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2023-2024沪科版八年级下册期末复习练透考点卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在平行四边形ABCD中，如果∠A＝55°，那么∠B的度数是（ ）
A．55° B．45° C．125° D．145°
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．
A． B． C． D．
3．要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
4．一组数据：、、、、，分别减去，得到另一组数据：、、、、，其中判断错误的是（ ）
A．前一组数据的中位数是
B．前一组数据的众数是
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去
5．方程根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
6．在中，，则的面积为（ ）
A．30 B．32.5 C．60 D．65
7．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
8．如图，在等腰△ABC中， ， ，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持 ，连接DE，DF，EF在此运动变化的过程中，下列结论：（1） 是等腰直角三角形； 四边形CDFE不可能为正方形，（3） 长度的最小值为4；（4）连接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则 或 其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是（ ）
A．4cm B．2cm C．cm D．1cm
10．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．若平移点 到点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移 个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．化简 的结果等于 .
12．设甲组数：1，1，2，5的方差为S甲2，乙组数是：6，6，6，6的方差为S乙2，则S甲2与S乙2的大小关系是S甲2 S乙2（选择“＞”、“＜”或“=”填空）．
13．在一次青年歌手大赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ．
14．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作……照此规律作下去，则 ．
15．如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入 元.
16．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．在某学校组织的诗词比赛活动中，每个年级参加比赛的人数相同，成绩分为 、 、 、 四个等级，其中相应等级的赋分依次为 分， 分， 分， 分，该校发展处的陈主任将七年级和八年级的成绩整理并绘制成如下的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中八年级成绩在 分及其以上的人数是 人；
（2）求出下表中 、 、 的值：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
七年级
八年级
（3）学校准备在这两个年级中选一个年级参加市级诗词比赛，你建议学校选哪个年级参加最好？说说你的理由.
18．在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6， c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
19．如图，在△ABC中，，过AB上一点D作交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）当点D为AB中点时，四边形ADEF是什么特殊的平行四边形？在备用图中画出图形，并说明理由．
20．如图，△ABC中，交AC于P，∠ACB，∠ACD的平分线分别交MN于E、F．
（1）求证：；
（2）当MN与AC的交点P在AC的什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）
21．计算
（1）计算：.
（2）先化简，再从，0，1中选择合适的值代入求值.
22．在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，点E是BD上的一点，∠AEB=∠BDC.
（1）如图1，求证：AE=CD；
（2）如图2， AFCE的顶点F在BD上，若OF=DE.
①求证：四边形AFCE是矩形；
②求的值.
23．如图，等边的边长是分别为的中点，延长至点，使，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求的长．
24．已知：在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于、两点，直线经过点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，点为直线上的一个动点，若的面积等于时，请求出点的坐标；
（3）如图，将沿着轴平移，平移过程中的记为请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标．
25．如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：△BDF是等腰三角形．
（2）如图②，过点D作DG//BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
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2023-2024沪科版八年级下册期末复习练透考点卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在平行四边形ABCD中，如果∠A＝55°，那么∠B的度数是（ ）
A．55° B．45° C．125° D．145°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠A=55°，
∴∠B=180°-∠A=125°．
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的邻角互补可得∠B+∠A=180°，从而求出∠B的度数.
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．＝，不符合题意；
B．是最简二次根式，符合题意；
C．，不符合题意；
D．＝6，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
3．要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】x+1有意义，必须x+10，由此x-1，故选B
【分析】二次根式有意义，被开方数要大于等于0.
4．一组数据：、、、、，分别减去，得到另一组数据：、、、、，其中判断错误的是（ ）
A．前一组数据的中位数是
B．前一组数据的众数是
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】A ：数据重新排列：299，300，300，301，302，最中间的数据是300，即中位数是300，A正确；
B ：5个数据中，只有300出现2次，其他出现1次，解众数是300，B正确；
C ：前一组数据的平均数是300.4，后一组数据的平均数是0.4，C正确；
D ：根据方差的计算公式，可以判定出两组数据的方差相等，描述错误；
故答案为：D
【分析】了解众数、中位数、平均数的定义，掌握方差的计算公式。
5．方程根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可得：因为所以x1，x2同号，再根据可得x1，x2均为正数。 故答案为：C。
【分析】根据根与系数之间的关系可得两根之和，与两根之积的值，然后根据它们的正负情况，判断出两根的符号，即可得出答案。
6．在中，，则的面积为（ ）
A．30 B．32.5 C．60 D．65
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，∴∴△ABC的面积为：
故答案为：A。
【分析】首先根据勾股定理求出另一条直角边BC，然后根据直角三角形的面积计算公式，求出△ABC的面积即可。
7．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
解：PA+PB=
取B点关于X轴的对称点B’(2，-1)，连接AB’交X轴于P，则PB’=PB，
∴PA+PB=PA+PB’=AB’，此时PA+PB的值最小，即的值最小。
∵AB’=
∴的最小值是5 。
【分析】
给出的代数式可以看作是两条线段的长度和，即PA+PB，求出PA+PB的最小值也就求出了代数式的最小值。
求PA+PB最小值时，可先取B关于X轴的对称点B‘ ，连接AB’，求出AB’的值即可。
8．如图，在等腰△ABC中， ， ，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持 ，连接DE，DF，EF在此运动变化的过程中，下列结论：（1） 是等腰直角三角形； 四边形CDFE不可能为正方形，（3） 长度的最小值为4；（4）连接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则 或 其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；正方形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】连接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A= ，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90 ，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90 ，
又∵EF=DF
∴△EDF是等腰直角三角形（故（1）正确）.
