2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区高二下学期6月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区高二下学期6月期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线过点，，则此直线的倾斜角为
A. B. C. D.
2.已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为( )
A. B. C. D.
3.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线经过点，离心率为，则的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.将个大小形状完全相同的小球放入个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放个小球，则不同放法的种数为( )
A. B. C. D.
6.衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知点，是抛物线和动圆的两个公共点，点是的焦点，当是圆的直径时，直线的斜率为，则当变化时，的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，且，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为，则( )
A. B. 只有第项的二项式系数最大
C. 各项系数之和为 D. 的系数为
10.下列说法中正确的是( )
附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值
A. 已知离散型随机变量，则
B. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C. 若，则事件与相互独立
D. 根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据的独立性检验可得：变量与独立，这个结论错误的概率不超过
11.将两个各棱长均为的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则( )
A. 该几何体的表面积为
B. 该几何体的体积为
C. 过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D. 直线平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列满足且，则数列的通项公式是 ．
13.过点与曲线相切的直线方程为 ．
14.已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的倍，则该椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒个已知各盒含，个烂果的概率分别为，
顾客甲任取一盒，随机检查其中个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃求甲购买一盒猕猴桃的概率
顾客乙第周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒若当中有烂果，则隔一周再网购一盒以此类推，求乙第周网购一盒猕猴桃的概率．
16.本小题分
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
证明：；
当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
17.本小题分
已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，
求的通项公式及；
设，为数列的前项和，求．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线的单调减区间；
若有两个极值点，且，，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右两个顶点分别为，，直线与直线的交点为，且的面积为．
求的方程；
设过的右焦点的直线，的斜率分别为，，且，直线交于，两点，交于，两点，线段，的中点分别为，，直线与交于，两点，记与的面积分别为，，证明：为定值．
答案
1.
2.
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4.
5.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设盒中含、个烂果分别为事件、，
则，，
设甲购买一盒猕猴桃为事件，
则，，
则，
所以甲购买一盒猕猴桃的概率为；
设第周网购一盒猕猴桃为事件，
则，，
，
，
．
故乙第周网购一盒猕猴桃的概率为．
16.证明：连接，
，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，
，，
，，
，
，，
，即，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，
，，
，即．
解：由知平面，
平面的一个法向量为，
由知，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
，
，
，
当，面与面所成的二面角的余弦值最大为，此时正弦值最小为．
17.解：因为在，之间插入项，使这个数成公差为的等差数列，
所以，
所以．
易知，所以，
两式相减得
，
所以．
18.解：，
令得，，由得．
所以，的单调减区间为．
，有两个极值点，且，
是方程的两正根，则，，
不等式恒成立，即恒成立，
，
由，，得，，
令，，
令，，在上递增，
则有即，
在上是减函数，
，故
19.解：由题意离心率为，所以
由，知
由的面积为，得，得
由解得所以的标准方程为．
由题意知，，，
联立方程消去得，
设，，则，所以，
代入直线的方程，所以，
同理得
当直线的斜率存在时，设直线，
将点，的坐标代入，得
易知，为方程的两个根，
则，得，
所以直线，所以直线过定点．
当直线的斜率不存在时，由对称性可知，
因为不妨设，，所以
即直线，满足过定点．
因为的面积为，的面积为，
所以，为定值．
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