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2023-2024湘教版八年级下册期末试题调研抢分卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．将直线 沿x轴正方向平移3个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知△ABC的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，随着的增大而减小
B．当时，随着的增大而增大
C．当时，图象一定经过点
D．当时，图象一定经过点
5．如图，正方形的边长为1，，是对角线，将绕点顺时针旋转45°得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
6．下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB：BC=2：1，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE．若AB的长为4，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
8．矩形各内角的平分线能围成一个（ ）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形
9．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ，当直线 与 有交点时，k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示，在矩形 中， ， ，矩形内部有一动点 满足 ，则点 到 ， 两点的距离之和 的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．小亮从家匀速跑步到学校，接着马上原路匀速步行回家，已知小亮步行回家的时间是跑步到学校时间的2倍．如图是小亮离家的路程与时间的函数图象，则小亮回家的速度是每分钟步行 m．
12．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为 ．
13．如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 .
14．如图，在平面直角坐标系中，三角形经过平移后得到三角形，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点为三角形内部一点，且与三角形内部的点对应，则对应点的坐标是 ．
15．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边上的中线长为 ．
16．如图，两条互相垂直的线段、将正方形分割成①、②、③、④四块（图1），正好围成一个大正方形（图2），若，，则的长是 ．
17．如图，将矩形 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙重叠的四边形 ，若 ， ，则边 的长是 ．
18．如图， 表示某机床公司一天的销售收入y（万元）与机床销售量x（件）的关系， 表示该公司一天的销售成本y（万元）与机床销售量x（件）的关系．有以下四个结论：① 对应的函数表达式是 ；② 应的函数表达式是 ；③当一天的销售量为 件时，销售收入等于销售成本；④一天的利润w（万元）与销售量x（件）之间的函数表达式是 ．其中正确的结论为 （请把所有正确的序号填写在横线上）．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，A、B两地相距120千米，甲、乙两人骑车同时分别从A、B两地相向而行匀速行驶，设他们各自距A地的距离S（千米）都是骑车时间t的一次函数，并回答下列问题：
（1）甲的速度为 千米/小时，乙的速度为 千米/小时；
（2）求运动过程中的函数解析式.
20．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
21．已知函数 ，点 在其图像上．
（1）求a的值；
（2）过点 作 轴于 点，求 的长；
（3）在条件（2）下，点 在线段 上，将线段 沿直线 翻折，使点 落在 上的 点处，求 所在直线的解析式．
22．如图，在 中， ，点 在 上，以 、 为腰做等腰 ，且 ，连接 ，过 作 交 延长线于 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数；
（3）请判断四边形 是否是平行四边形，若是，请证明，若不是，请说明理由.
23．某文具店销售功能完全相同的A、B两种品牌的计算器，若购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元.
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器超出5个的部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需婴y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，请分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
（3）当需要购买50个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？
24．在平面直角坐标系中，对于直线l：（）与图形M给出如下定义：若直线l与图形M有两个交点P，Q，则线段的长度称为直线l关于图形M的“截距”．如图，矩形的其中三个顶点的坐标为，，．
（1）点C的坐标是 ．
（2）直线关于矩形的“截距”是 ；
直线关于矩形的“截距”是，求m的值．
（3）如果直线（）经过点，且关于矩形的“截距”的最小值是，求k的取值范围．
25．在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，交于点E，分别交，于点D、F．
（1）如图1，在旋转过程中，猜想线段与满足的数量关系并加以证明；
（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并证明；
（3）在（2）的条件下，求线段的长．
26．对于平面直角坐标系xOy中的点M(m，0)和点P，给出如下定义：
若在y轴上存在点N，使得∠MNP＝90°，且NM＝NP，则称点P为m直角等腰点．例如，点P(－2，0)为2直角等腰点，理由如下：如图，设M(2，0)，以MP为斜边作等腰直角△PMN，可得y轴上的一个点N(0，2)，所以点P(－2，0)为2直角等腰点．
（1）在点A(－1，0)，B(0，1)，C(1，1)中，是1直角等腰点的是 ；
（2）若点D是直线y＝2x＋3上一点，且点D是3直角等腰点，求点D的坐标；
（3）若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像上存在无数个4直角等腰点，请直接写出该一次函数的解析式．
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2023-2024湘教版八年级下册期末试题调研抢分卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，正确；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，错误；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称和中心对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，中心对称图形绕其中心点旋转180°后图形仍和原来图形重合.
