长春市第八中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)

长春市第八中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知等差数列的公差为4，且，，成等比数列，则( )
A.46 B.48 C.50 D.52
2．下列式子求导正确的是( )
A. B. C. D.
3．数列满足且，则( )
A. B. C. D.
4．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，（，），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为( )
A.1348 B.1358 C.1347 D.1357
5．设函数的导数为，且，则( )
A.-2 B.0 C.2 D.4
6．从非洲蔓延到东南亚蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：
x 20 23 25 27 30
z 2 2.4 3 3 4.6
由上表可得经验回归方程，则当时，蝗虫的产卵量y的估计值为( )
A. B. C.8 D.
7．已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、多项选择题
9．某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高/cm 165 168 170 172 173 174 175 177 179 182
体重/kg 55 89 61 65 67 70 75 75 78 80
由表中数据制作成如下所示的散点图：
由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为.则以下结论中正确的有( )
A. B. C. D.
10．下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
11．已知数列的前n项和为，下列说法正确的是( )
A.若，则是等差数列
B.若，则是等比数列
C.若，，则数列为递增数列
D.若数列为等差数列，，则最小
三、填空题
12．已知数列的前n项和为，，，则___________.
13．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是________.
四、双空题
14．为各项非零的等差数列，其前n项和为，若对任意正整数n，均有，则的通项公式________;数列的前n项和________.
五、解答题
15．已知函数.
（1）求曲线与直线垂直的切线方程；
（2）若过点的直线l与曲线相切，求直线l的斜率.
16．已知等差数列前n项和为（），数列是等比数列，，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设数列的前n项和为，求.
17．某企业2015年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造，2016年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2016年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.
(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年)，该企业不进行技术改造的年纯利润为万元;进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元，求和；
(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年)，该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，求和；
(3)依上述预测，从2016年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润
18．2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题.某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查（评价结果仅有“满意”、“不满意”），从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：
满意 不满意 合计
男性 10 50
女性 60
合计 120
（1）请将列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性家长的人数，求X的分布列；
（3）在抽出的120人中，从给出“满意”的家长中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“不满意”的对象中抽取人.现从这人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“满意”的女性家长的人数.若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若在点处的切线方程为，若对任意的
恒有，求t的取值范围（e是自然对数的底数）.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意：，
可得，
所以，
故选：C
2．答案：C
解析：，，
由，可得，
，
是常数，而常数的导数为0，，
故选：C
3．答案：B
解析：因为，可得，
又因为，可得，所以是以1为首项，4为公比的等比数列，
则，所以，所以.
故选：B.
4．答案：C
解析：由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列为，1，1，0，1，1，0，1，1，0，
所以数列是周期为3的周期数列，前3项和为，
因为，
所以数列的前2020项的和为
故选：C
5．答案：B
解析：因为，所以，
所以，所以，
所以，所以.
故选：B
6．答案：A
解析：由表格数据知：，，
因为数对满足，得，
，即，，x＝35时，.
故当时，蝗虫的产卵量y的估计值为.
故选：A.
7．答案：D
解析：因为在区间上单调递增，
所以在上恒成立，即，
又当时，函数，时取得最大值4，
所以，所以a的最小值为4.
故选：D.
8．答案：B
解析：，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，
则，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，，
由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得.
故选：B
9．答案：AC
解析：身高的平均数为，
因为离群点的横坐标168小于平均值，纵坐标89相对过大，
所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，
所以，，所以A正确，B错误；
去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，
所以，，所以C正确，D错误.
故选：AC.
10．答案：AB
解析：对选项A，设，，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以，即，故A正确
对选项B，设，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，即，故B正确.
对选项C，当时，，此时，故C错误.
对选项D，当时，，故D错误.
故选：AB
11．答案：BC
解析：对于选项A，，，，
，不满足是等差数列，故选项A错误；
对于选项B，当时，，
当时，，
因为时也满足上式，所以，则，
所以是等比数列，故选项B正确；
对于选项C，因为，所以，
因为，所以，
因此数列为以为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，故选项C正确；
对于选项D，设数列的公差为d，因为，所以，
即，当时，没有最小值，故选项D错误.
故选：BC.
12．答案：
解析：由题意得，又，则，
故数列是以6为首项，为公比的等比数列，则.
故答案为：.
13．答案：
解析：函数，求导得，由在上单调递减，
得，，而函数在上单调递减，
因此，恒成立，则，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
14．答案：①.；②.
解析：因为为等差数列且，
可得，
又因为，可得，所以，
所以，则，
两式相减得，
，
所以.
故答案为：；.
15．答案：（1）
（2）-3或5
解析：（1）因为斜率为，所以，
所以，又.
所以所求切线方程为，即.
（2），设切点的横坐标为m，直线l的斜率为k，直线l的方程：，
则
则，整理得，所以，
所以或5.
16．答案：（1），；
（2）.
解析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q（），
由，，，，
得，解得，，
所以，.
（2）由（1）知，，
因此当n为奇数时，，当n为偶数时，，
所以
.
17．答案：(1)，；
(2)，；
(3)至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.
解析：(1)由题意得是等差数列，，
所以
由题意得，
所以
所以是首项为250，公比为的等比数列
所以
所以
(2)是数列的前n项和
所以
是数列的前n项和减去600，所以
(3)
易得此函数当时单调递增
且时
时
所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润
将超过不进行技术改造的累计纯利润.
18．答案：（1）列联表见解析，无关；
（2）分布列见解析；
（3）2
解析：（1）根据题意，得到列联表如下：
满意 不满意 合计
男性 40 10 50
女性 60 10 70
合计 100 20 120
零假设：“对双减工作满意程度的评价与性别无关”，所以没有充分证据证明零假设不成立，所以没有90%的把握认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”.
（2）从所有给出“满意”的家长中随机抽取1人为男性的概率为，
且各次抽取之间相互独立，所以随机变量，
所以，，，，
故随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（3）从给出“满意”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，
其中男性有人，女性有人，所以随机变量Y的取值为，
可得，，，
则随机变量Y的数学期望，
则，解得，又因为，故m的最大值为2.
19．答案：(1)当时，在R上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；
(2)
解析：（1）当时，，
所以.
令，解得或，
①当时，，所以在R上单调递增；
②当时，，列表得：
x 0
+ 0 - 0 +
↗ ↘ ↗
所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，，列表得：
x 0
+ 0 - 0 +
↗ ↘ ↗
所以，上单调递增，在上单调递减.
综上可得，当时，在R上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，
所以，
由题意得，
整理得，解得
所以，
因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
设，
则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
因为，，
所以，
所以，
解得.
所以实数t的取值范围为.