辽宁省朝阳市建平县高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

建平县高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．函数在上的平均变化率是( )
A. B.8 C.-8 D.
2．根据3对数据,,绘制的散点图知,样本点呈直线趋势,且线性回归方程为,则( )
A.11 B.10 C.9 D.8
3．若随机变量,且,则( )
A.0.855 B.0.79 C.0.71 D.0.29
4．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
5．已知随机变量,若,,则( )
A. B. C. D.15
6．已知为等比数列的前n项和,若,则( )
A.3 B.6 C.9 D.12
7．研究人员对甲,乙两种药物的临床抗药性进行研究,通过实验数据发现:“对药物甲产生抗药9性”的概率为,“对药物乙产生抗药性”的概率为,“对甲,乙两种药物均不产生抗药性”的概率为.则在对药物甲产生抗药性的条件下,对药物乙也产生抗药性的概率为( )
A. B. C. D.
8．某校为丰富学生的课外活动,加强学生体质健康,拟举行乒乓球团体赛,赛制采取3局2胜制,每局都是单打模式,每队有5名队员,比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的,每局比赛结果互不影响.经过小组赛后,最终甲,乙两队进入最后的决赛,根据前期比赛的数据统计,甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为,甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为(注:比赛结果没有平局),则甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列命题正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
10．2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是( )
A.若A与B相邻，则有48种不同站法
B.若C与D不相邻，则有24种不同站法
C.若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法
D.若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法
11．已知是正项数列的前n项积,且,将数列的第1项,第3项,第7项,…,第项抽出来,按原顺序组成一个新数列,令,数列的前n项和为,且不等式对恒成立,则( )
A.数列是等比数列 B.
C. D.实数的取值范围是
三、填空题
12．已知等差数列的前n项和为,若,则________.
13．的展开式中项的系数是________.
14．“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G.Fubini）原理.“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”，由等式，，，利用“算两次”原理可得______.（结果用组合数表示）
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为,,.
（1）求数列的通项公式;
（2）求的最小值及取得最小值时n的值.
16．唐诗是中国古典文化最灿烂的瑰宝之一.2023年7月8日,电影《长安三万里》上映以来,全国掀起了诗词背诵的狂潮,在电影院背诗成了当下最常见的现象,某诗词协会为了了解观众对影片中出现的48首唐诗的熟悉情况(若会背诵其中40首唐诗为极熟悉,否则为不太熟悉),在影片放映结束后,随机抽取了200位观众进行调查,得到如下2×2列联表:
对48首唐诗极熟悉 对48首唐诗不太熟悉 总计
不超过30岁 80 120
超过30岁 40
总计
附:,.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）补全2×2列联表
（2）是否有97.5%的把握认为对这48首唐诗的熟悉程度与年龄有关
（3）按分层随机抽样的方式在极熟悉48首唐诗的观众中抽取6人进行唐诗小调查,随后再从这6人中抽取3人进行唐诗接力赛,记3人中年龄超过30岁的人数为X,求X的分布列与均值
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,,,,,M是PA的中点
（1）求证:平面平面MCD;
（2）若,求平面PBC与平面MCD夹角的余弦值.
18．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为.
（1）求C的方程;
（2）若直线l交双曲线C于A,B两点,O是坐标原点,若是弦AB的中点,求的面积.
19．差分法的定义:若数列的前n项和为,且,,则时,.例如:已知数列的通项公式是,前n项和为,因为,所以.
（1）若数列的通项公式是,求的前n项和;
（2）若,,且数列,的前n项和分别为,,证明:.
参考答案
1．答案：A
解析：函数在上的平均变化率是.故选A.
2．答案：B
解析：由已知,得,,又经过点,所以,解得.故选B.
3．答案：C
解析：由,得,所以.故选C.
4．答案：B
解析：由,得,所以切线的斜率为,因为,所以曲线在处的切线方程为,即,令,得,令,得,所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.故选B
5．答案：D
解析：因为,,所以,即,所以,所以.故选D.
6．答案：C
解析：设的公比为q,由题意得,即,所以,所以.故选C.
