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2023-2024北师大版七年级下册期末聚能闯关卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．已知一个等腰三角形有一个角为80°，则顶角是（ ）
A．20° B．80° C．20°或80° D．不能确定
2．下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．为了预防病毒， 妈妈勤用肥 洗手， 肥 泡的厚度约为 ， 用科学记数法表示 0.0000006 为( )
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知：如图AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=110°，则∠ECD等于（ ）
A．110° B．70° C．55° D．35°
6．中国宝武太原钢铁集团最新生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅毫米，7张钢片叠放才是一张报纸的厚度，据悉，这是目前全世界最薄的不锈钢，未来有可能用于芯片里的加工材料，所以也叫“芯片钢”，数据毫米用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
7．如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
8．如图，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，下列命题：
①若∠1＝∠2，则∠D＝∠4；
②若∠C＝∠D，则∠4＝∠C；
③若∠A＝∠F，则∠1＝∠2；
④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F；
⑤若∠C＝∠D，∠A＝∠F，则∠1＝∠2.
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=62°，∠AEB=82°，则∠EBD的度数为（ ）
A．108° B．118° C．138° D．144°
11．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，已知 ，则∠1=（ ）
A．28° B．30° C．38° D．45°
12．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，现要从村庄P修建一条连接公路AB的最短小路，过点P作于点C，沿PC修建公路就能满足小路最短，这样做的依据是 ．
14．若∠α＝60°33'，则∠α的补角为 ．
15．定义运算“*”，规定 ，其中 为常数，且 ，则 = ．
16．已知如图，，，DE平分，且，若，则 度．
17．七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是 ．
18．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：平分；；若，则；与互余的角有个，其中正确的有 把你认为正确结论的序号都填上
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下：
解：原式…第一步
…第二步
…第三步
（1）小刚的解答过程是从第 步开始出错的；
（2）请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值．
20．如图是芳芳设计的自由转动的转盘，被平均分成10等份，分别标有数字0， 1，，，6，，8，9，，这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转得的数字．分别求出转得下列各数的概率．
（1）转得的数为正数；
（2）转得的数为负整数；
（3）转得绝对值小于6的数．
21． 已知，A和B分别是直线和上的点，C是这两条直线之间的一点．
（1）如图1，①已知，那么_▲_．
②在①的条件下，作与的平分线与相交于点D，求的度数．
（2）如图2，作与的平分线与相交于点D，若，求的度数（用含的代数式表示），并证明你的结论．
（3）如图3，作的平分线与的平分线所在的直线与相交于点D，若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
22．定义一种新运算“ ”：a b=a﹣2b，比如：2 （﹣3）=2﹣2×（﹣3）=2+6=8．
（1）求（﹣3） 2的值；
（2）若（x﹣3） （x+1）=1，求x的值．
23．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形.
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积.
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系.
24．已知直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且，点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分，交直线于点，过点作，交于点，设，．
（1）如图①，求证；
（2）如图②，当点H在点F的右侧时，，求的度数．
25．如图．已知点E在上，点M，N在上，．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）若，求的度数．
26．如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．
（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；
（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．
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2023-2024北师大版七年级下册期末聚能闯关卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．已知一个等腰三角形有一个角为80°，则顶角是（ ）
A．20° B．80° C．20°或80° D．不能确定
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（1）当80°角为顶角时，其顶角为80°；
（2）当80°为底角时，得顶角=180°-2×80°=20°．
故顶角为80°或20°．
故答案为：C．
【分析】分两种情况，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
2．下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A.，能用平方差公式计算，不符合题意；
B.，不能用平方差公式计算，符合题意；
C.，能用平方差公式计算，不符合题意；
D.，能用平方差公式计算，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式的计算方法逐项判断即可。
3．为了预防病毒， 妈妈勤用肥 洗手， 肥 泡的厚度约为 ， 用科学记数法表示 0.0000006 为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.0000006= .
