19.2平行四边形 解答题专题提升训练(含答案)沪科版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 19.2平行四边形 解答题专题提升训练(含答案)沪科版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 269.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-27 07:02:39 | ||
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文档简介
沪科版八年级数学下册《19.2平行四边形》解答题专题提升训练
1．如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF．
求证：（1）△ADE≌△BCF；
（2）四边形DECF是平行四边形．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△DOF≌△BOE．
3．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
4．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
6．如图，点E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）若AD的长为2，求CF的长．
（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
7．如图，在 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝BF，直线EF与BA、DC的延长线分别交于点G，H．求证：
（1）△DEH≌△BFG；
（2）AG＝CH．
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE．
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．
9．如图，在 ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．
10．如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM＝FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．
11．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
12．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ABCD的周长．
13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°．
（1）求证：AC∥DE；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判断四边形ADEF的形状，并说明理由．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，求证：
（1）EF＝CF；
（2）∠DFE＝3∠AEF．
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠B、∠C的平分线交于P，且分别与AD交于E、F，
（1）求证：△BPC为直角三角形；
（2）若BC＝16，CD＝3，PE＝8，求△PEF的面积．
16．在 ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中说明CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求∠BDG的度数．
17．如图， ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：AB﹣BE＝CF．
18．已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF＝DE，AH＝CG，连接FH、HE、EG、FG．
（1）求证：FG＝EH．
（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG∥AB，∠ACD＝68°，∠GFH＝35°，求∠GHF的度数．
19．如图，在 ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE．
（1）求证△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．
20．在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．
（1）若∠BCN＝60°，AE＝5，求△ABE的面积；
（2）若MA＝MN，MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．
参考答案
1．证明：（1）∵AC＝BD，
∴AC﹣CD＝BD﹣CD，
即AD＝BC，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠B，
在△ADE与△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS）；
（2）由（1）得：△ADE≌△BCF，
∴DE＝CF，∠ADE＝∠BCF，
∴∠EDC＝∠FCD，
∴DE∥CF，
∴四边形DECF是平行四边形．
2．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠2；
（2）∵点O是BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（AAS）．
3．解：（1）添加条件为：AE＝CF，
故答案为：AE＝CF；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
4．（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
5．（1）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝50°，
∴∠EAO＝40°，
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAO＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝40°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF．
6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD＝2；
（2）∵∠BAF＝90°，
添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．
7．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D，AB＝CD，
∴∠G＝∠H，
∵∠D＝∠B，∠H＝∠G，DE＝BF，
∴△DEH≌△BFG（AAS）；
（2）∵△DEH≌△BFG，
∴GB＝HD，
又∵AB＝CD，
∴GB﹣AB＝HD﹣CD，
∴AG＝CH．
8．证明：（1）∵AB∥CD，∠B＝45°
∴∠C+∠B＝180°
∴∠C＝135°
∵DE＝DA，AD⊥CD
∴∠E＝45°
∵∠E+∠C＝180°
∴AE∥BC，且AB∥CD
∴四边形ABCE是平行四边形
∴AE＝BC
（2）∵四边形ABCE是平行四边形
∴AB＝CE＝3
∴AD＝DE＝AB﹣CD＝2
∴四边形ABCE的面积＝3×2＝6
9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM＝BN，
∵CD＝AB，CD∥AB，
∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，
∵∠CEM＝∠AFN＝90°，
∴△CEM≌△AFN，
∴FN＝EM＝5，
在Rt△AFN中，AN＝＝＝13．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN＝∠CEM，
∵FN＝EM，AF＝CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）．
（2）解：∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF＝∠ECM，
∵∠CMF＝∠CEM+∠ECM，
∴107°＝72°+∠ECM，
∴∠ECM＝35°，
∴∠NAF＝35°．
11．（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C，