7．答案：A
解析：设“对药物甲产生抗药性”为事件A,
“对药物乙产生抗药性”为事件B,
“对甲,乙两种药物均不产生抗药性”为事件C,
则,,,且,
所以,
又,
所以,
所以.故选A.
8．答案：B
解析：设事件“种子选手第局上场”,
事件“甲队最终2:1获胜且种子选手上场”,
由全概率公式知,
因为每名队员是否上场是随机的,故,,,
所以,,,
所以,
所以甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率为.故选B.
9．答案：BD
解析：A选项中,,所以,故A错误;
B选项中,,所以,故B正确;
C选项中,,所以,故C错误;
D选项中,,所以,故D正确.故选BD.
10．答案：ACD
解析：若A与B相邻，则有种不同站法，A正确；若C与D不相邻，则有种不同站法，B错误；若B在E的左边（可以不相邻），则有种不同站法，C正确；若A不在最左边，D不在最中间，则有种不同站法，D正确，故选ACD.
11．答案：BCD
解析：因为,所以,当时,由是数列的前n项积,得,即,所以,所以,所以数列是公差为1的等差数列,故A错误;
当时,,即,又,所以,所以,当时,,又,满足上式,所以,故B正确;
由题意知,所以,则,,两式相减,
得
,
所以,故C正确;
由,得单调递增,当n为奇数时,由对恒成立,得恒成立,即,所以;
当n为偶数时,由对恒成立,得恒成立,即,所以,所以实数的取值范围是,故D正确.故选BCD.
12．答案：3
解析：,又,所以.
13．答案：112
解析：的二项式通项,令,得,令,得,所以展开式中的系数为.
14．答案：
解析：因为，因此是展开式项的系数，而的展开式中项的系数为，所以.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为,
由,,得,,解得,,
所以.
（2）方法一:由知是递增数列,
当时,;当时,.
所以,
所以当时,最小,最小值为.
方法二:,
又,所以当时,最小,最小值为.
16．答案：（1）见解析
（2）有97.5%的把握认为对这48首唐诗的熟悉程度与年龄有关.
（3）1
解析：（1）
对48首唐诗极熟悉 对48首唐诗不太熟悉 总计
不超过30岁 80 40 120
超过30岁 40 40 80
总计 120 80 200
（2）,
所以有97.5%的把握认为对这48首唐诗的熟悉程度与年龄有关.
（3）按分层随机抽样的方式在极熟悉48首唐诗的观众中抽取6人进行唐诗小调查,其中年龄不超过30岁的抽取4人,年龄超过30岁的抽取2人,
由题意,得X的可能取值是0,1,2,
,,.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:因为,M是PA的中点,所以,
因为,,DM,平面MCD,所以平面MCD.
又平面PAB,所以平面平面MCD.
（2）因为,所以,
因为,,PA,平面PAD,所以平面PAD,
又平面PAD,所以.
因为,所以,所以.
所以CD,AD,PD两两垂直,故以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,.
则,,
设是平面PBC的法向量,则
即,令,得,,所以.
由（1）知平面MCD,所以平面MCD的一个法向量为.
因为,
所以平面PBC与平面MCD夹角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由双曲线的一条渐近线方程为,所以,
故F到渐近线的距离,
所以,又,,所以,,
故C的方程为.
（2）设点,,
因为是弦AB的中点,则
由于,,
所以两式相减,得,
所以,即直线的斜率为,
所以直线l的方程为,即.
联立,
消去y并整理,得,
所以,且,,
所以.
点O到直线的距离为,
所以的面积为.
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为(且),
所以,即,
当时,;
当时,,满足上式.
所以.
（2）证明:因为数列是等差数列,所以.
由（1）知数列的前项和为,
数列是等差数列,其前项和为,
因为,
所以数列的前项和为.
因为（且）,
所以,即.
令数列的前项和为,
当时,;
当时,,满足上式.
所以.
又数列的前项和为,
数列是等差数列,其前项和为,
因为,
即所以数列的前n项和为
,
即.
又,所以.