2023-2024学年广西示范性高中高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年广西示范性高中高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.春暖花开，某学校组织学生春游，每个班级可以在周一到周六任选一天出游，则甲、乙两班不在同一天出游的概率为( )
A. B. C. D.
2.对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为( )
A. B. C. D.
3.已知在等差数列中，，，则公差等于( )
A. B. C. D.
4.从含有件次品的件新产品中，任意抽取件进行检验，抽出的件产品中恰好有件次品的抽法种数为( )
A. B. C. D.
5.下列导数运算错误的是( )
A. ，则 B. ，则
C. ，则 D. ，则
6.已知的二项展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
7.设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口为了解推动出口后的亩收入单位：万元情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则 若随机变量服从正态分布，
A. B. C. D.
10.已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 为递减数列 D. 的前项和为
11.已知函数，则( )
A. 的定义域为
B. 的图像在处的切线斜率为
C.
D. 有两个零点，，且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取件则取到这件产品是次品的概率为 ．
13.已知数列满足，，则 ．
14.若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
将，，，这个小球放入个不同的盒子中．
若，要放入同一个盒子中，有多少种不同的放法？
若每个盒子最多只能放个小球，有多少种不同的放法？
16.本小题分
已知函数．
求在处的切线方程；
求在区间上的最小值．
17.本小题分
为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：
多于本 少于本 合计
活动前
活动后
合计
试通过计算，判断是否有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
已知某学生计划在接下来的一年内阅读本文学名著，其中本国外名著，本国内名著，并且随机安排阅读顺序记本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量，求的数学期望．
参考公式：．
临界值表：
18.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数．
若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值；
若，，，求的单调区间．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
若，要放入同一个盒子中，根据捆绑法，可看成将个不同的小球放入个不同的盒子中，不同的放法有种．
第一种情况：个小球各自放入个不同的盒子中，共有种放法．
第二种情况：有个小球放入同一个盒子中，剩余个小球同时放入另一个盒子中，共有种放法．
第三种情况：有个小球放入同一个盒子中，剩余个小球各自放入一个盒子中，共有种放法．
故不同的放法有种．
16.解：
，，，
所以在处的切线方程为，即；
，令，得，
单调递减 单调递增
所以在区间上的最小值为．
17.解：
由表中数据可知，，
所以有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
由题意可知，的可能取值为，
则，
，
所以．
18.解：
设的公差为，则，，
解得，．
故．
由可得，
所以，
则，
，得
，
所以．

19.解：
由题意得函数的定义域为，
，
则，解得：，
所以，
令，解得：或，
当或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则当时，函数取得极小值，为，
当时，函数取得极大值，为；
，，
，，
当时，，在单调递增，
当时，，，在上单调递增，
，，在上单调递减，
，，在上单调递增，
当时，，，在上单调递增，
，，在上单调递减，
，，在上单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为．
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