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2023-2024湘教版七年级下册期末模拟考前精选卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段 的长度 B．线段 的长度
C．线段 的长度 D．线段 的长度
2．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．有48支队伍520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，则排球队有多少支队伍参赛？（ ）
A．28 B．20 C．32 D．26
4．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，以下四个条件：①∠1＝∠3，②∠2＝∠4，③∠BAD+∠D＝180°，④∠EAD＝∠B．其中能够判断AB∥DC的条件有（ ）．
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
6．如图，已知两条直线被第三条直线所截，则下列说法正确的是（ ）
A．∠1与∠2是对顶角 B．∠2与∠5是内错角
C．∠3与∠7是同位角 D．∠3与∠8是同旁内角
7．若关于x、y的方程组 的解为整数，则满足条件的所有整数a的值的和为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
8．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
9．已知方程组 ，则 的值为（ ）
A．14 B．2 C．－14 D．－2
10．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 ， 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★和●这两个数， ， ．
12．如图，将向右平移得到，若，则 ．
13．已知，，则 ．
14．9x2﹣mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为 ．
15．已知，，若的一边EF∥BC，则另一边DE与直线AB相交于点P，且点E不在直线AB上，则的度数为 ．
16．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，那么关于m，n的二元一次方程组 的解为 ．
17．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠，并将其绘制成图乙，已知∠DAB-∠ABC=10°，且DF∥CG，则3∠DAB+2∠ABC= 度。
18．已知，直线AB∥CD，M、N分别是AB和CD上的动点，点P为直线AB、CD之间任一点，且PM⊥PN．则∠AMP与∠CNP之间的数量关系为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．解下列各题：
（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．
20．某校有甲、乙两名队员进行定点投篮比赛，他们每次各自投10个球，投篮5次，每次投篮投中个数记录如下：
队员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 8 7 8 9 8
乙 10 9 8 9 5
（1）分别求出甲、乙两名队员每次投篮投中个数的平均数；
（2）从甲、乙两名队员选择一名队员代表学校参加比赛，你会如何选择？为什么？
21．完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a-b）2＝a2-2ab+b2是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题.
例如：若a+b＝2，ab＝1，求a2+b2的值.解：a2+b2＝（a+b）2-2ab＝22-2×1＝2.
根据以上信息回答下列问题：
（1）若m+n＝3，m2+n2＝5，求mn的值.
（2）若a-2b＝3，ab＝1，求a2+4b2的值.
（3）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点，以AE、AF为边在正方形内部作面积为8的长方形AFGE，再分别以FG、EG为边作正方形FGPH和正方形GRQE.若图中阴影部分的面积为20，求长方形AFGE的周长.
22．如图，在中，点D在上，，，垂足分别为E，F．
（1）请判定与平行吗？并说明理由；
（2）如果，且，求的度数．
23．图①是一个长为，宽为（）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四个小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
（1）观察图②，可得： ；
（2）若，，求的值；
（3）当时，求的值．
24．如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB，CD于点E，F，∠B=∠EFB=35°，FH⊥FB，点Q在BF上，连结QH．
（1）求∠EFD的度数；
（2）请说明FH平分∠GFD的理由．
（3）若∠FQH=30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，当边FH转至线段FE上时停止转动，记旋转角为α，请直接写出当α为多少度时，QH与△EBF的某一边平行
25．已知 ，点 在 与 之间.
（1）图1中，试说明： ；
（2）图2中， 的平分线与 的平分线相交于点 ，请利用（1）的结论说明： .
（3）图3中， 的平分线与 的平分线相交于点 ，请直接写出 与 之间的数量关系.
26．在三角形ABC中，点D在线段AC上，EDBC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．
（1）如图1，点F在线段BE上，用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并证明；
（2）如图2，点F在线段BE上，求证：∠ABC+∠BFG－∠EDF=90°；
（3）当点F在线段AE上时，依题意，在图3中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．
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2023-2024湘教版七年级下册期末模拟考前精选卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段 的长度 B．线段 的长度
C．线段 的长度 D．线段 的长度
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长度是点P到直线l的距离.
故答案为：C．
【分析】点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度，根据定义即可选出答案.