当D. E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故（2）错误）.
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时，DE最小，此时 .
∴ （故（3）错误）.
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF
∴S四边形CDFE=S△AFC，
∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分
∴S△CEF：S△CDF=1：2 或S△CEF：S△CDF=2：1
即S△ADF：S△CDF=1：2 或S△ADF：S△CDF=2：1
当S△ADF：S△CDF=1：2时，S△ADF= S△ACF=
又∵S△ADF=
∴2AD=
∴AD= （故（4）错误）.
故答案为：A.
【分析】连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④.
9．如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是（ ）
A．4cm B．2cm C．cm D．1cm
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AB、CD中点K、G，连接KG、BD交于点O.
由题意可知点Q运动的路线就是线段OG，
∵DO=OB，DG=GC，
∴OG= BC= ×4=2.
∴点Q移动路线长度的最大值是2.
故选B.
【分析】本题考查轨迹、翻折变换、三角形中位线定理等知识，解题的关键是找到点Q的运动路线，属于中考常考题型. 折叠是一种对称变换，折叠前后的图形大小和形状不变，位置变化，对应边和对应角相等.
10．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．若平移点 到点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移 个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
【答案】D
【知识点】菱形的判定；平移的性质
【解析】【解答】解：过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC=OA，则四边形OACB是平行四边形，
过B作DH⊥x轴于H，
∵B（1，1），
∴OB= ，
∵A（ ，0），
∴C（1+ ，1）
∴OA=OB，
∴则四边形OACB是菱形，
∴平移点A到点C，向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到，
故选D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．化简 的结果等于 .
【答案】π-3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵3－π＜0，∴ .
故答案为： .
【分析】先确定3－π的正负，再根据二次根式的性质化简即可.
12．设甲组数：1，1，2，5的方差为S甲2，乙组数是：6，6，6，6的方差为S乙2，则S甲2与S乙2的大小关系是S甲2 S乙2（选择“＞”、“＜”或“=”填空）．
【答案】＞
【知识点】方差
【解析】【解答】因为甲组数有波动，而乙组的数据都相等，没有波动，
所以s甲2＞s乙2．
故答案为：＞．
【分析】观察甲、乙两组数据可知甲组数有波动，乙组的数据没有波动，波动越大方差越大，波动越小方差越小，据此判断即可.
13．在一次青年歌手大赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ．
【答案】9.5
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：去掉的最高分是9.9，最低分是9.0，
所以，平均数===9.5．
故答案为：9.5．
【分析】根据算术平均数的计算方法进行计算即可得解．
14．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作……照此规律作下去，则 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高为：，
，
∵DE、EF分别是△ABC的中位线，
∴，
∴，
同理可得；
…，
∴；
故答案为：．
【分析】根据边长为1的等边三角形，解得△ABC的高，求得△ABC的面积，求得、面积，找出规律即可解得.
15．如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入 元.
【答案】7200
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝ ，
＝ ＝36.
所以需费用36×200＝7200（元）.
故答案为7200.
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，先根据勾股定理求出BD2的值，再运用勾股定理逆定理证明∠DBC＝90°，最后运用S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC即可求出面积，进而即可求解.
16．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．在某学校组织的诗词比赛活动中，每个年级参加比赛的人数相同，成绩分为 、 、 、 四个等级，其中相应等级的赋分依次为 分， 分， 分， 分，该校发展处的陈主任将七年级和八年级的成绩整理并绘制成如下的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中八年级成绩在 分及其以上的人数是 人；
（2）求出下表中 、 、 的值：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
七年级
八年级
（3）学校准备在这两个年级中选一个年级参加市级诗词比赛，你建议学校选哪个年级参加最好？说说你的理由.