2．将直线 沿x轴正方向平移3个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将直线 沿x轴正方向平移3个单位长度，所得函数解析式为： .
故答案为：C.
【分析】根据直线平移的变化规律“左加右减、上加下减”可得y=5(x-3)，再结合各选项即可判断求解.
3．已知△ABC的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】A、∵∠A=∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，故能判定△ABC是直角三角形；
B、∵ ，∴ ，故能判定△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C= ，故不能判定△ABC是直角三角形；
D、∵ ，故能判定△ABC是直角三角形．
故答案为：C．
【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
4．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，随着的增大而减小
B．当时，随着的增大而增大
C．当时，图象一定经过点
D．当时，图象一定经过点
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、当时，随着的增大而减大，说法错误，故不符合题意；
B、 当时，随着的增大而减小，说法错误，故不符合题意；
C、 当时，一次函数为y=-x+2，当x=0时，y=2，
∴图象一定不经过点， 说法错误，故不符合题意；
D、 一次函数 中，当x=-1时，y=3，
∴函数图象一定经过点（-1，3），说法正确，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象与系数的关系判断A、B；根据一次函数图象上点的坐标特征判断C、D即可.
5．如图，正方形的边长为1，，是对角线，将绕点顺时针旋转45°得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），故②符合题意；
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF=EG，
又∵∠H=∠DBC=∠DAC=45°，
∴GH∥AC，
∴四边形AEGF是菱形，故①符合题意；
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③符合题意；
∵AE=FG=EG=BG，BE=HE，
∴BE＞AE，
∴AE＜，
∴CB+FG＜1.5，故④不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质，得到四边相等，四个角90°，对角线平分对角，Rt△AED≌Rt△GED（HL），证得②；Rt△AED≌Rt△GED（HL），求得∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，根据菱形判定定理证得四边形AEGF是菱形；通过角的等量替换即可得到∠DFG=112.5°；通过等量替换得到AE＜，得不到④.
6．下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：在某个变化过程中，有两个变量x、y，一个量变化，另一个量也随之变化，当x每取一个值，y就有唯一的值与之相对应，这时我们就把x叫做自变量，y叫做因变量，y是x的函数，只有选项C中的“x每取一个值，y有唯一值与之相对应”，其它选项中的都不是“有唯一相对应”的，所以选项C中的y表示x的函数，
故答案为：C．
【分析】根据函数定义回答即可.
7．如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB：BC=2：1，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE．若AB的长为4，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠图形的特点得：△ABE≌△FBE，AE=EF，AB=FB，
∵AB=4，AB：BC=2：1，得BC=2，设DE=x， DF=y ， ∴FE2=ED2+FD2=x2+y2，
FB2=BC2+FC2= 4+(4-y)2=AB2=16， 整理得：(4-y)2=12， ∴y=4±23，由0FE2=ED2+FD2=x2+y2=AE2=(2-x)2， 得x2+(4-23 )2=(2-x)2， 整理得：x=4 3 -6，
∴EF=AE=2-x=2-(4-6)=8-4.
故答案为：A
【分析】由折叠图形的特点得线段相等，设未知数，再根据勾股定理分别列关系式，求解x、y值，代入EF的关系式即可。
8．矩形各内角的平分线能围成一个（ ）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形
【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAC=90°，∠ABC=90°，
AE平分∠DAC，BE平分∠ABC，
则∠BAE+∠ABE=45°+45°=90°，
∴∠AEB=90°，
同理得∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∵∠BAF=∠HCB=45°，
.∴△BHC为等腰直角三角形，
∴BH=HC，
∵∠AEB=∠DGC，∠EAB=∠GDC=45°，AB=DC，
∴△ABE≌△DGC（AAS），
∴BE=GC，
∴BH-BE=HC-GC，
即HE=HG，
∴四边形EFGH为正方形；
故答案为：D.