2．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、从左到右的变形是整式乘法，故A不符合题意；
B、从左到右的变形是因式分解，故B符合题意；
C、从左到右的变形不是因式分解，故C不符合题意；
D、从左到右的变形是整式乘法，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式，再对各选项逐一判断即可。
3．有48支队伍520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，则排球队有多少支队伍参赛？（ ）
A．28 B．20 C．32 D．26
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设篮球队有 支，排球队有 支，由题意，得：
，
解得：
故答案为：B.
【分析】设篮球队有x支，排球队有y支，根据有48支队伍可得x+y=48；根据520名运动员参加比赛可得10x+12y=520，联立求解即可.
4．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①+②得：x+y+m-5=4+m，
即x+y=9.
故答案为：C.
【分析】将方程组中的两个方程相加并化简可得x+y的值.
5．如图，以下四个条件：①∠1＝∠3，②∠2＝∠4，③∠BAD+∠D＝180°，④∠EAD＝∠B．其中能够判断AB∥DC的条件有（ ）．
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：若∠1=∠3，则AB∥DC；
若∠2=∠4，则AD∥BC；
若∠BAD+∠D=180°，则AB∥DC；
若∠EAD=∠B，则AD∥BC.
故答案为：D.
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此一一判断得出答案.
6．如图，已知两条直线被第三条直线所截，则下列说法正确的是（ ）
A．∠1与∠2是对顶角 B．∠2与∠5是内错角
C．∠3与∠7是同位角 D．∠3与∠8是同旁内角
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是邻补角，不是对顶角，故此项不符合题意；
B、∠2与∠5是不是内错角，故此项不符合题意；
C、∠3与∠7是同位角，故此项符合题意；
D、∠3与∠8不是同旁内角，故此项不符合题意．
故答案为：C.
【分析】两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角；对顶角：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，据此一一判断得出答案.
7．若关于x、y的方程组 的解为整数，则满足条件的所有整数a的值的和为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：对方程组 ，
②－①×2，得，∴，
∵关于x、y的方程组 的解为整数，
∴a-2=±1，±2，±4，即a=﹣2、0、1、3、4、6。
∴满足条件的所有a的值的和为﹣2+0+1+3+4+6=12．
故答案为：C．
【分析】先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案．
8．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】∠1和∠4构成AB、CD被第三条直线AC所截的一组内错角，内错角相等，两直线平行，即得C．
【分析】做平行线的判定题目是要在众多的线和角当中找出此两条直线被第三条直线所截构成的同位角、内错角、同旁内角的等量关系．
9．已知方程组 ，则 的值为（ ）
A．14 B．2 C．－14 D．－2
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：在方程组 中，由①＋②得 ，即 ，故B符合题意．
故答案为：B.
【分析】把①＋②得 7x+7y=14 ，可得x+y的值.解答此类题目不要盲目的去解方程组，要观察方程组中各未知数的系数特点，从而找到简便方法.
10．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 ， 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程为 .
故答案为：C .
【分析】在本题中，首先得读懂图意：由图1可得一个单独的竖表示1，两个单独的竖表示2......一个单独的横表示10，两个单独的横表示20......当横竖组合时候，一个横表示5，一个竖表示1.每一横行是一个方程。第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果.由此可得图2的表达式．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★和●这两个数， ， ．
【答案】-2；8
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把x=5代入方程组得：，
解得：y=-2 ，即★=-2
则●=10-2=8，
故答案为：-2，8．
【分析】将x=5代入分别代入，得出y=-2" ，进而得出●=8，即可求解．
12．如图，将向右平移得到，若，则 ．
【答案】10
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，
∴EF=3cm，
∵CE=7cm，
∴CF=CE+EF=7+3=10.
故答案为：10.
【分析】由平移的性质可得EF=3cm，然后根据线段的构成CF=CE+EF可求解.
13．已知，，则 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵，，
∴，
故答案为：21.
