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2023-2024沪科版七年级下册期末一遍过解题觉醒卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，直线，点A、C在直线m上，点B在直线n上，BC平分∠ABD，若，则∠ACB的度数为（ ）
A．58° B．61° C．30° D．29°
2．计算的正确结果是（ ）
A．2022 B．-2022 C． D．
3．下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是－1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（ ）
A．π B．π＋1 C．π－1 D．2π
5．下列多项式乘法，能用平方差公式计算的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．如果关于 的方程组 的解是正数，那a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无解
7．如图，已知AB∥CD， ， ．则 与 之间满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如，，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列结论中错误的是（ ）
A．20是“完美数”
B．最小的“完美数”是4
C．“完美数”一定是4的奇数倍
D．小于30的所有“完美数”之和是60
9．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）
A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ
C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180°
10．若p＝ + + + + ，则使p最近 的正整数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算 ；
12．如果a与b互为倒数，c与d互为相反数，那么 的值是 ．
13．平面直角坐标系中有两点A（m，－1），B（3，4），当m取任意实数时，线段AB长度的最小值为 ．
14．如图，已知 ， ， ，则 度.
15．若，则 ．
16．已知不等式组 的解集中只有三个整数解，则 的范围是 ．
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．画图题，如图，已知三角形
（1）过点 作 ，点 为垂足
（2）在（1）的条件下，若 ，求点A到CD的距离
18．某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了不正确，解答过程如下：
原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步）
＝a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）
＝2ab﹣b2 （第三步）
（1）该同学解答过程从第 步开始出错，不正确原因是 ；
（2）写出此题正确的解答过程．
19．规定的运算法则是，例如．
（1）计算；
（2）若，求x的取值范围．
20．已知：如图，点C在 的一边OA上，过点C的直线 ，CF平分 ， 于C．
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证：CG平分 ；
（3）当 为多少度时，CD平分 ，并说明理由．
21．某商场准备购进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服3件，B种型号衣服5件，共需700元；购进A种型号衣服6件，B种型号衣服4件，共需920元；商场对A型号衣服定价为120元，B型号衣服定价为90元，商场一次性购进A、B两种型号的衣服共100件，要使在这次销售中获利不少于1250元，且A型号衣服不多于27件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元
（2）求出商场此次购进A、B型号衣服的方案有哪些？
22．问题情境：
我们知道，“如果两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．
问题初探：
如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH//GF，则CH//DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数为…．
（1）请你直接写出：∠CAF＝ °，∠EMC＝ °．
（2）类比再探：若将将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
（3）方法迁移：请你猜想（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
23．阅读下列材料，解答提出的问题．
我们知道，二元一次方程 有无数组解，如果我们把每一组解用有序数对 表示，就可以标出一些以方程 的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程 的解．我们把以方程 的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程 的图象，记作直线 ．
（1）【初步探究】下列点中，在方程 的图象 上的是______；
A． B． C．
（2）在所给的坐标系中画出方程 的图象 ；
（3）【理解应用】直线 ， 相交于点M，求点M的坐标；
（4）点 ， 分别在直线 ， 上．当 时，请直接写出a的取值范围．
24．已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+ +xn﹣1）＝ ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝ ；
②（x﹣1）（x222+x2021+x2020+...+x2+x+1）＝ ．
（3）判断2100+299+298+...+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．
25．已知 ∥ ，点 、 分别是 、 上的两点，点 在 、 之间，连接 、 .
（1）如图①，若 ，求 的度数；
（2）如图②，若点 是 下方一点， 平分 ， 平分 ，已知 ，求 的度数；
（3）如图③，若点 是 上方一点，连接 、 ，且 的延长线 平分 ， 平分 ， ，求 的度数.
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2023-2024沪科版七年级下册期末一遍过解题觉醒卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，直线，点A、C在直线m上，点B在直线n上，BC平分∠ABD，若，则∠ACB的度数为（ ）
A．58° B．61° C．30° D．29°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： 直线，
∠BAC+∠ABD=180°，∠ACB=∠CBD，
，
∠ABD=180°-122°=58°，
BC平分∠ABD，
，
∠ACB=∠CBD=29°.