【分析】由四边形ABCD为矩形，得∠DAC和∠ABC都是直角，AE平分∠DAC，BE平分∠ABC，
求得∠BAE和∠ABE之和为90°，则∠AEB为直角，同理求得∠EFG、∠FGH和∠GHE都是直角，
则四边形EFGH为矩形；因为∠BAF=∠HCB=45°，等角对等边得BH=HC，然后再根据角角边定理证得△ABE≌△DGC，由全等三角形对应边相等，得BE=GC，于是根据等式的性质得HE=HG，则邻边相等的矩形是正方形。
9．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ，当直线 与 有交点时，k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：把A（1，1）代入y=kx+3得1=k+3，解得k=-2；
把B（3，1）代入y=kx+3得1=3k+3，解得k= ；
把C（2，2）代入y=kx+3得2=2k+3，解得k=；
所以当直线y=kx+3与△ABC有交点时，k的取值范围是 ．
故答案为：D．
【分析】将点A、B、C分别代入y=kx+3中求出对应的k值，即可求出直线y=kx+3与△ABC有交点时k的临界值，从而确定出k的范围即可.
10．如图所示，在矩形 中， ， ，矩形内部有一动点 满足 ，则点 到 ， 两点的距离之和 的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h.
∵ ，
∴ AB h＝ AB AD，
∴h＝ AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离.
在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2＋2＝4，
∴BE＝ ，
即PA＋PB的最小值为 .
故答案为：D.
【分析】首先由 ，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA＋PB的最小值.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．小亮从家匀速跑步到学校，接着马上原路匀速步行回家，已知小亮步行回家的时间是跑步到学校时间的2倍．如图是小亮离家的路程与时间的函数图象，则小亮回家的速度是每分钟步行 m．
【答案】90
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：∵小亮步行回家的时间是跑步到学校时间的2倍，
∴小亮步行回家的时间是10min，
∴小亮回家的速度为900÷10=90m/min，
故答案为：90
【分析】根据函数图象的信息结合题意进行计算即可求解。
12．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=6，
∵M，N分别为的中点，
∴MN=3，
故答案为：3
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到AD=BC=6，进而根据三角形中位线定理即可求解。
13．如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 .
【答案】 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′＝PD′，
设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，
∴AM＝AB BM＝7 x，
又折叠图形可得AD＝AD′＝5，
∴x2＋（7 x）2＝25，解得x＝3或4，
即MD′＝3或4．
在Rt△END′中，设ED′＝a，
①当MD′＝3时，AM＝7 3＝4，D′N＝5 3＝2，EN＝4 a，
∴a2＝22＋（4 a）2，
解得a＝，即DE＝，
②当MD′＝4时，AM＝7 4＝3，D′N＝5 4＝1，EN＝3 a，
∴a2＝12＋（3 a）2，
解得a＝，即DE＝
故答案为：或
【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，利用角平分线的性质，可证MD′＝PD′，设MD′＝x，用含x的代数式表示出PD′、先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．AM，再利用折叠的性质，可知AD＝AD′＝5，利用勾股定理求出x的值，可得到MD′的长，再分情况讨论：①当MD′＝3时；②当MD′＝4时，分别利用勾股定理，建立关于a的方程，解方程求出a的值，就可得到DE的长。
14．如图，在平面直角坐标系中，三角形经过平移后得到三角形，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点为三角形内部一点，且与三角形内部的点对应，则对应点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由图可得，，，
三角形向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形，
又点，为三角形内部一点，且与三角形内部的点对应，
对应点的坐标为，即，
故答案为：
【分析】根据点坐标和图象平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
15．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边上的中线长为 ．
【答案】或2
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①若4是直角边，则斜边=，
斜边上的中线=，
②若4是斜边，则斜边上的中线=×4=2，
综上所述，斜边上的中线长是或2．
故答案为：或2．
【分析】分两种情况，先求出直角三角形斜边的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求解即可。
16．如图，两条互相垂直的线段、将正方形分割成①、②、③、④四块（图1），正好围成一个大正方形（图2），若，，则的长是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=DC=AD，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABF+∠FBC=90°，
∴AE⊥BF，∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠FBC=∠BAE，
在△ABE和△BCF中，
因为∠FBC＝∠BAE， AB＝BC， ∠ABC＝∠C ，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF，∠AEB=∠BFC，
即可确定图2为边长等于AE的正方形， MN=BE，KR=ET，∠BFC=∠QMK=60°，
∴∠FBC=90°-∠BFC=30°，∠AEB=∠BFC=60°，
∴在Rt△BET中，BE=2ET，
又∵MN+KR=3，
∴BE+ET=3，
∴ET=1，BE=2，
在Rt△ABE中，
∵∠BAE=90°-∠AEB=30°，AE=2BE=4，
∴AB==，
故答案为：．
【分析】先证明△ABE≌△BCF（ASA）， 可得AE=BF，∠AEB=∠BFC，再根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出ET=1，BE=2， AE=2BE=4，从而求出AB的长.