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法求解。
14．9x2﹣mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为 ．
【答案】±24
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（3x±4y）2=9x2±24xy+16y2，
∴在9x2+mxy+16y2中，m=±24．
故答案是：±24．
【分析】这里首末两项是3和4y个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和4y乘积的2倍，故：m=±24．
15．已知，，若的一边EF∥BC，则另一边DE与直线AB相交于点P，且点E不在直线AB上，则的度数为 ．
【答案】10°或110°或70°或170°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之外时，如图1：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC，
又∠ABC=60°，
∴∠1=60°，
又∠1=∠DEF+∠EPB，∠DEF=50°，
∴∠EPB=10°，
又∠EPB=∠APD，
∴∠APD=10°；
若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之间时，如图2：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC=60°，
又∠APD=∠DEF+∠1，∠DEF=50°，
∴∠APD=110°；
如图3，设DE交BC于T，
∵EF∥BC，
∴∠PTB=∠FED=50°，
∴∠APD=∠BPT=180°-∠B-∠PTB=180°-60°-50°=70°，
如图4，设AB交EF于点H，
∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠ABC=60°，
∵∠AHE=∠APE+∠DEF，∠DEF=50°，
∴∠APE=10°，
∴∠APD=180°-∠APE=170°，
综上所述，∠APD的度数为10°或110°或70°或170°．
故答案为10°或110°或70°或170°
【分析】分类讨论，结合图形，计算求解即可。
16．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，那么关于m，n的二元一次方程组 的解为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解为： ，
∴ ，∴ ，解得： ．
故答案为 ．
【分析】观察两个方程组的特点可将m+n看作x，m-n看作y，即可得到，求解方程组得到m、n的值.
17．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠，并将其绘制成图乙，已知∠DAB-∠ABC=10°，且DF∥CG，则3∠DAB+2∠ABC= 度。
【答案】230
【知识点】余角、补角及其性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠图形的特点可知：
2∠DAB+∠BAE=180°，2∠ABC+∠ABH=180°，
∵DF∥CG，AE∥EF，BH∥CG，
∴AE∥BH，
∴∠BAE+∠ABH=180°，
∴2∠DAB+∠BAE+2∠ABC+∠ABH=360°，
∴2∠DAB+2∠ABC=180°，即∠DAB+∠ABC=90°，
由∵∠DAB-∠ABC=10° ，
∴∠DAB+∠ABC+∠DAB-∠ABC=100°，
∴2∠DAB=100°，
∴∠DAB=50°，∠ABC=40°，
则 3∠DAB+2∠ABC= 3×50°+2×40°=230°.
【分析】由折叠图形特点可知，平角经如图折叠，可得2∠DAB+∠BAE=180°，2∠ABC+∠ABH=180°，结合DF平行CG和围巾的两边互相平行，得AE平行BH，同旁内角互补得∠BAE+∠ABH=180°，最后推得∠DAB+∠ABC=90°，再和已知 ∠DAB-∠ABC=10° 相结合，即可求出∠DAB和∠ABC的大小，则 3∠DAB+2∠ABC 的度数可求。
18．已知，直线AB∥CD，M、N分别是AB和CD上的动点，点P为直线AB、CD之间任一点，且PM⊥PN．则∠AMP与∠CNP之间的数量关系为 ．
【答案】∠AMP+∠CNP=90°或∠AMP+∠CNP=270°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
如图1，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD∥AB，
∴∠AMP=∠1，∠CNP=∠2，
∵PM⊥PN，
∴∠MPN=∠1+∠2=90°，
∴∠AMP+∠CNP=90°；
如图2，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD∥AB，
∴∠AMP=180°-∠1，∠CNP=180°-∠2，
∴∠AMP+∠CNP=180°×2-∠1-∠2，
∵∠MPN=∠1+∠2=90°，
∴∠AMP+∠CNP=360°-90°=270°；
综上所述，∠AMP与∠CNP之间的数量关系为：∠AMP+∠CNP=90°或∠AMP+∠CNP=270°．
故答案为：∠AMP+∠CNP=90°或∠AMP+∠CNP=270°．
【分析】分两种情况进行讨论：①过点P作PQ∥AB，根据平行公理可得PQ∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AMP=∠1，∠CNP=∠2，然后根据∠P=∠1+∠2等量代换即可得解；②过点P作PQ∥AB，根据平行公理可得PQ∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠AMP=180°-∠1，∠CNP=180°-∠2，然后根据∠P=∠1+∠2等量代换即可得解．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．解下列各题：
（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．
【答案】（1）解：原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）
（2）解：∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，甲看错了n，
∴m＝6．
∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，乙看错了m，
∴n＝9，
∴x2+mx+n＝x2+6x+9＝（x+3）2．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）用提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答；（2）根据已知条件分别求出m和n的值，然后进行因式分解即可解答.