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
4．如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于点．
在中，，
．
①点在边上时，s随t的增大而减小．故A、B不符合题意，不符合题意；
②当点在边上时，s随t的增大而增大；
③当点在线段上时，s随t的增大而减小，点与点重合时，最小，但是不等于零．故C不符合题意，不符合题意；
④当点在线段上时，s随t的增大而增大．故D符合题意，符合题意．
故答案为：D．
【分析】分段考虑：①点在边上时，随的增大而减小，②当点在边上时，随的增大而增大；③当点在线段上时，随的增大而减小，点与点重合时，最小，但是不等于零；④当点在线段上时，随的增大而增大，即可得解。
5．已知：如图AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=110°，则∠ECD等于（ ）
A．110° B．70° C．55° D．35°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】先根据平行线的性质求得∠ACD的度数，再根据角平分线的性质求解即可。
∵AB∥CD，∠A=110°
∴∠ACD=180°-110°=70°
∵CE平分∠ACD
∴∠ECD=35°
故选D.
【点评】平行线的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握。
6．中国宝武太原钢铁集团最新生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅毫米，7张钢片叠放才是一张报纸的厚度，据悉，这是目前全世界最薄的不锈钢，未来有可能用于芯片里的加工材料，所以也叫“芯片钢”，数据毫米用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据毫米用科学记数法表示为米，
故答案为：C
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
7．如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】在
∴（SAS）
【分析】本题考查三角形全等的判定，题目中已知两边对应相等，要注意挖掘“对顶角相等”这个隐含条件，边角边可证明全等。根据题目现有条件，挖掘隐含条件，对不完整条件进行加工，可证明三角形全等。要熟悉三角形全等的五种判定方法，下面是证明三角形全等的五种判定：边边边（SSS），边角边（SAS），角边角（ASA），角角边（AAS），斜边直角边（HL）。
8．如图，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解： 如图，延长AB交EF于G，延长CD交EF的延长线于H，
∵∠ABE=150°，∠ABE+∠EBG=180°，
∴150°+∠EBG=180°，
解得∠EBG=30°，
∵BE⊥EF，
∴∠EBG+∠EGB=90°，
∴30°+∠EGB=90°，
解得∠EGB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠H=∠EGB=60°，
∵∠CDF=2∠DFE，
∴∠DFH=180°-∠DFE，∠FDH=180°-∠CDF=180°-2∠DFE，
∵∠DFH+∠FDH+∠H=180°，
∴180°-∠DFE+180°-2∠DFE+∠H=180°，
解得∠DFN=80°．
故答案为：B.
【分析】延长AB交EF于G，延长CD交EF的延长线于H，利用平角的意义、直角三角形角的性质、三角形的内角和求解.
9．如图，下列命题：
①若∠1＝∠2，则∠D＝∠4；
②若∠C＝∠D，则∠4＝∠C；
③若∠A＝∠F，则∠1＝∠2；
④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F；
⑤若∠C＝∠D，∠A＝∠F，则∠1＝∠2.
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①、若∠1＝∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴DB∥EC，
∴∠D＝∠4，故①正确；
②、若∠C＝∠D，不能推出∠4＝∠C，故②错误；
③、若∠A＝∠F，则DF∥AC，不能推出∠1＝∠2，故③错误；
④、若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则DB∥EC，
∴∠4=∠D，
∴∠C=∠4.
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠F，故④正确；
⑤、若∠C＝∠D，∠A＝∠F，
∴∠2=∠3.
∵∠1=∠3，
∴∠1＝∠2，故⑤正确.
综上可得：①④⑤正确.
故答案为：C.
【分析】若∠1＝∠2，则∠2=∠3，推出DB∥EC，根据平行线的性质可判断①；同理判断②③；若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则DB∥EC，由平行线的性质可得∠4=∠D，推出∠C=∠4，进而推出DF∥AC，得∠A=∠F，即可判断④；根据内角和定理结合⑤中的条件可得∠2=∠3，由对顶角的性质可得∠1=∠3，进而可判断⑤.
10．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=62°，∠AEB=82°，则∠EBD的度数为（ ）
A．108° B．118° C．138° D．144°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】 解：如图，连接CE，
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA=CB，CE=CD，
∵∠ABC=∠EDC=72°=∠DEC，
∴∠ACB=∠ECD=36°，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠AEC=∠BDC，
设∠AEC=∠BDC=α，
则∠BDE=62°﹣α，∠CEB=82°﹣α，
∴∠BED=∠DEC﹣∠CEB=62°﹣（82°﹣α）=α﹣20°，
∴△BDE中，∠EBD=180°﹣（62°﹣α）﹣（α﹣20°）=138°，
故答案为：C.