17．如图，将矩形 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙重叠的四边形 ，若 ， ，则边 的长是 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，
由折叠可知：△EAH≌△EMH，△HNG≌△HDG，△FBE≌△FME，
∴EA=EM，AH=MH，HD=HN，EB=EM，FB=FM，
∠AEH=∠MEH，∠BEF=∠MEF，∠BME=∠B=90°，∠HNG=∠D=90°，
∴EA=EB= AB=3，
∵∠AEH+∠MEH+∠BEF+∠MEF=180°，
∴2∠MEH+2∠MEF=180°，
∴∠HEF=90°，
同理可知：∠EHG=∠EFG=∠HGF=90°，
∴四边形EHGF是矩形，
∴HG∥FE，HG=FE，
∴∠GHN=∠EFM，
在△HNG和△FME中，
，
∴△HNG≌△FME（AAS），
∴HN=FM，
∴HD=FM，
∴HF=HM+FM=AH+HD=AD=10，
设AH=x，则HD=FM=FB=10-x，
∵ ， ， ，
∴ ，
即 ，
解得：x=1或x=9（舍），
∴AH=1，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】先根据翻折，证明四边形EFGH为矩形，EA=EB= AB=3，再利用正方形的性质证明，得出HF=AD，再AH=x，则HD=FM=FB=10-x，利用勾股定理得出，列出关于x 的方程，求出x 即可。
18．如图， 表示某机床公司一天的销售收入y（万元）与机床销售量x（件）的关系， 表示该公司一天的销售成本y（万元）与机床销售量x（件）的关系．有以下四个结论：① 对应的函数表达式是 ；② 应的函数表达式是 ；③当一天的销售量为 件时，销售收入等于销售成本；④一天的利润w（万元）与销售量x（件）之间的函数表达式是 ．其中正确的结论为 （请把所有正确的序号填写在横线上）．
【答案】①③④
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①观察图象可知直线l1经过原点，
设l1的解析式为y1=kx，
将点（2，2）代入解析式可得 2=2k，
解得k=1，
所以l1的解析式为y1=x，
故①符合题意；
②观察图象可知直线l2不经过原点，
设l2的解析式为y2=kx+b，
将点（0，1）、（2，2）代入解析式可得
解得 ，
所以l2的解析式为 ，
故②不符合题意；
③观察图象可知，直线l1与直线l2交于点（2，2），
所以，当销售量为2时，销售收入等于销售成本，
故③符合题意；
④利润 ，
故④符合题意；
故答案为①③④．
【分析】用待定系数法求出解析式可判断 ①② ，根据图象可判断③，根据“利润=收入-成本”可得利润与销售量间的函数关系式，可判断④。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，A、B两地相距120千米，甲、乙两人骑车同时分别从A、B两地相向而行匀速行驶，设他们各自距A地的距离S（千米）都是骑车时间t的一次函数，并回答下列问题：
（1）甲的速度为 千米/小时，乙的速度为 千米/小时；
（2）求运动过程中的函数解析式.
【答案】（1）15；25
（2）设直线的解析式为
解得：
函数解析式为
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】 解：（1）如图所示：甲的速度为：30÷2=15(km/h)，
乙的速度为：(120-95)÷1=25(km/h)；
【分析】（1）利用图象上点的坐标得出甲、乙的速度即可；
（2）利用待定系数法求出直线l乙的解析式.
