北师大版数学九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 解答题（含答案）

第一章 《直角三角形的边角关系》解答题
第一课时
一、解答题
1．（1）；
（2）．
2．已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋＝0.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求(1＋sinA)2－2－(3＋tanC)0的值．
3．在中，，求的长．
4．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值．
5．如图．已知中，，．
(1).若，求的长度；
(2).若，求的长度．
6．如图，在中，已知，，．
(1)用没有刻度的直尺和圆规过点作交的延长线于点保留作图痕迹，不写作法
(2)求的面积．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tanB＝
(1)求AD和AB的长；
(2)求∠B的正弦、余弦值．
8．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，，求AC，BC的长．
9．已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，．求：
(1)线段DC的长；
(2)tan∠EDC的值．
10．如图，甲 乙两楼相距，甲楼高，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为，乙楼有多高？（结果精确到）
11．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
12．如图，为测量山高AB，一架无人机在山脚（C处）的正上方（D处），测得山顶（B处）的俯角为30°，若保持飞行高度不变继续行驶2km到达E处，此时测得B，C两处的俯角为45°，60°．
(1)求无人机的飞行高度；
(2)求山高AB．
13．如图，在中，，交于点，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)的角平分线交于点，当，时，求的长．
14．如图，在对角线BD的延长线上取点E、F，使．连接AE、AF、CE、CF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若，，，，求：的面积．
15．已知点E在△ABC内，，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．
(1)当时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：；
(2)当时（如图2），②的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，求出的比值．
第二课时
一、解答题
1．用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01)：
(1)cos63°17′； (2)tan27.35°；
(3)sin39°57′6″；(4)sin18°＋cos55°－tan59°
2．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点，底座米，底座与支架所成的角，点在支架上，篮板底部支架.于点，已知米，米，米.
(1)求篮板底部支架与支架所成的的度数．
(2)求篮板底部点到地面的距离，（精确到0.1米）（参考数据：，）
3．如图，已知在锐角三角形ABC中，．
(1)求点C到直线AB的距离；
(2)将绕点A旋转，点B落在点D处，点C落在点E处．
①当点D在边BC上时，联结CE，求的正弦值；
②当时，求点B与点E的距离．
4．某数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=，tanD=tan15°==．
思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）==．
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
(1)类比：求出tan75°的值；
(2)应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度．
5．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为．
(1)如图①，当时，求点的坐标；
(2)如图②，当点落在轴的正半轴上时，与交于点求点的坐标；
(3)将矩形旋转一周，求边扫过的面积S（直接写出结果即可）．
6．在中，，，点D，E在线段上，点F在的延长线上，连接CD，EF，，．
(1)如图1，当时，线段的数量关系是________；
(2)如图2，当时，请写出线段的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，当，点E是中点时，请直接写出的面积．
7．如图1，和都是等腰三角形，．
(1)观察发现
请直接写出：的值是______，的值是______；
(2)问题探究
如图2，固定不动，将绕着点O自由旋转，旋转角为，连接BN和AM．的值改变吗？请说明理由；
8．综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在平行四边形ABCD中，，垂足为E，点F为边CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；
(1)独立思考：请解答老师提出的问题；
(2)实践探究：希望小组受此问题的启发，将平行四边形ABCD沿着BF（点F为CD的中点）所在直线折叠，如图2，点C的对应点为，连接并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
(3)问题解决：智慧小组突发奇想，将平行四边形ABCD沿过点B的直线折叠，如图3，点A的对应点为，使于点H，折痕交AD于点M，连接，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此ABCD的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．
9．问题发现
(1)对于任意正实数a，b皆满足 2（请在横线上填写“>”或“＜”，“≥”，“≤”，“=”
问题探索