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得到相等的边，再根据等边对等角得到相等的角，结合三角形内角和定理推出∠ACB=∠ECD=36°，进一步证明∠ACE=∠BCD，即可推出△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质可得∠AEC=∠BDC，不妨设∠AEC=∠BDC=α，即可用α表示出∠BDE，∠CEB，进一步将∠BED用α表示，然后在△BED中，利用三角形内角和定理求解.
11．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，已知 ，则∠1=（ ）
A．28° B．30° C．38° D．45°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵将一条两边沿互相平行的纸带折叠
∴∠2+∠α=∠3
∵纸带两边沿互相平行
∴∠1=∠2
∵ ，∠α+∠3=180°
∴∠1 =28°
故答案为：A
【分析】本题主要根据折叠的性质，折叠前后的两个图形全等以及两直线平行，同位角相等即可得到答案.
12．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故答案为：A．
【分析】平方具有非负性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2 最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是2，即总不小于2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，现要从村庄P修建一条连接公路AB的最短小路，过点P作于点C，沿PC修建公路就能满足小路最短，这样做的依据是 ．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解： 这样做的依据是 “垂线段最短”.
故答案为：“垂线段最短”.
【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”可求解.
14．若∠α＝60°33'，则∠α的补角为 ．
【答案】119°27′
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α＝60°33'，
∴∠α的补角为180°-60°33′=119°27′.
故答案为：119°27′.
【分析】根据和为180°的两个角互为补角，列式计算即可.
15．定义运算“*”，规定 ，其中 为常数，且 ，则 = ．
【答案】10
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：将两组数据代入代数式可得： ，
解得： ，
则x*y= +2y，则2*3=4+6=10．
【分析】根据题目中定义的运算将两组数据代入代数式得到关于a、b的方程组，求解得到a、b的值，然后求2*3的值.
16．已知如图，，，DE平分，且，若，则 度．
【答案】38
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：设，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设，可得，，由平行线的性质得到，，再根据已知条件得到，进一步推出，由此即可得到答案．
17．七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵①是平行四边形BEGH，
∴①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，
∴P（图钉的钉尖恰好落在①区域）=，
故答案为：.
【分析】先求出①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，再利用几何概率公式求解即可.
18．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：平分；；若，则；与互余的角有个，其中正确的有 把你认为正确结论的序号都填上
【答案】①②③
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴平分，
∴正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴正确；
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴.
∴正确；
与互余的角有，，，，共4个，
∴不正确.
故答案为：.
【分析】根据垂直和角平分线的定义结合等角的余角相等即可判断的正确性；结合的结果和平行线的性质，以及利用等量转化即可获得的正确性；利用直线的平行性质即可判断的正确性；找出与互余的角即可判断的错误.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下：
解：原式…第一步
…第二步
…第三步
（1）小刚的解答过程是从第 步开始出错的；
（2）请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值．
【答案】（1）第二步
（2）解：原式
，
当时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
（1）根据整式的运算法则逐步观察分析，特别发注意去括号和变号的过程。
（2）根据整式的运算法则进行化简，化简后再代入数值进行计算。
20．如图是芳芳设计的自由转动的转盘，被平均分成10等份，分别标有数字0， 1，，，6，，8，9，，这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转得的数字．分别求出转得下列各数的概率．
（1）转得的数为正数；
（2）转得的数为负整数；
（3）转得绝对值小于6的数．
【答案】（1）解：在这10个数中，正数有1，，6，8，9这5个，
P（正数）=
答：芳芳转得正数的概率是；
（2）解：在这10个数中，负整数有-2，-10，-1这3个，
P（负整数）=
答：芳芳转得负整数的概率是；
（3）解：P（绝对值小于6的数）= ，
答：芳芳转得绝对值小于6的概率是．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】（1） 由于这10个数中，正数有1，，6，8，9这5个， 利用概率公式计算即可；
（2） 在这10个数中，负整数有-2，-10，-1这3个 ，利用概率公式计算即可；
（3）先求出这10个数中，绝对值小于6的数有几个，然后利用概率公式计算即可.