故答案为：D.
【分析】先根据平行线的性质得到∠BAC+∠ABD=180°，∠ACB=∠CBD，进而得出∠ABD=58°，再根据角平分线的定义求出∠CBD的度数，即可得到∠ACB的度数.
2．计算的正确结果是（ ）
A．2022 B．-2022 C． D．
【答案】C
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】一个不为0的数的负整数指数幂，等于这个数的正指数幂的倒数进行计算即可.
3．下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，无法合并，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
幂的乘方，底数不变，指数相乘；
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
4．如图，直径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是－1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（ ）
A．π B．π＋1 C．π－1 D．2π
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】由直径1个单位长度的圆滚动一周后走过的路径长为：π，
故B表示的数是： -1+π .
故选：C.
【分析】在数轴上，较小数+二者距离=较大数，继而得出点B表示的数.
5．下列多项式乘法，能用平方差公式计算的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A、原式可化为-(3x+2)(3x+2)，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、原式可化为-(a+b)(a-b)，能用平方差公式计算，故本选项正确；
C、原式可化为(2-3x)(2-3x)，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、不符合两个数的和与这两个数的差相乘，不能用平方差公式计算，故本选项错误，
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式的特点，两个数的和乘以这两个数的差，对各选项分析判断后利用排除法求解.
6．如果关于 的方程组 的解是正数，那a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解方程组 ，得： ，
∵方程组的解为正数，
∴ ，
解得：-4＜a＜5，
故答案为：A．
【分析】将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，根据x与y都为正数，取出a的范围即可．
7．如图，已知AB∥CD， ， ．则 与 之间满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图所示，作NE∥AB，MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MF∥EN
得 ， ， ， ；
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点M和点N分别作NE∥AB，MF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得AB∥CD∥MF∥EN，根据平行线的性质可得∠BMF=∠ABM，∠FMD=∠CDM，∠BNE=180°-(∠ABM+∠NBM)，∠END=180°-(∠CDM+∠MDN)，则∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BND=360°(∠ABM+∠CDM+∠MBN+∠MDN)，结合已知条件可得∠BND=360°-(∠ABM+∠CDM)，化简即可.
8．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如，，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列结论中错误的是（ ）
A．20是“完美数”
B．最小的“完美数”是4
C．“完美数”一定是4的奇数倍
D．小于30的所有“完美数”之和是60
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：A、∵62-42=20，∴ 20是“完美数”，故此项不符合题意；
B、∵ 两个连续偶数的平方差最小值为4，∴ 最小的“完美数”是4 ，故此项不符合题意；
C、设两个连续偶数为2n，2n+2，
∴（2n+2）2-（2n）2=4（2n+1），
∴“完美数”一定是4的奇数倍 ，故此项不符合题意；
D、小于30的“完美数”有4、12、20、28，
∴4+12+20+28=64，故此项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据 “完美数” 的定义逐一判断即可.
9．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（ ）
A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ
C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180°
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴γ=∠1+∠2①，
又∵入射角与折射角的度数比为3：2，
∴∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），
∴γ=（90°-α）+（90°-β）=（180°-α-β），
∴γ=120°-（α+β），即（α+β）=120°-γ.
故答案为：B.
【分析】如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，由平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，从而得γ=∠1+∠2，再根据入射角与折射角的度数比为3：2，分别求得∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），再代入①式中，整理化简即可得到（α+β）=120°-γ.
10．若p＝ + + + + ，则使p最近 的正整数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
∴当n＝4时，
当n＝5时，p＝ ；
当n＝6时，
当n＝7时，
显然，
故答案为：A.