(2)如图1，已知∠MAN=300，点P为内部一点，为等边三角形，点F落在上，点E落在上，过点P作于点C，于点D，设的长为x，的面积为y，若，求y与x之间的函数关系式；
问题解决
(3)如图2，在五边形中，∠B=∠C=90 ，∠MAD=300 ,BC=6,AM=AB=2，点E在边上，点F在边上，∠EDF=600，连接，请问的面积是否存在最小值？若存在，求这个最小值；若不存在，试说明理由．
第一课时答案
一、解答题
1．解：（1）
（2）
．
2．（1）∵|1-tanA）2+|sinB-|=0，
∴tanA=1，sinB=，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，
∴△ABC是锐角三角形；
（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，
∴原式=（1+）2-2-1
=．
3.解： ，
4.解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴
即
解得：BD＝12；
（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝
5.（1）
解：中，，
，，
，
，
；
（2）
解：在中，，
，
，，
，
．
6.（1）
解：如图，即为所作的图形；
（2）
在中，，，
，
的面积．
7.（1）
解：∵点D是BC边的中点，CD＝2，
∴BC＝4．
在Rt△ABC中，
∵tanB＝，
∴AC＝3．
在Rt△ADC中，
AD＝，
AB＝．
（2）
解：在Rt△ABC中，
sinB＝，cosB＝．
8.解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
设CD＝x，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，
，
在Rt△CDB中，∠B＝45°，
，
∵AD+BD＝AB，
，
∴x＝2，
∴CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，，
∴AC的长为4，BC的长为．
9.（1）
解：在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴．
∵AD＝12，
∴．
在Rt△ABD中，∵，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）
解：在Rt△ADC中，E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴＝＝．
10.解：由题意得：
∠CAE＝30°，AE＝BD＝30m，
在Rt△ACE中，CE＝AE tan∠CAE＝10m，
故可得乙楼的高度＝CE＋ED＝CE＋AB＝（40＋10）m≈．
11.（1）
解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB==15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）
解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= （m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
12.(1)
在Rt△DCE中，∠DEC＝60°，DE＝2km，
∴DC＝DEtan60°＝22（km），
∴无人机的飞行高度为2km；
(2)
延长AB，DE，交于点F，
则AF⊥DF，DC＝AF＝2km，
设BF＝xkm，
在Rt△DFB中，∠FDB＝30°，
∴DFxkm，
在Rt△EFB中，∠FEB＝45°，
∴EFxkm，
∵DF﹣EF＝DE，
∴x﹣x＝2，
∴x1，
∴BF＝（1）km，
∴AB＝AF﹣BF
＝2（1）
＝（1）km，
∴山高AB为（1）km．
13．（1）
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形为矩形；
（2）
解：过点作于点，如图所示：
四边形是矩形，
，
，
为的角平分线，
，
，
，
，，
，
，
，
∴，
设，则，
在中，，
，
，
解得：，
．
14.（1）
证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
解得或（舍去），
，
．
15.（1）
解：（1）①判断：△ABC是等边三角形．理由如下：
∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等边三角形．
②△EBD也是等边三角形，理由如下：
如图1，连接DC，
则AB＝BC，BE＝BD，∠ABE＝60°－∠EBC＝∠CBD
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB＝150°，
∴∠EDC＝150°－∠BDE＝90°，
∴在Rt△EDC中，．
（2）
解：如图2：连接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD
∴，即
又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB=150°，
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°，∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°
设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=
在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=2
∴，即．
第二课时答案
一、解答题
1．（1）cos63°17′≈cos63.28°≈0.45；
（2）tan27.35°≈0.52；
（3）sin39°57′≈sin39.95°≈0.64.
（4）sin18°＋cos55°－tan59°≈0.3090+0.5736-1.6643≈－0.78.
2．．
（1）
∵EF⊥EH，
∴∠HEF=90°，
在Rt△HEF中，HF=米，HE=米，
∴
∴∠FHE=45°，
∴篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）
延长FE交直线BC与点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，