【答案】（1）20
（2）解：由七年级成绩统计图可知， ，
八年级参加的总人数和七年级一样多，八年级参加的人数是： ，
，
B级的人数最多，故 ，
综上： ， ，
（3）解：选择八年级参加，
理由：由表格可知，两个年级的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，并且八年级的方差小于七年级，学生成绩发挥比较稳定，故答案为：八年级.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）此次比赛八年级成绩在 分及其以上的人数是： （人），
故答案是： ；
【分析】（1）由条形统计图可得七年级的参赛人数，即可得八年级的参赛人数，由扇形统计图可得八年级成绩在 分及其以上的百分比为1-20％，即可得人数；
（2）根据中位数、平均数、众数的定义可分别填写；
（3）根据平均数、中位数、方差分析及可.
18．在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6， c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
【答案】（1）解： 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，b= =8
（2）解： 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9，c= =41
（3）解： 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15，a= =20
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】本题较简单，考查直角三角形中，已知两直角边的长，利用勾股定理求出斜边；或者是已知一直角边和斜边，利用勾股定理求出另一直角边.
19．如图，在△ABC中，，过AB上一点D作交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）当点D为AB中点时，四边形ADEF是什么特殊的平行四边形？在备用图中画出图形，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴
∵，
∴
∴
∴四边形ADEF是平行四边形
（2）解：四边形ADEF是菱形，如图，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
由（1）知四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由平行线的性质得，由可得，根据平行线的判定可证AD∥EF，根据平行四边形的判定定理即证；
（2）四边形ADEF是菱形，理由：根据等腰三角形及平行线的性质可推出∠B=∠C=∠DEB，利用等角对等边可得BD=DE，由DB=DA可得DA=DE，结合（1）结论，根据菱形的判定定理即证.
20．如图，△ABC中，交AC于P，∠ACB，∠ACD的平分线分别交MN于E、F．
（1）求证：；
（2）当MN与AC的交点P在AC的什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）
【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∵CE，CF分别平分∠ACB，∠ACD，
∴，，
∴，，
∴，，
即；
（2）解：当点P是AC的中点时，四边形AECF是矩形，
理由如下：∵点P是AC的中点，
∴，
∴四边形AFCF是平行四边形，
∵，，
∴∠PCE+∠PCF=90°，
即：∠ECF=90°，
∴四边形AFCF是矩形；
（3）解：当△ABC是直角三角形，，四边形AECF是正方形．理由如下：
∵∠ACB=90° ，
又∵CE平分∠ACB ，
∴∠BCE＝45°，
∵∠PEC＝∠BCE，
∴∠PEC＝45° ，
同理可得：∠PFC＝45°，
∴∠PEC＝∠PFC，
∴EC＝FC，
由（2）可得：四边形AECF是矩形，
∴四边形AECF是正方形．
【知识点】平行线的性质；矩形的判定；正方形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先求出 ，， 再求出 ，， 最后证明即可；
（2）先求出四边形AFCF是平行四边形， 再求出 ∠ECF=90°， 最后证明即可；
（3）利用正方形的判定fang'fa'z
21．计算
（1）计算：.
（2）先化简，再从，0，1中选择合适的值代入求值.
【答案】（1）解：
（2）解：
分式有意义，
∴且，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先进行二次根式的化简，再进行二次根式的除法运算，然后合并同类二次根式，即可求出结果；
（2）先对括号内的分式进行通分，再将各分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，则可约分将分式化简，结合分式的有意义的条件，取值进行计算，即可解答.
22．在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，点E是BD上的一点，∠AEB=∠BDC.
（1）如图1，求证：AE=CD；
（2）如图2， AFCE的顶点F在BD上，若OF=DE.
①求证：四边形AFCE是矩形；
②求的值.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是□，
∴AB∥CD
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠AEB=∠BDC
∴∠ABD=∠AEB
∴AE=CD
（2）解：①∵四边形ABCD是□，
∴OB=OD，AO=CO，∴AE=CF，AE∥CF
∴∠AEB=∠CFE，
∵∠AEB=∠BDC，
∴∠CFE=∠EDC
由（1）AE=CD，
∴CF=CD
在△COF和△CED中，
∴△COF≌△CED，
∴∠ACF=∠DCE，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，即∠ACE+∠ECD=90°，
∴∠ACE+∠ACF=90°，即∠ECF=90°，
∵四边形ABCD是□，
∴四边形AFCE是矩形
②∵四边形ABCD是矩形，
∴OE=OF，OA=OC，∵OF=DE，则OE=DE=CE.
