2023-2024学年江苏省扬州市邗江区五校联盟高二下学期第二次联考数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省扬州市邗江区五校联盟高二下学期第二次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，且，，则( )
A. 和之间呈正线性相关关系，且和的线性相关程度强于和的线性相关程度
B. 和之间呈负线性相关关系，且和的线性相关程度强于和的线性相关程度
C. 和之间呈负线性相关关系，且和的线性相关程度弱于和的线性相关程度
D. 和之间呈正线性相关关系，且和的线性相关程度弱于和的线性相关程度
4.设随机变量服从二项分布，则( )
A. B. C. D.
5.已知法向量为的平面内有一点，则平面外点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.盒中有除颜色外完全相同的个红球和个黑球，随机地从中取出个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中取出个球，则取出的是黑球的概率为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，对任意的实数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.现将把椅子排成一排，位同学随机就座，则下列说法中正确的是( )
A. 个空位全都相邻的坐法有种
B. 个空位中只有个相邻的坐法有种
C. 个空位均不相邻的坐法有种
D. 个空位中至多有个相邻的坐法有种
11.在棱长为的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是 ( )
A.
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为
D. 存在实数、使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.小明上班的路上有个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上恰好遇到次绿灯的概率为
13.若随机变量，则有如下结论：，高二班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为，方差为，理论上说在分以上人数约为
14.设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题，为真命题．
求实数的取值集合；
设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
袋子里有大小相同但标有不同号码的个红球和个黑球，从袋子里随机取出个球．
求取出的红球数的概率分布列；
若取到每个红球得分，取到每个黑球得分，求得分不超过分的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，为线段的中点，平面平面，为线段上一点．
证明：；
当为何值时，直线 与平面夹角的正弦值为．
18.本小题分
某汽车文化自媒体公司主打对越野车越野能力的测评，为调查车友们对越野车的了解程度，随机抽取了名车友进行调查，得到如下表的数据：
女性 男性 总计
比较了解
不太了解
总计
完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为车友对越野车的了解程度与性别有关？
该公司组织名驾驶水平相当的员工在户外场地进行汽车越野活动，他们需要合作闯关，一共有两关，每次由一名员工上场，闯过第一关才能闯第二关，若闯某一关失败，则换下一名员工从失败的这一关开始闯，同一员工不重复上场，当有人闯过第二关时或者名员工都闯关失败时活动结束．若无论前面的闯关结果如何，每名员工闯过第一关的概率都为，闯过第二关的概率都为，求第三名员工闯关后活动恰好结束的概率．
附：．
19.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
若存在单调增区间，求的取值范围；
是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出的取值范围？若不存在，请说明理由．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意，关于 的不等式 恒成立，
于是得 ，解得 ，所以实数 的取值的集合 ．
因为 是 的必要不充分条件，所以 为 的真子集．
又 为非空集合，所以 ，得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
16.解：的可能取值为，，，，且服从超几何分布．
，
，
，
，
的分布列为
得分，，
，
得分不超过分的概率为．
17.解：为等边三角形，且为线段的中点，则，
又因为平面平面，平面平面，平面，
可得平面，且平面，所以．
由可知：平面，
取线段的中点，连接，则 ，，又因为，可知，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
因为为线段上一点，设，
可得，
设平面的法向量，则
令，则，可得，
由题意可得：，整理得 ，解得，
所以当，直线 与平面夹角的正弦值为．

18.解：完成列联表如下：
女性 男性 总计
比较了解
不太了解
总计
所以，
因为，所以根据小概率值的独立性检验，
可以认为车友对越野车的了解程度与性别有关．
分种情况：
前面两名员工都没有闯过第一关，
第三名员工闯过两关，其概率为．
第一名员工闯过第一关，未闯过第二关，
第二名员工未闯过第二关，
第三名员工闯过第二关，其概率为．
第一名员工未闯过第一关，
第二名员工闯过第一关，未闯过第二关，
第三名员工闯过第二关，其概率为．
因此，第三名员工闯关后活动恰好结束的概率为．
19.解：
函数，，
曲线在点处的切线斜率为，
则有，解得．
由已知，得，函数定义域为，
则，
由函数存在单调递增区间，则，即在上有解，
当时，的图像为开口向下的抛物线，
要使在上总有解，则方程至少有一个不重复正根，
而方程总有两个不相等的根时，则必定是两个不相等的正根，
故只需，即，
当时，的图象为开口向上的抛物线，在上一定有解，
综上，的取值范围是．
方程即为，
等价于方程．
设，函数定义域为，
于是原方程在区间内根的问题，转化为函数在区间内的零点问题．
，
由，则在上恒成立，
则当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，
若在内有且只有两个不相等的零点，只需
解得，
所以存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根，
此时的取值范围为．

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