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，
∴∠F＝∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝BD＝，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝BF＝1，
∴DM＝3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF＝＝，
即D，F两点间的距离为．
12．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE＝OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE＝BC+BE+AE＝BC+AB＝10，
∴ ABCD的周长＝2（BC+AB）＝20．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵∠EDC＝∠CAB，
∴∠EDC＝∠DCA，
∴DE∥AC．
（2）解：结论：四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵AC∥DE，
∴∠EDC＝∠ACD
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴∠EDC＝∠FAB，
∵BF⊥AC，∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝90°，
∴△EDC≌△FAB（AAS），
∴DE＝AF，
∵DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
14．解：（1）证明：延长CF交BA的延长线于G，延长EF交CD的延长线于R．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵F是AD的中点，
∴CF＝GF，EF＝ER，
∴四边形EGRC是平行四边形，
∵CE⊥AB，
∴∠CEG＝90°，
∴四边形EGRC是矩形，
∴CG＝ER，
∴EF＝CG＝CF＝GF，
即EF＝CF；
（2）∵EF＝GF，
∴∠G＝∠FEG，
∵AD∥BC，CF＝GF，
∴AG＝AB，
∴AF＝AG，
∴∠G＝∠AFG＝∠DFC，
∵∠CFE＝∠G+∠AEF，
∴∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝3∠AEF．
15．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠B、∠C的平分线交于P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，
∴∠PBC+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD ）＝90°，
∴∠BPC＝90°，即△BPC为直角三角形；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠CBE＝∠BEA，∠BCF＝∠CFD，
∴∠ABE＝∠BEA，∠DCF＝∠CFD，
∴AB＝AE＝3，CD＝DF＝3，
∴EF＝10，
∴Rt△PEF中，PE＝8，EF＝10，
∴PF＝6，
∴△PEF的面积＝24．
16．（1）证明：如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，
∴∠CEF＝∠F．
∴CE＝CF．
（2）解：如图2，
连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝45°，
∵∠DCB＝90°，DF∥AB，
∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC，
∴BE＝DC，
∵∠CEF＝∠GCF＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°
在△BEG与△DCG中，
∵，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG＝DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA＝90°，
又∵∠DGC＝∠BGA，
∴∠BGE+∠DGE＝90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG＝45°．
17．解：（1）∵CG⊥AB，BG＝1，，
∴．
∵∠ABF＝45°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴EG＝BG＝1，
∴EC＝CG﹣EG＝3﹣1＝2，
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABF＝45°，CG⊥AB，
∴∠CFE＝∠ABF＝45°，∠FCE＝∠BGE＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝＝2；
（2）证明：过E作EH⊥BE交AB于H，
∵∠ABF＝45°，∠BEH＝90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴，BE＝HE，
∴∠BHE＝45°，
∴∠AHE＝180°﹣∠BHE＝180°﹣45°＝135°，
由（1）知，△BGE和△ECF都是等腰直角三角形，
∴∠BEG＝45°，CE＝CF，
∴∠BEC＝180°﹣∠BEG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AHE＝∠CEB，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝90°+∠EAB，
由（1）知，∠FCE＝90°，
∴∠BCD＝∠FCE+∠BCG＝90°+∠BCG，
∵在平行四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，
∴90°+∠EAB＝90°+∠BCG，
∴∠EAB＝∠BCG，
即∠EAH＝∠BCE，
在△EAH和△BCE中，
∴△EAH≌△BCE（AAS），
∴AH＝CE＝CF，
∴AB﹣BE＝AB﹣BH＝AH＝CF，
即AB﹣BE＝CF．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵DE＝BF，
∴CF＝AE，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（SAS），
∴FG＝EH；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝68°，
∵FH平分∠CFG，∠GFH＝35°，
∴∠CFG＝70°，
∵AB∥FG，
∴∠B＝∠CFG＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣68°﹣70°＝42°，
△CFH中，∠GHF＝∠CFH+∠ACB＝35°+42°＝77°．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，
∵BC＝BF，CD＝DE，
∴BF＝AD，AB＝DE，
∵∠ADE+∠ADC+∠EDC＝360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，
∴∠ADE＝∠ABF，
∴△ABF≌△EDA．
（2）证明：延长FB交AD于H．
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∵△ABF≌△EDA，
∴∠EAD＝∠AFB，
∵∠EAD+∠FAH＝90°，
∴∠FAH+∠AFB＝90°，
∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD，
∵AD∥BC，
∴FB⊥BC．
20．（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCN＝60°，
又AC⊥CD，
∴AB⊥AC，
∴∠B＝30°，
在Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴BC＝2AE＝10，
∴AC＝BC＝5，
∴，
∴；
（2）证明：延长CN至G，使CG＝AC，
由（1）知∠ACM＝∠GCM，
又MC＝MC，
∴△ACM≌△GCM，
∴AM＝GM，∠MAC＝∠G，
又AM＝MN，
∴GM＝MN，
∴∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC，
又由（1）可得EC＝EA，
∴∠EAC＝∠ACE＝∠NCM，
∵∠MNG＝∠NCM+∠NMC，
∴∠NMC＝∠MAE，
在MC上截取MF＝AE，