设CE=x，则AC=2x，在Rt△AEC中，，∴
在Rt△ACD中，根据勾股定理得，
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，得到AB∥CD，进而得到内错角相等，根据∠AEB=∠BDC和等边对等角可以得到AE=CD；
（2） ① 由四边形AFCE是平行四边形，得到AE∥FC，可得∠AEB=∠CFE，结合∠AEB=∠BDC，得到∠CFE=∠EDC，进而证明△COF≌△CED，推出∠ACF=∠DCE，结合AC⊥CD，通过等量代换，证明四边形AFCE是矩形；
（3）由（2）得，四边形ABCD是矩形，结合OF=DE，可得到OE=DE=CE，先设CE=x，通过勾股定理求出，，即可求出答案.
23．如图，等边的边长是分别为的中点，延长至点，使，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
，
，
∴DE=CF，
，
四边形DEFC是平行四边形；
（2）解：四边形DEFC是平行四边形，
为AB的中点，等边三角形△ABC的边长为2，
，BD=1，
．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理得DE∥BC，且DE=BC，结合已知得DE=CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的对边相等得DC=EF，由等边三角形的三线合一得CD⊥AB，且BD=1，在Rt△BDC中，利用勾股定理算出DC的长度，可得答案.
24．已知：在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于、两点，直线经过点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，点为直线上的一个动点，若的面积等于时，请求出点的坐标；
（3）如图，将沿着轴平移，平移过程中的记为请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：设直线的解析式，
直线：与轴，轴分别交于、两点，
令，则，解得，；令，则
，，
设直线的解析式为
直线经过点，与轴交于点，
，
，
直线的解析式：；
（2）解：∵点，，
∴
设点的横坐标为，
，
或．
或；
（3）存在，点的坐标为，，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的判定与性质；平移的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】（3）解： 设将 沿着 轴平移 个单位长度得到 ，
，
， ，
设 点坐标为 ，
当 为以 、 、 、 为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当 时，即 ，
此时 ，即点 在 轴上，
且 ，
点 与点 重合，即 ．
当 时，
， ，
，
解得 ，
此时 ，即点 在 轴上，
且 ，
．
当 为以 、 、 、 为顶点的菱形对角线时， ，即点 在 的垂直平分线上，且 ， 关于 对称，
当 向左移动， ， ， ，
，
解得 或 舍 ，
当 向右移动时， ， ， ，
，
解得 舍 或 舍 ，
，
．
综上所述，存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，点 的坐标为 ， ， ．
【分析】（1）先根据一次函数的性质即可得到点A和点B的坐标，进而根据待定系数法求一次函数即可求解；
（2）先根据题意得到BC，进而设点的横坐标为，再根据三角形的面积公式结合题意即可求解；
（3）设将 沿着 轴平移 个单位长度得到 ，进而根据平移的性质结合题意得到 ， ，设 点坐标为 ，从而进行分类讨论： 当 为以 、 、 、 为顶点的菱形边长时，有两种情况； 当 为以 、 、 、 为顶点的菱形对角线时， ，即点 在 的垂直平分线上，且 ， 关于 对称，再根据勾股定理结合题意即可求解。
25．如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：△BDF是等腰三角形．
（2）如图②，过点D作DG//BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
【答案】（1）证明：由折叠性质可得，∠DBC＝∠DBE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴∠DBE＝∠ADB，
∴BF＝DF，
∴△BDF是等腰三角形；
（2）解：①四边形BFDG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，即FD//BG，
又∵DG//BF，
∴四边形BFDG是平行四边形，
又∵DF＝BF，
∴四边形BFDG是菱形，
②∵在Rt△ADB中，AB＝6，AD＝8，
，
∵由①可知四边形BFDG是菱形，
∴GF⊥BD，FG＝2FO，OB＝OD，
∴BO＝5，
设DF＝BF＝x，则AF=AD-DF=8-x，
在Rt△ABF中，
，
即
解得
即，
菱形的面积，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的判定方法求解即可；
（2）①先由四边形ABCD是矩形，证出四边形BFDG是平行四边形，由DF＝BF，即可证出四边形BFDG是菱形；
②在Rt△ADB中，AB＝6，AD＝8，利用勾股定理得出BD的值，由①可知四边形BFDG是菱形，得出BO的值，设DF＝BF＝x，则AF=AD-DF=8-x，利用勾股定理逆定理列出方程求出x的值，再利用菱形的面积求解即可。
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