【分析】先利用“裂项法“对已知分式变形化简，再分别将n取4，5，6和7代入计算，即可得出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算 ；
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式= = ，
故答案为：
【分析】
12．如果a与b互为倒数，c与d互为相反数，那么 的值是 ．
【答案】0
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；算术平方根；立方根及开立方；代数式求值
【解析】【解答】解：根据题意得：ab=1，c+d=0，
则原式=1 0 1=0，
故答案为：0
13．平面直角坐标系中有两点A（m，－1），B（3，4），当m取任意实数时，线段AB长度的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵，
∴点A在直线上，
要使AB最小，
根据“垂线段最短”，可知：
过B作直线的垂线，垂足即为A，
∴AB最小为，
故答案为：．
【分析】根据“垂线段最短”，可知：过B作直线y=-1的垂线，垂足即为A，求出AB的长度即可。
14．如图，已知 ， ， ，则 度.
【答案】60
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：60.
【分析】根据平行线的性质可得∠C+∠B=180°，∠C=∠D，则∠B+∠D=180°，结合∠B=2∠D可得∠D的度数，进而可得∠C的度数.
15．若，则 ．
【答案】2或3或-1
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：本题要分三种情况讨论：
①∵1的任何次幂都等于1
∴5-2x=1
解得：x=2
②∵-1的偶数次幂都等于1
∴5-2x=-1
解得：x=3
此时x+1=4是偶数，符合题意；
③∵任何不等于零的数的零次幂都等于1
∴x+1=0
∴x=-1
此时5-2x=5+2=7≠0，符合题意；
综上所述：x=2或3或-1.
故答案为：2或3或-1.
【分析】一个数的次幂等于1有三种情况：1的任何次幂都等于1；-1的偶数次幂都等于1；任何不等于零的数的零次幂都等于1.三种情况分别列出关于x的方程，注意要检验x是否符合题意，最后得出答案.
16．已知不等式组 的解集中只有三个整数解，则 的范围是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解 ，
移项、合并同类项得： ，
解 ，
移项、合并同类项得： ，
∴不等式组的解集为
∵不等式组的解集中只有三个整数解，
∴整数解应为0，1，2，
∴m的取值范围为 ，
故答案为： ．
【分析】利用不等式的性质和不等式组的解法求出解集，再结合数轴，根据解集中只有三个整数解列出不等式即可。
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．画图题，如图，已知三角形
（1）过点 作 ，点 为垂足
（2）在（1）的条件下，若 ，求点A到CD的距离
【答案】（1）解：如图，CD为所作．
（2）解：∵AB=5，BD=2，
∴AD=3，
∴点A到CD的距离为3．
【知识点】垂线的概念；点到直线的距离
【解析】【分析】（1）根据题意，作出图形，即可；
（2）根据点到直线的距离概念，通过线段的和差运算，即可求解.
18．某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了不正确，解答过程如下：
原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步）
＝a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）
＝2ab﹣b2 （第三步）
（1）该同学解答过程从第 步开始出错，不正确原因是 ；
（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）二；去括号时没有变号
（2）解：原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2）
＝a2+2ab﹣a2+b2
＝2ab+b2．
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）该同学解答过程从第 二步开始出错，不正确原因是去括号时没有变号；
故答案为：二，去括号时没有变号；
【分析】（1）逐步分析查找不符合运算法则的步骤即可.（2）先计算乘法，然后计算减法．
19．规定的运算法则是，例如．
（1）计算；
（2）若，求x的取值范围．
【答案】（1）解：
=
=；
（2）解：由题意得，
解得，
即x的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据所给的运算法则求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可。
20．已知：如图，点C在 的一边OA上，过点C的直线 ，CF平分 ， 于C．
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证：CG平分 ；
（3）当 为多少度时，CD平分 ，并说明理由．
【答案】（1）∵DE//OB ，
∴∠O=∠ACE，（两直线平行，同位角相等）
∵∠O =40°，
∴∠ACE =40°，
∵∠ACD+∠ACE= (平角定义)
∴ ∠ACD=
又 ∵CF平分∠ACD ，
∴ (角平分线定义)
∴ ∠ECF=
（2）证明：∵CG^ CF，
∴ .
∴
又 ∵ ）
∴
∵
∴ (等角的余角相等）
即CG平分∠OCD ．
（3）结论：当∠O=60°时 ，CD平分∠OCF ．
当∠O=60°时
∵DE//OB，
∴ ∠DCO=∠O=60°.
