人教版八年级下册数学第18章平行四边形动点问题专题练习（含答案）

人教版八年级下册数学第18章平行四边形期末动点问题压轴题
1．如图，在四边形中， ，， ，，．点从点出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P，Q运动的时间为ts．
(1)若点P和点Q同时运动了6秒，与有什么数量关系？并说明理由；
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由．
2．【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明；
(1)【思考尝试】：有同学发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
(2)【实践探究】：有同学受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点与不重合），当是等腰直角三角形，，连接可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
3．已知中，于点E，．
(1)如图1，若平分交线段于点F．
①当，时，______，______；
②如图2，若，且，试探究线段，，之间的数量关系，并证明．
(2)如图3，若点P为线段上一动点，，．连接，点Q是中点，且，当点P从A点运动到D点时，点Q的运动路径长为______．（直接写出答案）
4．如图，在矩形中，E是射线上的动点，连接，F，G分别为的中点，连接．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，当时，直接写出的长．
5．如图在中，，是边上的高，且的面积为24．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动，设点P运动的时间为t秒．

(1)求的长；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)当四边形是矩形时，求t的值；
(4)当以点A、B、C、D、P、Q中的四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出t的值．
6．点P是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线作垂线，垂足分别为点E、F．点O为的中点．
(1)如图1，当点P与点O重合时，线段和的数量关系是 ；
(2)当点P运动到如图2所示的位置时，请通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立请给予证明，如果不成立请说明理由；
(3)如图3，点P在线段的延长线上运动，当时，试探究线段之间的关系．
7．如图（1），在四边形中，，，，有动点从点出发，在线段上以的速度向点运动，有动点同时从点出发，在线段上以的速度向点运动，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动．连接，若运动时间是秒．
(1)求当四边形和四边形其中一个是平行四边形时，的取值；
(2)如图（2），取中点，中点，连接，，请求出使的时间；
(3)在（2）中，继续连接，与相交与点，如图（3）当时，请写出一个与EF有关的结论，并证明这个结论．
8．已知正方形，在边上有一动点，连接，一条与垂直的直线沿方向，从点A开始向上平移，垂足为点，交边所在直线于点．
(1)如图1所示，当直线经过正方形顶点时，则________．
(2)如图2所示，直线沿继续向上平移，连接，当，，求的最小值；
(3)如图3所示，当直线经过的中点时，与对角线交于点，连接，求的度数．
9．在中，，是边上一点，且，是的中点，是的中线．
(1)如图，连接，证明；
(2)如图，点是射线上的一个动点，将射线绕点逆时针旋转得射线，使，与射线交于点．
猜想并证明线段和线段之间的数量关系；
若，，当时，请直接写出线段的长度（用含的式子表示）．
10．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．
①求的长；
②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值．
11．已知在平行四边形中，是边的中点，是边上一动点．
(1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：是的中点；
(2)如图2，若，，求证：；
(3)如图3，若，，时，是射线上一个动点，将逆时针旋转得到，连接，求的最小值．
12．如图1，中，，，，点P、Q是边，上两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点E，F，设．
(1)直接写出　　 ；　　 ．（用含m的代数式表示）
(2)当平行四边形的面积为时，求m的值；
(3)求证：；
(4)如图2，连接，，，当与的一边平行时，求的面积．
13．点是正方形对角线上一动点，点在射线上，且，连接，为中点．
(1)如图1，当点在线段上时，连接交于点，
①试判断的形状，并说明理由；
②若正方形边长为，当点为的中点，则的长为 ．
(2)如图2，当点在线段上时，试探究线段，，的等量关系，并说明理由．
(3)若，连接，取的中点，则当点从点运动到点时，点所经过的路径长为 ．
14．如图，中，，O为上一动点（不与A、C重合），以每秒2个单位的速度从A向C运动，过点O作直线，直线l与的平分线相交于点E，与的平分线相交于点F．
(1)求证：；
(2)t为何值时，四边形是矩形？请说明理由；
(3)当满足条件______时，（2）中的四边形是正方形．
15．【探究与证明】
在正方形中，G是射线上一动点（不与点A，C重合），连接，作，且使，连接、．
(1)如图1，若点G在上，则：
①图中与全等的三角形是 　 　；
②线段，，之间的数量关系是 　 　；
(2)如图2，若G在的延长线上，那么线段，，之间有怎样的数量关系？写出结论，并给出证明．
16．在正方形中，E为射线上一动点（点E不与A，B重合），作，交直线于点F，连接．
　　
(1)如图1，当点E在线段上时，用等式表示线段，，的数量关系；
(2)如图2，当点E在线段的延长线上时，
①依题意补全图2；
②用等式表示线段，，的数量关系，并证明．
17．在矩形中，，，点是边上一动点（不与点B、C重合），将沿直线折叠得到，直线交直线于点．
(1)如图1，当点是的中点时，求的值；
(2)如图1，连接，求周长的最小值；
(3)如图2，延长，交的延长线于点，连接，若点，分别为，的中点，连接交于点，求证；．
18．数学活动课上，老师给出如下定义：如果一个矩形的其中一边是另一边的倍，那么称这个矩形为“和谐矩形”．如图，在矩形中，，则矩形是“和谐矩形”．是边上任意一点，连接，作的垂直平分线分别交于点与的交点为，连接和．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图，在“和谐矩形”中，若AB=4，且是边上一个动点，把沿折叠．点A落在点处，若恰在矩形的对称轴上，则的长为______；
(3)如图，记四边形的面积为，“和谐矩形”的面积为，且 ，若（a为常数），且，求的长．（用含有的代数式表示）
参考答案：
1．(1)，
(2)存在，当时，四边形是矩形，
(3)不存在，
2．(1) ，
(2)
3．(1)①4，2；②，
(2)
4．(3)
5．(1)
(3)3
(4)
6．(1)
(2)仍然成立，
(3)
7．(1)或
(2)
(3)和互相平分，
8．(1)1
(2)10
(3)
9．(2)①②或
10．(1)
(2)①；②
11．(3)
12．(1)；
(2)
(4)或
13．(1)①是等腰直角三角形，②
(2)
(3)
14．(2)，
(3)
15．(1)①；②
(2)，
16．(1)
(2)②；
17．(1)
(2)12
18．(1)四边形是菱形，
(2)或
(3)