21． 已知，A和B分别是直线和上的点，C是这两条直线之间的一点．
（1）如图1，①已知，那么_▲_．
②在①的条件下，作与的平分线与相交于点D，求的度数．
（2）如图2，作与的平分线与相交于点D，若，求的度数（用含的代数式表示），并证明你的结论．
（3）如图3，作的平分线与的平分线所在的直线与相交于点D，若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：① 110°
②作，如图所示，
∵与分别是与的平分线，
∴，，
∴，
同①的方法可得：
（2）解：，证明如下：
∵与分别平分与，
∴，，
∴，
由（1）①的方法可得：，，
∵，
∴，
∴
∴
（3）解：作，如图所示，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵与分别是与的平分线，
∴，
∴
由（1）①得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①作，
∵，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）①作，利用平行线的性质可得和，再根据角的和差运算即可；
②作，利用①的结论可得，结合角平分线的定义求解即可；
（2）由（1）①的方法可得：，，结合角平分线的定义求解即可；
（3）作，根据平行线的性质可得，利用①的结论可得，结合角平分线的定义得，，邻补角的性质，求解即可．
22．定义一种新运算“ ”：a b=a﹣2b，比如：2 （﹣3）=2﹣2×（﹣3）=2+6=8．
（1）求（﹣3） 2的值；
（2）若（x﹣3） （x+1）=1，求x的值．
【答案】（1）解：根据题中的新定义得：原式=﹣3﹣4=﹣7
（2）解：已知等式变形得：x﹣3﹣2（x+1）=1，
去括号得：x﹣3﹣2x﹣2=1，
移项合并得：﹣x=6，
解得：x=﹣6．
【知识点】定义新运算；解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据定义新运算法则，列出算式，按有理数的减法法则算出答案即可；
（2）根据定义新运算法则，列出方程，然后再根据解方程的一般步骤，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 ，得出x的值。
23．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形.
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积.
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系.
【答案】（1）解：题图②空白部分图形的边长是；
（2）解：由题图可知，空白部分为小正方形，小正方形的面积大正方形的面积个小长方形的面积，
∵大正方形的边长，
∴大正方形的面积，
又个小长方形的面积之和大长方形的面积，
∴小正方形的面积；
（3）解：由题图可以看出，大正方形面积空白部分的小正方形的面积四个小长方形的面积，
即.
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【分析】（1）观察图形可得四个小长方形的长为2a，宽为b，那么图2中的空白部分的边长是小长方形的长减去小长方形的宽；
（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和，图2中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积；
（3）通过观察图形知：（2a＋b）2 、（2a b）2 、8ab分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积，进而根据大正方形面积=空白部分的小正方形的面积四个小长方形的面积即可得出结论.
24．已知直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且，点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分，交直线于点，过点作，交于点，设，．
（1）如图①，求证；
（2）如图②，当点H在点F的右侧时，，求的度数．
【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
的度数为．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】本题考查角平分线的性质和平行线的性质。
（1）根据平分得，根据 得，可知；
（2） 由（1）得 ，得 ，结合平分，平分，得，，可得 ，根据，得.
25．如图．已知点E在上，点M，N在上，．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴
∴
（2）解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
（3）解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出∠A=∠CNF，再根据平行线的判定方法证明即可；
（2）利用平行线的判定与性质证明求解即可；
（3）先求出CE//BM，再求出∠B=55°，最后利用平行线的性质计算求解即可。
26．如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．
（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；
（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．
【答案】（1）解：如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝110°，
∴∠DFN＝70°，
∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，
∴∠EFD＝∠MEF+70°
∴∠EFD＝∠BEF+50°＝100°；
故答案为：100°；
（2）解：如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝110°，
∴∠DFN＝70°，
∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，
∴∠EFD＝∠MEF+70°，
∴∠EFD＝∠BEF+50°；
（3）解：如图2，过点F作FH∥EP，
由（2）知，∠EFD＝∠BEF+50°，
设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+50）°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+25）°，
∵FH∥EP，
∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，
∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝25°，
∴∠P＝25°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 ∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN， 再求出 ∠EFD＝∠MEF+70°， 最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+25）°， 再求出 ∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG， 最后计算求解即可。
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