∴ ∠ACD=120°.
又 ∵CF平分∠ACD
∴ ∠DCF=60°，
∴
即CD平分∠OCF ．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ACE =40°， 再求出
，最后计算求解即可；
（2）先求出
，再求出
，最后求解即可；
（3）先求出 ∠DCO=∠O=60° ，再求出 ∠DCF=60°， 最后求解即可。
21．某商场准备购进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服3件，B种型号衣服5件，共需700元；购进A种型号衣服6件，B种型号衣服4件，共需920元；商场对A型号衣服定价为120元，B型号衣服定价为90元，商场一次性购进A、B两种型号的衣服共100件，要使在这次销售中获利不少于1250元，且A型号衣服不多于27件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元
（2）求出商场此次购进A、B型号衣服的方案有哪些？
【答案】（1）解：设A型号衣服一件 元，B型号衣服一件y元，由题可得
解得
答：A型号衣服一件100元，B型号衣服一件80元.
（2）解：设A型号衣服购进m件，则B型号衣服为（100－m）件，由题意得
解得：
∵m≤27，
∴25≤m≤27且m为整数
∴m为25，26，27.
∴方案有：①A型号衣服25件，B型号衣服75件
②A型号衣服26件，B型号衣服74件
③A型号衣服27件，B型号衣服77件
【知识点】二元一次方程组的其他应用；解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程组和一元一次不等式组的实际应用，申清题意，通过题目已知条件找出等量和不等量关系列出方程组和不等式组是关键。
（1）由题意可得 两个等量关系：
由此列出方程即可；
（2）根据题意（AB两种共100件衣服，获利不少于1250元和且A型号衣服不多于27件 ），得两个不等量关系：
列出不等式组，求出整数解即可。
22．问题情境：
我们知道，“如果两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．
问题初探：
如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH//GF，则CH//DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数为…．
（1）请你直接写出：∠CAF＝ °，∠EMC＝ °．
（2）类比再探：若将将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
（3）方法迁移：请你猜想（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）30；60
（2）∠EMC+∠CAF=90°，
证明：如图2，过C作CH∥GF，则∠CAF=∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC=∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°；
（3）∠BAG-∠BMD=30°，
证明：如图2，过B作BK∥GF，则∠BAG=∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD=∠KBM，
∴∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH∥GF，
∵CH∥GF， DE//GF ，
∴CH∥DE∥GF，
∴∠EMC=∠BCH，∠FAC=∠HCA，
∵BN⊥DE，
∴∠BNE=90°，
又∵ED∥GF，
∴∠BNE=∠BAF=90°
∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠EMC=∠BCH=90°-30°=60°；
故答案为：30，60；
【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠CAF=∠ACH，∠EMC=∠HCM，然后根据∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB进行解答；
（3）过B作BK∥GF，则BK∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠BAG=∠KBA，∠BMD=∠KBM，然后根据∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC进行解答.
23．阅读下列材料，解答提出的问题．
我们知道，二元一次方程 有无数组解，如果我们把每一组解用有序数对 表示，就可以标出一些以方程 的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程 的解．我们把以方程 的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程 的图象，记作直线 ．
（1）【初步探究】下列点中，在方程 的图象 上的是______；
A． B． C．
（2）在所给的坐标系中画出方程 的图象 ；
（3）【理解应用】直线 ， 相交于点M，求点M的坐标；
（4）点 ， 分别在直线 ， 上．当 时，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）B
（2）解：∵x=1时，y=2，
x=-3时，y=0，
∴直线l2过点（1，2）和（-3，0），
如图所示，在平面直角坐标系中描出这两点，并延长即可画出直线l2的图象，
（3）解：联立方程组，
整理，解得，
∴M（ -，）.
（4）解：∵P（x1，a）在直线l1上，
∴x1+a＝1，即x1＝1-a，
∵Q（x2，a）在直线l2上，
∴x2-2a＝-3，即x2＝-3+2a，
∵PQ≤4，
∴PQ＝|-3+2a-1+a|＝|3a-4|≤4，
∴-4≤3a-4≤4，
∴0≤a≤.
