得，
所以.
16．答案：（1）；
（2）分布列见详解；
解析：（1）由图可知，，
解得，
该村村民成绩的平均数约为
.
（2）从成绩在，内的村民中用分层抽样的方法选取6人，
其中成绩在的村民有人，
成绩在的村民有4人，
从中任选3人，X的取值可能为1，2，3，
，，，
则X的分布列为
X 1 2 3
P
故.
17．答案：（1）证明见解析；（2）
解析：（1）连接AC，因为底面ABCD为芰形，，所以是正三角形.
又E为CD的中点，所以，则，
因为平面平面ABCD，平面平面，所以平面PAB.
因为平面PAB，所以.
因为，所以，则，
因为，所以平面PAE.
又平面PBC，所以平面平面PAE.
（2）取AB的中点O，连接OC，OP，易得OB，OC，OP两两垂直以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面PAD的法向量为，则由，可得，
令，得.
由（1）可知，是平面PAE的一个法向量，
所以.
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）过定点，定点坐标为
解析：（1）点F到圆E上点的最大距离为，即，得，
故抛物线C的方程为.
（2）设，，则方程为，方程为，
联立与抛物线C的方程可得，即，
因此A点纵坐标为，代入抛物线方程可得A点横坐标为，
则A点坐标为，同理可得B点坐标为，
因此直线的斜率为，
代入B点坐标可以得到方程为，
整理可以得到，因此经过定点.
19．答案：（1）不是，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）不是，理由如下：
由已知，由解得，，
又，，不妨设切点为，，
在点P处的切线的方程为，即，
在点Q的切线方程为，即与直线不重合，
所以直线不是曲线的“双重切线”.
（2）由题意，函数和都是单调函数，
则可设切点为，，且，
所以在点P处的切线的方程为，
在点Q的切线方程为，
所以，消去得，
设（），
则，所以是减函数，
又，所以在时只有一解，
所以方程的解是，从而，
在点处切线方程为，即，
在点处的切线方程为，即，
所以“双重切线”方程为；
（3）证明：设对应的切点为，，，对应的切点为，，，
由于，所以，，
由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑，情形，
则，，其中，
所以，
又，，
即，，
时，，，
令（），则，，
在上单调递减，又，所以，
所以，此时，则，
所以.