20．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形
（2）解：当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得AEBD是矩形；利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
21．已知函数 ，点 在其图像上．
（1）求a的值；
（2）过点 作 轴于 点，求 的长；
（3）在条件（2）下，点 在线段 上，将线段 沿直线 翻折，使点 落在 上的 点处，求 所在直线的解析式．
【答案】（1）解：把 代入 ，得：
（2）解：∵OA=6，AB=8， 轴
∴OB=
（3）解：∵线段OA沿直线 翻折，使点A落在 上的 点处，
∴∠ODE=∠OAE=90°，DO=AO=6，
∴BD=10-6=4，
设AE=x，则BE=8-x，DE=AE=x，
∴在 中， ，解得：x=3，
∴E(6，3)，
设 所在直线的解析式为：y=kx，
把E(6，3)代入上式得：3=6k，解得：k= ，
∴y= x．
【知识点】正比例函数的图象和性质；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1） 把 代入 ， 即可解答；
（2）利用勾股定理即可求解；
（3）利用折叠的性质，得出 ∠ODE=∠OAE=90°，DO=AO=6， 设 AE=x，则BE=8-x，DE=AE=x， 利用勾股定理，即可求解。
22．如图，在 中， ，点 在 上，以 、 为腰做等腰 ，且 ，连接 ，过 作 交 延长线于 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数；
（3）请判断四边形 是否是平行四边形，若是，请证明，若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：证明：∵ ，
∴ ， .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
（3）证明：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质求出AB=AC，AD=AE，，根据SAS可证；
（2）由可得，由△BAD得 ，即得 ，由平行线的性质可得，利用三角形的内角和即可求出∠MEC的度数；
（3）由，可得 ，再证明，可得，即得 ，根据一组对边平行且相等即证四边形 是平行四边形 .
23．某文具店销售功能完全相同的A、B两种品牌的计算器，若购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元.
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器超出5个的部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需婴y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，请分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
（3）当需要购买50个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？
【答案】（1）解：设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，
根据题意得 ，
解得： ，
答：A种品牌计算器30元/个，B种品牌计算器32元/个
（2）解：A品牌：y1＝30x 0.8＝24x；
B品牌：①当0≤x≤5时，y2＝32x，
②当x＞5时，y2＝5×32＋32×（x 5）×0.7＝22.4x＋48，
综上所述：y1＝24x，
y2＝ ；
（3）解：当x＝50时，y1＝24×50＝1200元；y2＝22.4×50＋48＝1168元，
所以，购买50个的计算器时，B品牌的计算器更合算.
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据2×A品牌的单价+3×B品牌的计算器的单价=156，3×A品牌计算机的单价+1×B品牌的计算器的单价=122，设未知数，列方程组，然后求出方程组的解；
（2）根据题意分别列出y1、y2关于x的函数关系式；
（3）分别将x=50代入函数解析式，求出对应的y的值，比较大小可作出判断.
