2023-2024学年辽宁省名校联盟高一（下）联考数学试卷（含答案）

2023-2024学年辽宁省名校联盟高一（下）联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.冰嘎别名冰叅，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”，通常以木镞之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形如图如图所示的是一个陀螺立体结构图，已知，分别是上、下底面圆的圆心，，，底面圆的半径为，则该陀螺的体积为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知的内角，，的对边分别为，，，，下面使得有两组解的的值可以为( )
A. B. C. D.
5.如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
6.若角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
7.古代数学家刘徽编撰的重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础现根据刘徽的重差测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上，两点与点在一条直线上，且在点的同侧，若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的最高点距离地面为( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，，且三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知复数满足，为虚数单位，则是方程的一个根
B. 已知，则
C. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D.
10.已知函数，且在上有且仅有个零点，则( )
A. 的取值范围是
B. 的图像在上最多有条对称轴
C. 的图像在上有个最大值点
D. 在上单调递增
11.如图，已知圆锥的底面圆心为，半径，圆锥的体积为，内切球的球心为，则下列说法正确的是( )
A. 侧面积为
B. 内切球的表面积为
C. 过点作平面截圆锥的截面面积的最大值为
D. 设母线中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为______．
13.在锐角三角形中，，若，则的取值范围是______．
14.已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
图是一块正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高．
求正四棱台的表面积；
若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台如图，求削去部分与圆台的体积之比．
16.本小题分
在中，点，是所在平面内的两点，，，，，．
以，为基底表示向量，并求；
为直线上的一点，设是实数，若直线经过的垂心，求，的值．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若的面积为．
已知为的中点，求的最小值；
求内角的平分线的最大值．
18.本小题分
设，其中，．
若的最小正周期为，求的值；
若对任意，恒有，求的取值范围．
19.本小题分
数学中有很多相似的问题，材料一：十七世纪法国数学家，被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，他的答案是：“当三角形的三个内角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角，当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点”，在费马问题中所求的点称为费马点．
材料二：布洛卡点，也叫“勃罗卡点”，定义为：已知内一点满足，则称为的布洛卡点，为的布洛卡角，年，三角形的这一特殊点，被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．
已知，，分别是的内角，，的对边，且．
求；
若为的费马点，且，求的值；
若为锐角三角形，为的布洛卡点，为的布洛卡角，证明：．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：如图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取，中点，，
连接，，，则，，，，
，
四棱台的表面积；
若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆与正四棱锥的上、下底面正方形相切，高为正四棱台的高，
圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，高，
则圆台的体积为，
又正四棱台的体积为，
则削去部分的体积为，
削去部分与圆台的体积之比为．
16.解：，．
，
．
设，
则．
直线经过的垂心，，
，解得．
即，．
17.解：由及正弦定理得：，
即，所以，
因为，所以，
所以；
由知，，
因为的面积为，所以，解得，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以的最小值为；
因为为角的角平分线，所以，
由于，所以，
由于，所以，
由于，
又因为，所以，
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，
故，即的最大值为．
18.解：
，
的最小正周期为，
，得．
设，由题意可知对任意，恒有，
等价为，即在上单调递增．
由，
，
则
，
令，
此时为单调递增函数，
从而在上单调递增，，，
的单调增区间为，，
，得，，，
当时，，
当时，，即；
当时，，此时无解．
综上可知，．
19.解：由，可得，所以，
所以，
即．
，即，
由正弦定理得，
因为，，所以，所以，
因为，所以．
由得，
所以，又，所以，
如图，设，
因为，所以的三个内角均小于，
所以根据题意可得，
又，
所以．
则．
所以
．
证明：在中，由余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
，
，
三式相加可得，
在中，由余弦定理以及三角形的面积公式得：
．
在和中，同理可得．
所以，
因为．
由等比性质得，
由式可证得．
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