∴∠AGM=∠AGF=90°，
∵ ，
∴FM⊥BC，
∴∠BMG=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABMG是矩形，
∴AB=GM，
∵，
∴∠FHE=∠FAG=45°，
∴（米），（米），
∴EG=FG-EF=（米），
在Rt△ABC中，（米），
∴GM=AB=（米），
∴EM=EG+GM=（米），
∴篮板底部点E到地面的距离为2.2米．
3．（1）
解：过点A作AM⊥BC于点M，如图1，
∴ ∠AMB＝∠AMC＝90°，
在Rt△ABM中，∠B＝60°，AB＝5，
∴ AM＝，，
在Rt△ACM中，AC＝7，由勾股定理得，
CM＝，
∴，
设点C到直线AB的距离为h，
由，得
，
即点C到直线AB的距离为4；
（2）
解：①将△ABC绕点A旋转，点B落在点D处，点C落在点E处，如图2，
由旋转的性质可知：△ADE≌△ABC，
∴AD＝AB＝5，∠ADE＝∠B＝60°，DE＝BC＝8，
当点D落在边BC上时，∠ADB＝∠B＝60°，
∴∠CDE＝180°－∠ADE－∠ADB＝60°，
∵AM⊥BD，
∴DM＝BM＝，
∴CD＝BC－BM－DM＝3，
过点C作CN⊥DE于点N，
则∠CND＝∠CNE＝90°，
在Rt△CDN中，
CN＝，，
∴ ，
在Rt△CEN中，由勾股定理得，
，
∴，
即∠CED的正弦值为；
②当ADBC时，过点E作EP⊥BC于点P,交AD于点Q，则∠EQD＝∠EPC＝∠EPB＝90°＝∠AMP，
∴四边形AMPQ是矩形，
∴PQ＝AM＝，PM＝AQ，
在Rt△DEQ中，
，，
∴PM＝AQ＝AD－DQ＝1，
若点D在点A的右侧，如图3，
则EP＝EQ＋PQ＝，
∴ BP＝BM＋PM＝，
在Rt△BPE中，由勾股定理得，
BE＝；
若点D在点A的左侧，如图4，
则EP＝EQ－PQ＝，
∴ BP＝BM－PM＝，
在Rt△BPE中，由勾股定理得，
BE＝，
综上所述，点B到点E的距离为或3．
4．（1）
解：方法一：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=，tan∠DAC=tan75°=．
方法二：根据tan（α±β）=．假设α=30°，β=45°代入差角正切公式：tan75°=tan（30°+45°）=．
（2）
解：在Rt△ABC中，BC=30，AC=60，
∴
∴∠CAB=30°
∵∠CAD=45°
∴∠DAB=75°
在Rt△ABD中，
∴
∴
∴CD的高度为．
5．（1）
∵点A（，0），点C（0，1），
∴OA=，OC=1，
∵四边形OABC是矩形，
∴B（，1），
过D作DG⊥轴于G，
在Rt△ODG中，∠DOG=30，
∴，，
∵，
∴，，
∴点D的坐标为：；
（2）
在Rt△EDO中，ED=1，OD=，
∴OE==2，
∴∠EOD=30，
在Rt△CMO中，∠COM=30，CO=1，
∴，
∴点M的坐标为：；
（3）
根据题意知，边AB扫过的面是一个同心圆环，
，，
．
6．(1)
解：过点F作交AB的延长线于点T．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
(2)
解：AC－BE=2BF．
过点D作DG⊥AB交AC于点G，如下图．
∵∠ACB=90°，∠A=30 ，
∴∠ABC=∠AGD=60 ， ∠CGD=∠EBF=120 ，
∴．
∵，
∴,
∴GD=BF．
∵∠ACD=∠BEF，∠CGD=∠EBF，
∴△CGD≌△EBF，
∴BE=CG，
∴AC－CG=AG，
∴AC－BE=AG．
∵∠A=30 ，∠GDA=90 ，
∴AG=2GD，
∴AC－BE=2GD，
∴AC－BE=2BF；
(3)
解：作交AB的延长线于点K，过点C作于点H．
∵，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
7．(1)
如图1中，过点A作AH⊥OB于H，过点M作MT垂直ON于T．
∵AO=AB，AH⊥OB，
∴OH=HB，
∵∠O=30°，
∴，
∴，
同法可证，，
∴，
故答案为：
(2)
的值不变，理由如下：
由（1）可知：，
∵∠AOB=∠NOM=30°，
∴∠AOB+∠AON=∠NOM+∠AON，
∴∠BON=∠AOM，
∴△BON∽△AOM，
∴．
8．(1)
解：如图，分别延长AD，BF相交于点P，
四边形ABCD是平行四边形，则，
∴，，
点F为边CD的中点，则，
在△PDF和△BCF中，
∴，
∴，
∴，
∴EF为直角三角形BEP斜边中线，则，
∴；
(2)
解：由折叠的性质可得：，，
点F为边CD的中点，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
四边形ABCD为平行四边形，则，，
∴四边形DGBF为平行四边形，
∴，
∴，
∴；
(3)
解：如图，过点M作ME⊥AB于E，
由折叠性质可得A′B=AB=5，∠A′=∠A，∠ABM=∠A′BM，
ABCD的面积为20，AB=5，则BH=4，
BC=，∠BHC=90°，则CH=，
∴tan∠C=2，
ABCD是平行四边形，则∠A=∠A′=∠C，
Rt△A′HN中，A′H=A′B-BH=AB-BH=1，NH=A′H tan∠A′=2，
△A′HN面积=A′H HN=1，
CD∥AB，A′B⊥CD，则A′B⊥AB，
∵∠ABM=∠A′BM，∠ABM+∠A′BM=90°，
∴∠ABM=45°，
∴△MEB是等腰直角三角形，
设AE=x，则ME=AEtan∠A=2x，BE=ME=2x，
∴AB=AE+BE=3x=5，x=，
∴ME=，
∴△A′BM面积=△ABM面积=AB ME=，
∴四边形MBHN面积=△A′BM面积-△A′HN面积=．
9．（1）
解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）
如图1，设交于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵设的长为，的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴．
∴y与x之间的函数关系式为．
（3）
的面积存在最小值，最小值是6，理由如下：
如图2，过点作于，过点作交延长线于，过点作于点，
在中，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
设，则
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴
．
当时，，
由（1）得，
所以当且仅当时，，
∴的面积存在最小值6．