24．在平面直角坐标系中，对于直线l：（）与图形M给出如下定义：若直线l与图形M有两个交点P，Q，则线段的长度称为直线l关于图形M的“截距”．如图，矩形的其中三个顶点的坐标为，，．
（1）点C的坐标是 ．
（2）直线关于矩形的“截距”是 ；
直线关于矩形的“截距”是，求m的值．
（3）如果直线（）经过点，且关于矩形的“截距”的最小值是，求k的取值范围．
【答案】（1）
（2），或
（3）解：当直线（）关于矩形的“截距”是时，
∴经过点或．又∵经过点，∴或．
∴关于矩形的“截距”的最小值是时，或．
【知识点】矩形的性质；一次函数的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵是矩形，且，，．∴；
（2）由截距的定义可知：经过点，∴关于矩形的“截距”是， ∵直线关于矩形的“截距”是，∴直线经过点或．∴或．
【分析】（1）根据所给的平面直角坐标系求出点C的坐标即可；
（2）先求出，再求解即可；
（3）先求出 经过点或，再求出 或，最后求解即可。
25．在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，交于点E，分别交，于点D、F．
（1）如图1，在旋转过程中，猜想线段与满足的数量关系并加以证明；
（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并证明；
（3）在（2）的条件下，求线段的长．
【答案】（1），证明：∵，，∴，根据绕点B顺时针旋转得到，得：，，，在和中，∴（ASA），∴．
（2）四边形是菱形，证明：∵，，∴，∴，，∴AD∥BC1，AB∥DC1，∴四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形．
（3）解：作⊥，交于点，即，如图，
由（2）知，∴，，∴，不妨设，，在中由勾股定理得：，即，解得，，∴．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据绕点B顺时针旋转得到，得：，，利用三角形全等证出，即可得出结论；
（2）利用平行线的性质证出四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
（3）由（2）知，得出，，设，，在中由勾股定理得：，代入求解即可。
26．对于平面直角坐标系xOy中的点M(m，0)和点P，给出如下定义：
若在y轴上存在点N，使得∠MNP＝90°，且NM＝NP，则称点P为m直角等腰点．例如，点P(－2，0)为2直角等腰点，理由如下：如图，设M(2，0)，以MP为斜边作等腰直角△PMN，可得y轴上的一个点N(0，2)，所以点P(－2，0)为2直角等腰点．
（1）在点A(－1，0)，B(0，1)，C(1，1)中，是1直角等腰点的是 ；
（2）若点D是直线y＝2x＋3上一点，且点D是3直角等腰点，求点D的坐标；
（3）若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像上存在无数个4直角等腰点，请直接写出该一次函数的解析式．
【答案】（1）A，B
（2）解：如图，设点E(3，0)，点F在y轴上．
①当点D在x轴下方时，过D作DG⊥y轴于G，
∵点D是3直角等腰点，
∴∠DFE＝90°，且FD＝FE，
∴∠DFE＝∠FOE＝90°，
∠DFG＝90° ∠OFE＝∠OEF，
∴△DFG ≌△EFO，
∴GF＝OE＝3，DG＝OF，
设DG＝OF＝m，则OG＝GF OF＝3 m，
∵点D在x轴下方，∴D( m，m 3)，
将点D的坐标( m，m 3)代入y＝2x＋3得， 2m＋3＝m 3，
解得m＝2，
∴D( 2， 1)；
②当点D在x轴上方时，同理可得点D的坐标(0，3)．
综上，点D的坐标为( 2， 1)，或(0，3)．
（3）y＝x＋4或y＝ x 4
【知识点】一次函数的图象；三角形全等的判定；一次函数的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）如图1，当k＞0时，
∵P是4直角等腰点，
∴∠PNM=90°，NP=NM，
过点P作PG⊥y轴交于点G，
∵∠GPN+∠ONM=90°，∠GNP+∠GPN=90°，
∴∠GPN=∠ONM，
∴△GNP≌△OMN(AAS)，
∴GP=ON，GN=OM，
设ON=x，
∴P(x，x+4)，
∴y=x+4；
如图2，当k＜0时，
同理可得△PNG≌△NMO(AAS)，
∴NG=OM=4，PG=ON，
设ON=x，
∴P(-x，x-4)，
∴y=-x-4；
综上所述：y=x+4或y= x 4．
【分析】（1）根据点P为m直角等腰点的定义逐一判断即可；
（2）设点E(3，0)，点F在y轴上， ①当点D在x轴下方时，过D作DG⊥y轴于G，证明△DFG ≌△EFO，可得GF＝OE＝3，DG＝OF，设DG＝OF＝m，则OG＝GF OF＝3 m，可得D( m，m 3)，将其代入y＝2x＋3中求出m值即得结论；②当点D在x轴上方时，同理求解即可；
（3）分两种情况：当k＞0时，由P是4直角等腰点，可得∠PNM=90°，NP=NM，过点P作PG⊥y轴交于点G，证明△GNP≌△OMN(AAS)，可得GP=ON，GN=OM，设ON=x，则P(x，x+4)，即可得解；当k＜0时，同理可得△PNG≌△NMO(AAS)，可得NG=OM=4，PG=ON，设ON=x，则P(-x，x-4)，即可得解.
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