20．某校有甲、乙两名队员进行定点投篮比赛，他们每次各自投10个球，投篮5次，每次投篮投中个数记录如下：
队员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 8 7 8 9 8
乙 10 9 8 9 5
（1）分别求出甲、乙两名队员每次投篮投中个数的平均数；
（2）从甲、乙两名队员选择一名队员代表学校参加比赛，你会如何选择？为什么？
【答案】（1）解：甲的平均数： =8
乙的平均数： =8.2
（2）解：选乙，因为乙的平均投中个数大于甲.
【知识点】平均数及其计算
【解析】【分析】（1）利用平均数定义直接求出；（2）根据平均数个人发挥的最好成绩进行选择．
21．完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a-b）2＝a2-2ab+b2是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题.
例如：若a+b＝2，ab＝1，求a2+b2的值.解：a2+b2＝（a+b）2-2ab＝22-2×1＝2.
根据以上信息回答下列问题：
（1）若m+n＝3，m2+n2＝5，求mn的值.
（2）若a-2b＝3，ab＝1，求a2+4b2的值.
（3）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点，以AE、AF为边在正方形内部作面积为8的长方形AFGE，再分别以FG、EG为边作正方形FGPH和正方形GRQE.若图中阴影部分的面积为20，求长方形AFGE的周长.
【答案】（1）解：，，
，
.
（2）解：，，
.
（3）解：设，，
长方形的面积为8，
，
正方形和正方形的面积之和为20，
，
，
，，
长方形的周长.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)先将完全平方公式进行变形，再代入求值.
(2)先将完全平方公式进行变形，再代入求值.
(3)先通过长方形和阴影部分的面积列出长方形长与宽的数量关系，再利用完全平方公式求得长方形的周长.
22．如图，在中，点D在上，，，垂足分别为E，F．
（1）请判定与平行吗？并说明理由；
（2）如果，且，求的度数．
【答案】（1）证明：
∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据垂直的性质即可得到，进而根据平行线的判定即可求解；
（2）先根据平行线的性质即可得到，再运用平行线的判定与性质即可得到，进而结合题意即可求解。
23．图①是一个长为，宽为（）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四个小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
（1）观察图②，可得： ；
（2）若，，求的值；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）4mn
（2）解：由（1）得：，当m-n=7，mn=6时，；
（3）解：2x-30=（x-10）-（20-x），．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：根据图形可得：，故答案为：4mn；
【分析】（1）利用正方形的面积公式以及大正方形的面积减去小正方形的面积就是四个矩形的面积就可以列式求解；
（2）利用（1）的结论即可求解；
（3）利用（1）的结论变形即可求解。
24．如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB，CD于点E，F，∠B=∠EFB=35°，FH⊥FB，点Q在BF上，连结QH．
（1）求∠EFD的度数；
（2）请说明FH平分∠GFD的理由．
（3）若∠FQH=30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，当边FH转至线段FE上时停止转动，记旋转角为α，请直接写出当α为多少度时，QH与△EBF的某一边平行
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠BFD=∠B
∴∠B=∠EFB=∠BFD=350
∴∠EFD=∠EFB+∠BFD=70°
（2）解：∵FH⊥FB，
∴∠BFH=90°，
∴∠BFE+∠HFG=90°
又∵∠BFD+∠HFD=90°，∠BFD=∠BFE ∴∠HFD=∠HFG
∴FH平分∠GFD
（3）旋转角α的度数为30°或65°或175°或210时，QH与△EBF的某一边平行.
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）QH与△EFB的BF边平行时，如下图，
当QH在直线EF的右边时，
∵BF∥HQ，
∴∠H＋∠BFH＝180°，
又∵∠H＝60°，
∴∠BFH＝120°，
此时的旋转角α＝∠BFQ＝120° ∠HFQ＝120° 90°＝30°，
当QH在直线EF的左边时，如图，
此时∠HFB＝∠H＝60°，
旋转角α＝∠BFD＋∠DFG＋∠GFQ＝360° （∠HFB＋∠HFQ）＝360° （60°＋90°）＝210°；
QH与△EFB的BE边平行时，如下图，
此时∠B＝∠BFD＝35°，∠DFQ＝∠Q＝30°，
∴旋转角α＝∠BFQ＝∠BFD＋∠DFQ＝30°＋35°＝65°；
当QH与△EFB的边EF平行时，如下图，
此时∠QFG＝∠Q＝30°，
∴旋转角α＝∠BFQ＝∠BFD＋∠DFG＋∠QFG＝35°＋110°＋30°＝175°，
∴旋转角α的度数为30°或65°或175°或210
【分析】（1）利用AB∥CD，得到∠B=∠EFB=∠BFD=35°，由∠EFD=∠EFB+∠BFD，即可算出答案；
（2）由（1）可知∠EFB=∠BFD，利用 FH⊥FB ，得到∠BFD+∠HFD=90°，根据平角的定义得∠BFE+∠HFG=90°，再由等角的余角相等得∠HFD=∠HFG，即可证明结论；
（3）依据QH与△EBF三边中的某一边平行，可以按三种情况讨论，利用QH与△EBF的BF平行、QH与△EBF的BE平行时、QH与△EBF的EF平行时，根据三角形的内角定理，周角等定义即可算出相应答案.
