江西省宜春市宜丰中学2024届高三下学期5月模拟预测数学试卷（含解析）

江西省宜丰中学2024届高三下学期5月模拟预测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．复数的虚部为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
3．已知双曲线的实半轴长为,其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3,则双曲线C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4．的展开式中第四项的系数为540,则的值为( )
A. B. C. D.
5．若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆，上，则的最小值为( )
A.6 B.12 C.16 D.18
6．已知函数在有且仅有三个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．已知等差数列的前n项和为,且,,若对于任意的,不等式恒成立,则实数x可能为( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
8．函数，若关于x的不等式有且仅有三个整数解，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列结论正确的是( )
A.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体,则每个个体被抽到的概率都是
B.数据36,28,22,24,22,78,32,26,20,22的第80百分位数为34
C.随机变量,若,则
D.已知随机变量,若,则
10．如图,在棱长为的正方体中,点P在线段上运动,则( )
A.平面平面
B.三棱锥的体积为定值
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.当为的中点时,三棱锥的外接球的表面积为
11．已知抛物线的准线方程为,焦点为F,O为坐标原点,,是C上的两点,则下列说法中正确的是( )
A.点F的坐标为
B.若,则的中点到x轴距离的最小值为8
C.若直线过点,则以为直径的圆过点O
D.若直线与的斜率之积为,则直线过点F
三、填空题
12．已知点A、B是圆上的两点,且,则_________．
13．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4,4.现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回,乙再从中随机摸出一个球记下所标数字,若摸出的球上所标数字大即获胜(若所标数字相同则为平局),则在甲获胜的条件下,乙摸到2号球的概率为_________.
14．已知函数的零点为t,则______.
四、解答题
15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知．
（1）求角A；
（2）若,点M为的重心,且,求的面积．
16．如图,在直三棱柱中,,,M,N分别为,的中点
（1）求证：平面;
（2）若,求平面与平面所成锐二面角余弦值.
17．某商场推出“云闪付”购物活动,由于推广期内优惠力度较大,吸引了越来越多的顾客使用这种支付方式.现统计了活动刚推出一周内每天使用“云闪付”支付的人数,用表示活动推出的天数,y表示每天使用该支付方式的人数,统计数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 13 25 40 73 110 201
根据散点图判断,在推广期内,支付的人数关于天数的回归方程适合用表示.
（1）求该回归方程,并预测活动推出第8天使用“云闪付”的人数;（,的结果精确到0.01）
（2）推广期结束后,商场对顾客的支付方式进行统计,结果如下表：
支付方式 云闪付 会员卡 其它支付方式
比例
商场规定：使用会员卡支付的顾客享8折,“云闪付”的顾客随机优惠,其它支付方式的顾客无优惠,根据统计结果得知,使用“云闪付”的顾客,享7折的概率为,享8折的概率为,享9折的概率为.设顾客购买标价为元的商品支付的费用为,根据所给数据用事件发生的频率估计相应事件发生的概率,写出X的分布列,并求.
参考数据：设,,,,.
参考公式：对于一组数据,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：,.
18．已知椭圆的左右顶点分别为和,离心率为,且经过点,过点P作垂直x轴于点H．在x轴上存在一点A（异于H）,使得．
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过点A作一条垂直于x轴的直线l,在l上任取一点T,直线和直线分别交椭圆C于M,N两点,证明：直线经过定点．
19．设,.
（1）当时,证明：;
（2）证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,
所以复数的虚部为-2 ,
故选：A.
2．答案：C
解析：,,
故,
故选：C.
3．答案：B
解析：由题意,双曲线的上焦点坐标,
渐近线方程为,不妨取,即
因为到 的距离,
所以,
又实半轴长,
所以渐近线方程为.
4．答案：C
解析：因为的展开式中第四项为,
所以,
解得,
所以,
故选：C.
5．答案：C
解析：由题意得，函数，且的图象所过定点为，则，，当且仅当，时等号成立.故选C.
6．答案：B
解析：因为,所以,因为函数在有且仅有三个零点,结合正弦函数的图象可知,解得,故选:B.
7．答案：A
解析：因为,时,,时,
,
所以,,,
因为为等差数列,所以,,
从而,,
所以,
即,
则当时,恒成立,
,
解得或,只有选项A符合题意,
故选：A.
8．答案：A
解析：对函数求导可得，令，解得，令，解得，又时，，
所以的递增区间为，递减区间为和，
作出图象如图所示：
当时，由，可得，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当时，由，可得，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当时，由，可得，
又， ，，
由的递增区间为，所以，
所以要使有三个整数解，则，
所以关于x的不等式有且仅有三个整数解，
则a的取值范围为.
故选：A.
9．答案：BC
解析：
10．答案：ABD
解析：
11．答案：AD
解析：因为抛物线的准线方程为,所以C的解析式为.
因为准线方程为,故焦点,故选项A正确.
设,
联立
则,
故,,
故的中点坐标为.
因为,
所以,
所以,
当且仅当时等号成立,故选项B错误.
设,则,则,
所以的中点到点O的距离,
故以为直径的圆不过点O,故选项C错误.
设,
因为,故,
即,所以直线过点,故选项D正确.
故选：AD.
12．答案：6
解析：
13．答案：
解析：设事件“甲获胜”为事件A,事件“乙摸到2号球”为事件B,则,,所以,故填.
14．答案：
解析：为函数零点
.
令,在递减,递增即.令,在递增,.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,由正弦定理可得,
整理得,由余弦定理可得．
又因为,所以．
（2）设的延长线交于点D,因为点M为的重心,所以点D为中点,
又因为,所以．
在中,由和,可得．
在和中,有,
由余弦定理可得
故,
所以,
所以的面积为．
16．答案：（1）见证明;
（2）
解析：（1）证明：取的中点E,连接EM,EN,
在中,E,M分别是,AB的中点,则,且,
又N为的中点,,
,,
从而有且,
四边形EMCN为平行四边形,则．
又平面,平面,
平面;
（2）,M为AB的中点,,
直三棱柱中,由平面ABC,得,
又,平面,从而
又,, ⊥平面,
从而有,
,,,．
由（1）知, 平面ABC．
以M为坐标原点,,,为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,
则,,,,．
,,．
设平面的法向量为,
则,取,则,
平面的法向量为,
,
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
17．答案：（1）,355人;
（2）分布列见解析,.
解析：（1）由,得,
设,,,则.
,,,
.
把样本中心点代入方程得,
所以,即,
其回归方程为,
当时,.
（2）X的可能取值为：,,,a
,
,,
分布列如下：
X
P 0.1 0.35 0.15 0.4
所以,购物的平均费用为：.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得,将代入椭圆方程得,
联立方程组,解得,所以椭圆的方程为.
（2）设,由,得,解得,
此时,如图：设,由,,三点共线,
得,
由,,三点共线,得,得,
又,得,
得,
即．
设直线的方程为,
即,①
联立直线与椭圆,消x得,
则有,②
将②式代入①式,得,解得（舍）或.
直线经过定点．
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）因为定义域为R,
所以,
所以为定义在R上的偶函数,下取,
可知,令,,
则在内单调递增,可得,
即在内恒成立,可知在内单调递增,
所以在内的最小值为,结合偶函数性质可知：.
（2）由（1）可得：,当且仅当时,等号成立,
即,令,,,则,当时,,即,
则有：,,,,
相加可得：,
因为,则,所以,
即.