2023-2024学年广东省佛山市高明区第一中学高二下学期第一次大考数学试题（含答案）

2023-2024学年广东省佛山市高明区第一中学高二下学期第一次大考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等比数列，，，中的值等于( )
A. B. C. D.
2.在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度单位：与起跳后的时间单位：存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3.若函数在处的导数等于，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，若数列是等比数列，则值等于( )
A. B. C. D.
5.如图，已知四面体的棱长都是，点为棱的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
7.设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上三点，若，则等于( )
A. B. C. D.
8.丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是等比数列，公比为，前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 为等比数列 B. 为等差数列
C. 若，则 D. 若，则
10.如图，正方体的棱长为，动点，分别在线段，上，则下列命题正确的是( )
A. 直线与平面所成的角等于
B. 点到平面的距离为
C. 异面直线和所成的角为．
D. 线段长度的最小值为
11.已知函数，则( )
A. 曲线在点处的切线方程是
B. 函数有极大值，且极大值点
C.
D. 函数有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在与之间插入个数，使这个数成等差数列，则插入的个数之和为
13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，为双曲线上一点，且满足，则
14.已知函数及其导函数的定义域均为，且，若，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且满足．
求数列的通项公式；
已知，求数列的前项和为．
16.本小题分
在三棱柱中，平面平面，为正三角形，、分别为和的中点．
求证：平面；
若，，，求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，当时，有极大值，且．
求函数的解析式；
在的条件下，讨论函数在上的最大值．
18.本小题分
已知椭圆，离心率为，点在椭圆上．
求的方程；
过作互相垂直的两条直线与，设交于，两点，交于，两点，，的中点分别为，探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
19.本小题分
约数，又称因数它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数设正整数共有个正约数，即为．
当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
当时，若构成等比数列，求正整数；
记，求证：．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.．
15.解：，
当时，，解得，
当时，，
式子得，
故，
因为，
所以，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
，
．
16.解：
证明：如图，取的中点为，连接、，
则且，
在直三棱柱中，且，
又为的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
由于平面平面，且交线为，
又，平面，
因此平面，
又平面，故，
又，，，平面，
故平面
故可建立如图所示的空间直角坐标系，其中轴，
则由题意，
所以，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
17.解：
因为，所以，
因为时，有极大值，所以，即，即
当时，，
令，即；令，即或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极大值，符合题目条件；
又，所以，
所以．
由知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，函数在上单调递增，
；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以，
综上所述，当或时，；
当时，．
18.解：
由题意，，
解得，，
则的方程
法一：与面积之比为定值，定值为，理由如下：
设直线，，，
讨论：当，且时，
联立，可得，
，则，
所以，，
所以，
设，同理可得．
所以，且，
所以直线，即，
所以直线恒过定点；
当时，不妨设直线；，
可发现轴，且过，
当时，直线依然过，但无法形成三角形．
综上，直线恒过点，
设点，到直线的距离分别是，．
法二：与面积之比为定值，定值为，理由如下：
设直线，，，
讨论：当，且时，
联立，可得，
，则，
所以，，
所以，
设，同理可得．
所以，且，
所以直线，即，
则点到直线的距离，
则点到直线的距离，
所以，
当时，不妨设直线；，可发现，
则点到直线的距离，点到直线的距离，
所以，
当时，无法形成三角形．
综上，与面积之比为定值，定值为．
19.解：当时正整数的个正约数构成等比数列，
比如为的所有正约数，即．
由题意可知，，，，
因为，依题意可知，所以，
化简可得，所以，
因为，所以，
因此可知是完全平方数．
由于是整数的最小非因子，是的因子，且，所以，
所以为，
所以，．
证明：由题意知，，
所以，
因为，
所以
，
因为，，所以，
所以，
即．
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