25．已知 ，点 在 与 之间.
（1）图1中，试说明： ；
（2）图2中， 的平分线与 的平分线相交于点 ，请利用（1）的结论说明： .
（3）图3中， 的平分线与 的平分线相交于点 ，请直接写出 与 之间的数量关系.
【答案】（1）解：如图1中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG=∠ABE，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG=∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=∠ABE+∠CDE
（2）解：图2中，因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BED=∠ABE+∠CDE，
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=2∠BFD
（3）解：∠BED=360°-2∠BFD.
图3中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG+∠ABE=180°，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG+∠CDE=180°，
所以∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），
即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），
因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=360°-2∠BFD.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）如图1中，过点E作EG∥AB，可证得 CD∥EG∥AB，利用平行线的性质可证得∠DEG=∠CDE，∠BEG=∠ABE；再根据∠BED=∠BEG+∠DEG，代入可证得结论.
（2）利用角平分线的定义可证得∠ABE=2∠ABF，∠CDE=2∠CDF，由此可推出∠ABE+∠CDE=2（∠ABF+∠CDF）；由（1）的结论可知∠BED=∠ABE+∠CDE，∠BFD=∠ABF+∠CDF，即可推出结论.
（3）过点E作EG∥AB，可证得EG∥AB∥CD，利用平行线的性质可证得∠BEG+∠ABE=180°，∠DEG+∠CDE=180°，可推出∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE）；再利用角平分线的定义可证得∠ABE=2∠ABF，∠CDE=2∠CDF，由此可证得∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），由（1）可知∠BFD=∠ABF+∠CDF，代入可证得结论.
26．在三角形ABC中，点D在线段AC上，EDBC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．
（1）如图1，点F在线段BE上，用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并证明；
（2）如图2，点F在线段BE上，求证：∠ABC+∠BFG－∠EDF=90°；
（3）当点F在线段AE上时，依题意，在图3中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．
【答案】（1）解：∠EDF+∠BGF=90°．
证明如下：
过点F作FH∥BC交AC于点H．
∵ED∥BC，
∴ED∥FH ．
∴∠EDF=∠1．
∵FH∥BC，
∴∠BGF=∠2．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠EDF+∠BGF=90°．
（2）证明：
过点F作FH∥BC交AC于点H．
∴∠ABC=∠AFH ．
∴∠ABC=∠1+∠3 ．
∴∠3=∠ABC－∠1 ．
∵ED∥BC，
∴ED∥FH．
∴∠EDF=∠1，
∴∠3=∠ABC－∠EDF ．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG=90°．
∴∠BFG+∠3=90°．
∴∠3=90°－∠BFG ．
∴90°－∠BFG=∠ABC－∠EDF ．
∴∠ABC+∠BFG－∠EDF=90°．
（3）解：补全图形如图：
∠BGF－∠EDF =90°． 理由如下：
过点F作FH∥BC交AC于点T．
∵ED∥BC，
∴ED∥FT ．
∴∠EDF=∠DFT．
∵FT∥BC，
∴∠BGF=∠GFT．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG=90°．
∴∠GFT -∠DFT =90°．
∴∠BGF -∠EDF =90°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）结论：∠EDF+∠BGF=90°，如图1，过点F作FH∥BC交AC于点H，利用平行线的性质求解即可；
（2）如图2，过点F作FH∥BC交AC于点H，利用平行线的性质求解即可；
（3）作出图形，利用平行线的性质求解即可。
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