∴△MAE≌△NMF，
∴ME＝FN，
又MC＝ME+CE＝MF+CF，MC＝EA+CN，
∵EA＝MF＝CE，
∴ME＝CN＝FN＝CF，
∴△NCF为等边三角形，
∴∠MCN＝60°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴，
∵AE＝BC，
∴AB＝AE．
1．如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF．
求证：（1）△ADE≌△BCF；
（2）四边形DECF是平行四边形．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△DOF≌△BOE．
3．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
4．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
6．如图，点E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）若AD的长为2，求CF的长．
（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
7．如图，在 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝BF，直线EF与BA、DC的延长线分别交于点G，H．求证：
（1）△DEH≌△BFG；
（2）AG＝CH．
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE．
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．
9．如图，在 ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．
10．如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM＝FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．
11．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
12．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ABCD的周长．
13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°．
（1）求证：AC∥DE；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判断四边形ADEF的形状，并说明理由．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，求证：
（1）EF＝CF；
（2）∠DFE＝3∠AEF．
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠B、∠C的平分线交于P，且分别与AD交于E、F，
（1）求证：△BPC为直角三角形；
（2）若BC＝16，CD＝3，PE＝8，求△PEF的面积．
16．在 ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中说明CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求∠BDG的度数．
17．如图， ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：AB﹣BE＝CF．
18．已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF＝DE，AH＝CG，连接FH、HE、EG、FG．
（1）求证：FG＝EH．
（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG∥AB，∠ACD＝68°，∠GFH＝35°，求∠GHF的度数．
19．如图，在 ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE．
（1）求证△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．
20．在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．
（1）若∠BCN＝60°，AE＝5，求△ABE的面积；
（2）若MA＝MN，MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．
参考答案
1．证明：（1）∵AC＝BD，
∴AC﹣CD＝BD﹣CD，
即AD＝BC，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠B，
在△ADE与△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS）；
（2）由（1）得：△ADE≌△BCF，
∴DE＝CF，∠ADE＝∠BCF，
∴∠EDC＝∠FCD，
∴DE∥CF，
∴四边形DECF是平行四边形．
2．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠2；
（2）∵点O是BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（AAS）．
3．解：（1）添加条件为：AE＝CF，
故答案为：AE＝CF；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
4．（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
5．（1）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝50°，
∴∠EAO＝40°，
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAO＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝40°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF．
6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD＝2；
（2）∵∠BAF＝90°，
添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．
7．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D，AB＝CD，
∴∠G＝∠H，
∵∠D＝∠B，∠H＝∠G，DE＝BF，
∴△DEH≌△BFG（AAS）；
（2）∵△DEH≌△BFG，
∴GB＝HD，
又∵AB＝CD，
∴GB﹣AB＝HD﹣CD，
∴AG＝CH．
8．证明：（1）∵AB∥CD，∠B＝45°
∴∠C+∠B＝180°
∴∠C＝135°
∵DE＝DA，AD⊥CD
∴∠E＝45°
∵∠E+∠C＝180°
∴AE∥BC，且AB∥CD
∴四边形ABCE是平行四边形
∴AE＝BC
（2）∵四边形ABCE是平行四边形
∴AB＝CE＝3
∴AD＝DE＝AB﹣CD＝2
∴四边形ABCE的面积＝3×2＝6
9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM＝BN，
∵CD＝AB，CD∥AB，
∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，
∵∠CEM＝∠AFN＝90°，
∴△CEM≌△AFN，
∴FN＝EM＝5，
在Rt△AFN中，AN＝＝＝13．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN＝∠CEM，
∵FN＝EM，AF＝CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）．
（2）解：∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF＝∠ECM，
∵∠CMF＝∠CEM+∠ECM，
∴107°＝72°+∠ECM，
∴∠ECM＝35°，
∴∠NAF＝35°．
11．（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C，
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，
∴∠F＝∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝BD＝，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝BF＝1，
∴DM＝3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF＝＝，
即D，F两点间的距离为．
12．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE＝OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE＝BC+BE+AE＝BC+AB＝10，
∴ ABCD的周长＝2（BC+AB）＝20．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵∠EDC＝∠CAB，
∴∠EDC＝∠DCA，
∴DE∥AC．
（2）解：结论：四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵AC∥DE，
∴∠EDC＝∠ACD
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴∠EDC＝∠FAB，
∵BF⊥AC，∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝90°，
∴△EDC≌△FAB（AAS），
∴DE＝AF，
∵DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
14．解：（1）证明：延长CF交BA的延长线于G，延长EF交CD的延长线于R．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵F是AD的中点，
∴CF＝GF，EF＝ER，
∴四边形EGRC是平行四边形，
∵CE⊥AB，
∴∠CEG＝90°，
∴四边形EGRC是矩形，
∴CG＝ER，
∴EF＝CG＝CF＝GF，
即EF＝CF；
（2）∵EF＝GF，
∴∠G＝∠FEG，
∵AD∥BC，CF＝GF，
∴AG＝AB，
∴AF＝AG，
∴∠G＝∠AFG＝∠DFC，
∵∠CFE＝∠G+∠AEF，
∴∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝3∠AEF．
15．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠B、∠C的平分线交于P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，
∴∠PBC+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD ）＝90°，
∴∠BPC＝90°，即△BPC为直角三角形；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠CBE＝∠BEA，∠BCF＝∠CFD，
∴∠ABE＝∠BEA，∠DCF＝∠CFD，
∴AB＝AE＝3，CD＝DF＝3，
∴EF＝10，
∴Rt△PEF中，PE＝8，EF＝10，
∴PF＝6，
∴△PEF的面积＝24．
16．（1）证明：如图1，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，
∴∠CEF＝∠F．
∴CE＝CF．
（2）解：如图2，
连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝45°，
∵∠DCB＝90°，DF∥AB，
∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC，
∴BE＝DC，
∵∠CEF＝∠GCF＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°
在△BEG与△DCG中，
∵，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG＝DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA＝90°，
又∵∠DGC＝∠BGA，
∴∠BGE+∠DGE＝90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG＝45°．
17．解：（1）∵CG⊥AB，BG＝1，，
∴．
∵∠ABF＝45°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴EG＝BG＝1，
∴EC＝CG﹣EG＝3﹣1＝2，
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABF＝45°，CG⊥AB，
∴∠CFE＝∠ABF＝45°，∠FCE＝∠BGE＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝＝2；
（2）证明：过E作EH⊥BE交AB于H，
∵∠ABF＝45°，∠BEH＝90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴，BE＝HE，
∴∠BHE＝45°，
∴∠AHE＝180°﹣∠BHE＝180°﹣45°＝135°，
由（1）知，△BGE和△ECF都是等腰直角三角形，
∴∠BEG＝45°，CE＝CF，
∴∠BEC＝180°﹣∠BEG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AHE＝∠CEB，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝90°+∠EAB，
由（1）知，∠FCE＝90°，
∴∠BCD＝∠FCE+∠BCG＝90°+∠BCG，
∵在平行四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，
∴90°+∠EAB＝90°+∠BCG，
∴∠EAB＝∠BCG，
即∠EAH＝∠BCE，
在△EAH和△BCE中，
∴△EAH≌△BCE（AAS），
∴AH＝CE＝CF，
∴AB﹣BE＝AB﹣BH＝AH＝CF，
即AB﹣BE＝CF．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵DE＝BF，
∴CF＝AE，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（SAS），
∴FG＝EH；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝68°，
∵FH平分∠CFG，∠GFH＝35°，
∴∠CFG＝70°，
∵AB∥FG，
∴∠B＝∠CFG＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣68°﹣70°＝42°，
△CFH中，∠GHF＝∠CFH+∠ACB＝35°+42°＝77°．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，
∵BC＝BF，CD＝DE，
∴BF＝AD，AB＝DE，
∵∠ADE+∠ADC+∠EDC＝360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，
∴∠ADE＝∠ABF，
∴△ABF≌△EDA．
（2）证明：延长FB交AD于H．
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∵△ABF≌△EDA，
∴∠EAD＝∠AFB，
∵∠EAD+∠FAH＝90°，
∴∠FAH+∠AFB＝90°，
∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD，
∵AD∥BC，
∴FB⊥BC．
20．（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCN＝60°，
又AC⊥CD，
∴AB⊥AC，
∴∠B＝30°，
在Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴BC＝2AE＝10，
∴AC＝BC＝5，
∴，
∴；
（2）证明：延长CN至G，使CG＝AC，
由（1）知∠ACM＝∠GCM，
又MC＝MC，
∴△ACM≌△GCM，
∴AM＝GM，∠MAC＝∠G，
又AM＝MN，
∴GM＝MN，
∴∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC，
又由（1）可得EC＝EA，
∴∠EAC＝∠ACE＝∠NCM，
∵∠MNG＝∠NCM+∠NMC，
∴∠NMC＝∠MAE，
在MC上截取MF＝AE，
∴△MAE≌△NMF，
∴ME＝FN，
又MC＝ME+CE＝MF+CF，MC＝EA+CN，
∵EA＝MF＝CE，
∴ME＝CN＝FN＝CF，
∴△NCF为等边三角形，
∴∠MCN＝60°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴，
∵AE＝BC，
∴AB＝AE．