2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高一下学期5月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高一下学期5月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.在中，，则( )
A. B. C. D.
3.用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )
A. 四边形 B. 三角形 C. 三角形或四边形 D. 不可能为四边形
4.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥的全面积是底面积的倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
6.的值为( )
A. B. C. D.
7.已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简结果正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知为虚数单位，为复数，以下四种说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，则复平面内所对应的点位于第三象限
D. 已知，若关于的方程有实数根，则实数根必为
11.如图，在棱长为的正方体中，在线段上运动包括端点，下列选项正确的有( )
A.
B.
C. 直线与平面所成角的最大值是
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知球的表面积是，则该球的体积为
13.的面积为，角的对边分别为，若，则
14.已知正四面体的 棱长为，正四面体的外接球体积为，其内切球体积为，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，为锐角，，．
求的值；
求的值．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，，且，、分别是、的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
在中，，，分别为，，所对的边，．
若，边上的中线的长为，求的值；
若，，求．
18.本小题分
如图，一个圆锥形量杯的高为厘米，其母线与轴的夹角为．
求该量杯的侧面积；
若要在该圆锥形量杯的一条母线上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少．当液体体积是立方厘米时，刻度的位置与顶点之间的距离是多少厘米精确到厘米？
19.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点．

证明：平面平面；
证明平面，并求直线到平面的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】应用复数的乘方、除法化简复数，即可得的虚部．
【详解】．
所以复数的虚部是．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】在中，直接利用余弦定理求解
【详解】在中，由余弦定理得：，
所以，
故选：．
3.【答案】
【解析】【详解】按如图所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
故选C
点睛：此题考查了截一个几何体，要知道截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，从特殊角度入手很容易得解．
4.【答案】
【解析】【分析】根据向量加法及数乘向量运算求解即可．
【详解】．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】根据圆锥体表面积与底面半径、母线长的关系，以及圆锥的侧面展开扇形圆心角与底面周长的关系，求侧面展开扇形的圆心角．
【详解】若圆锥底面半径为，母线长为，则圆锥表面积为，而底面积，
，则，若该圆锥的侧面展开扇形的圆心角为，则，
．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】利用正切的和角公式，逆用即可求出结果．
【详解】因为
．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的模、投影运算等，属中档题．
根据题意得出为直角三角形，且角为，从而求出向量在向量方向上的投影向量．
【解答】
解：如图所示：
取边的中点，连接，
则，
和重合，
是外接圆圆心，
，
，
，
向量在向量方向上的投影向量为；
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的结构特征，属于基础题．
设，则因为，所以，所以侧面的面积为，底面正方形的面积为，即可求解．
【解答】
解：设塔顶四棱锥为，如图所示：
点为正四棱锥的顶点，点是底面中心，设，则，
因为侧棱与底面所成的角为，即，所以，所以为等边三角形，所以侧面的面积为，
底面正方形的面积为，
因此该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
利用和差角公式计算可得．
【解答】
解：对于：，故 A错误；
对于：，故 B正确；
对于：
，故 C正确；
对于：
，故 D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
根据复数乘法和复数模的定义计算可判断；根据复数的定义可判断；直接计算，由共轭复数和几何意义可判断；由求根公式和复数为实数的条件计算可判断．
【解答】
解：记，则
所以，，故A正确；
虚数不能比较大小，故B错误；
因为，所以对于点为，C正确；
由求根公式得，
因为方程有实数根，
所以，解得，当取时，，故D错误．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】由正方体的 性质，得到正方体中的垂直关系，对照选项作出判断；作出直线与平面所成角，进而判断线面角的最大值；通过翻折平面，将平面与平面沿翻折到同一个平面内，进而判断的最小值．
【详解】对于选项A，由正方体性质，易得，，
因为平面，
所以平面．
因为平面，所以，故 A正确；
对于选项B，当与重合，则此时与夹角为，故 B错误；
对于选项C，如图连接交于，

因为平面，平面，所以．
因为，平面，
所以平面，即平面，
所以为直线与平面所成角，所以．
所以当最小时最大，即时，最小．
由，可得，
此时，故的最大值为，
直线与平面所成角的最大值是，故 C正确；
对于选项D，如图，将平面与平面沿翻折到同一个平面内

由题意，，
从而，故为平行四边形．
又，故为矩形．
从而当为与交点时，最小，此时，故 D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】设球的半径为，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案．
【详解】设球的半径为，则表面积，
解得，
所以体积，
故答案为：
本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】根据三角形面积公式和余弦定理代入化简计算即可得．
【详解】易知，
即，
则．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】根据正四面体棱长分别求出外接球和内切球半径，即可得出两球体积比值．
【详解】如下图所示：
设点在底面内的 投影为，易知正四面体的外接球和内切球球心重合，设为，
又正四面体的棱长为，内切球的半径为，外接球的半径为，
易知；
则由等体积法可得，
即，
由勾股定理可得；
解得；
则．
故答案为 ：．
15.【答案】解：因为， ，
所以
因为，所以，
因此
因为，为锐角，所以，
又因为 ，
所以，
因此．
因为，
所以 ，
所以 ．
【解析】本题主要考查了三角函数的求值，考查了同角三角函数关系式，两角和与差的三角函数公式以及倍角公式的应用，考查计算能力，是中档题．
由，结合同角三角函数关系式，可得 ，进一步，可求得的值；
由，可得，进一步得 ，由，得 ，又由，再将数据代入计算即可．
16.【答案】解：
、分别是、的中点，，
又平面，平面，
平面．
连接，由是等边三角形，则，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
又，且，所以，
则，
三棱锥的 体积．

【解析】【分析】依题意可得，即可得证；
连接，由面面垂直的性质得到平面，再由锥体的体积公式计算可得．
17.【答案】解：
因为，所以，
由正弦定理和余弦定理化简，得，
由余弦定理可知：
因为边上的中线的长为，
所以由余弦定理可知：，
，舍去，即；
，
，或，
当时，，
当时，由正弦定理可知：，
，
当时，，因为，所以，所以；
当时，则有，所以，即，
因此，所以的值为或．

【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理化简等式，再结合中线性质、余弦定理进行求解即可；
根据两角和的正弦公式化简等式，再结合三角形面积公式、余弦定理进行求解即可
18.【答案】解：由题设，圆锥底面半径，母线．
．
因此，该量杯的侧面积为平方厘米．
设，可得过点平行于底面的截面半径为，顶点到该截面的距离为．
于是当时，可解得．
因此，刻度的位置与顶点之间的距离约为厘米．

【解析】【分析】先求得圆锥底面半径及母线，再利用侧面积公式计算即可．
设，用表示平行于底面的截面半径及顶点到截面的距离，利用体积解得即可．
本题考查了圆锥侧面积及体积的求法，考查了运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：
因为平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，为中点，所以，又，平面，
所以平面，又平面，故平面平面．
由题，分别为，中点，故，
又平面，平面，故平面，
则直线到平面的距离为点到平面的距离．
由为中点，所以，记为，，
又，所以，
由知，平面，故，，，
由题知，，，
所以，
而，
所以．
．

【解析】【分析】利用线面垂直的性质，得到，根据条件及线面垂直的判定定理得到平面，从而有，再根据条件得到，由线面垂直的判定定理，得到平面，即可证明结果；
根据条件有，利用线面平行的判定定理，即可证明结果；利用平面，将线到面的距离转化成点到面的距离，再利用等体积法，即可求出结果．
第1页，共1页