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次不等式组；两点确定一条直线；线段上的两点间的距离；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵x＝1，y＝1时，x+y＝2，
∴点（1，1）不在直线l1上，A选项不符合题意；
∵x＝2，y＝-1时，x+y＝1，
∴点（2，-1）在直线l1上，B选项符合题意；
∵x＝-3，y＝2时，x+y＝-1，
∴点（-3，2）不在直线l1上，C选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】（1）分别把A、B、C选项中的点坐标代入方程x+y=1进行验证，即可得出符合题意的选项；
（2）易得直线l2过点（1，2）和（-3，0），在平面直角坐标系中描出这两点，并延长即可画出直线l2的图象；
（3）将两条直线的解析式联立方程组，解之即可求得M点的坐标；
（4）把P和Q的坐标分别代入l1和l2的解析式，可得x1＝1-a，x2＝-3+2a，从而表示出PQ＝|3a-4|，即得|3a-4|≤4，进而得-4≤3a-4≤4，解得0≤a≤.
24．已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+ +xn﹣1）＝ ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝ ；
②（x﹣1）（x222+x2021+x2020+...+x2+x+1）＝ ．
（3）判断2100+299+298+...+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．
【答案】（1）
（2） 或-127；
（3）解：
∵ …结果是以2、4、8、6循环
∴101÷4=251
∴2-1101的个位数字为2-1=1.
∴ 的个位数字为1
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）（1﹣x）（1+x+x2+x3+ +xn﹣1） =1-x×xn-1=1-xn.
故答案为：1-xn.
（2）①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）=1-2×26=1-27.
②（x﹣1）（x222+x2021+x2020+...+x2+x+1）=x·x2022-1=x2023-1.
【分析】（1）观察已知三个等式，可得答案.
（2）①利用第（1）小题的猜想结论，可得到1-2×26；进行计算可求出结果；②利用第（1）小题的猜想结论，可得x·x2022-1，再进行计算即可.
（3）利用第（1）小题的猜想结论，可将原式转化为，再分别求出22，23，24，25，观察末尾数，可知以2、4、8、6循环，用101÷4，根据其余数，可得 2100+299+298+...+22+2+1的值的个位数.
25．已知 ∥ ，点 、 分别是 、 上的两点，点 在 、 之间，连接 、 .
（1）如图①，若 ，求 的度数；
（2）如图②，若点 是 下方一点， 平分 ， 平分 ，已知 ，求 的度数；
（3）如图③，若点 是 上方一点，连接 、 ，且 的延长线 平分 ， 平分 ， ，求 的度数.
【答案】（1）解：如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG=∠HGM，∠CNG=∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN=∠MGH+∠NGH=∠AMG+∠CNG=90°
（2）解：如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND=α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN=∠GND=α，
∵GK∥AB，∠BMG=30°，
∴∠MGK=∠BMG=30°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP=∠BMG=30°，
∴∠BMP=60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ=∠BMP=60°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP=∠GND=α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN=∠DNP=α，
∴∠MGN=30°+α，∠MPN=60°-α，
∴∠MGN+∠MPN=30°+α+60°-α=90°
（3）解：如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF=x，∠GND=y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME=∠FMA=∠BMG=x，
∴∠AME=2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK=∠BMG=x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM=∠EMA=2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN=∠GND=y，
∴∠MGN=x+y，
∵∠CND=180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG=180°-y，∠CNE= ∠CNG=90°- y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN=∠CNE=90°- y，
∴∠MEN=∠TEN-∠TEM=90°- y-2x，∠MGN=x+y，
∵2∠MEN+∠G=105°，
∴2（90°- y-2x）+x+y=105°，
∴x=25°，
∴∠AME=2x=50°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过G作GH∥AB，由平行线的传递性可得GH∥AB∥CD，再由平行线的性质可求解；
（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND=α，由平行线的传递性可得GK∥CD，根据平行线的性质和角的平分线的意义可求解；
（3）过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF=x，∠GND=y，根据平行线的性质可得关于x、y的方程，解方程可求解.
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