2023-2024学年广西贵百河高一下学期5月新高考月考测试数学试卷（含答案）

2023-2024学年广西贵百河高一下学期5月新高考月考测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.下列说法错误的是( )
A. B. ，都是单位向量，则
C. 若，则 D. 零向量方向任意
3.设为两个非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在中，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知是两条不同的 直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
6.在中，角所对的边分别为，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，，则此直三棱柱的体积是( )
A. B. C. D.
8.已知为锐角内部一点，且满足，已知，若，则实数( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形已知，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 四边形的周长为
D. 四边形的面积为
10.如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线与平面所成角的 大小不变
C. 直线与直线垂直
D. 二面角的大小不变
11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆的半径，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的有( )
A. 为定值 B. 当时，为定值
C. 的最大值为 D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球表面积为 ．
14.已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中是虚数单位，．
若为纯虚数，求的值；
若，求的取值范围．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知向量，，向量与间的 夹角为．
求在方向上的投影向量的坐标；
求的值；
若向量与夹角为钝角，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为的等边三角形，．
证明：；
求点到平面的距离．
18.本小题分
在锐角中，分别为作的对边，且．
求角的大小；
求的取值范围．
19.本小题分
如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且求：
正四棱锥的表面积；
若为的中点，求平面与平面所成的二面角的余弦值；
侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为为纯虚数，
所以 ，解得 ．
由，得 ，进而可得
因此 ．
因为 ，所以当时， ；
当时， ．
故的取值范围是 ．
16.解：
由题设知，
所以在方向上投影向量的坐标为．
因为，
所以．
因为向量与夹角为钝角，且与不能共线
所以，
即，所以，解得．
又与不能共线，若与反向共线，则且，解得．
综上，实数的取值范围是
17.解：
法一：是等边三角形，且是中点
面，面
面，面，且面
面
法二：取的中点，则面，可知两两垂直，
如图以为轴，为轴，为轴，则，，，；
所以，，则，即；
法一：由题可知：；
在中，，；
取中点，在中，，
边上的高为；
；
设点到平面的距离为，则，
解得，即点到平面的距离为．
法二：，，，，
设面的法向量为，；
设点到面的距离为，
故点到平面的距离为．
18.解：
因为，
由正弦定理得：，
又因为
所以，
因为，所以，即，
所以，即
因为，
所以，
所以，即；
由及余弦定理得
，
因为，
在锐角中，，解得，
所以，所以，
由对勾函数的性质可得
所以．
19.解：
在正四棱锥中，，，
则正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的表面积为；
方法一：如图，连接交于点，因为四边形是正方形，所以为的中点，
在正四棱锥中，，
当为的中点时，有
又四边形是正方形
即为平面与平面所成的二面角的平面角
又为的中点，为的中点，，且，
得
所以平面与平面所成的二面角的余弦值为
方法二：建系法，如图连接交于点，连接，可知两两垂直
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系；
，，，，，，
易知面的法向量为，
设面的法向量为，，，，
所以平面与平面所成的二面角的余弦值为．
方法一：在侧棱上存在点，使得平面，满足
理由如下：取的中点，由，得，
过作的平行线交于，连接，中，有，
又平面，平面，所以平面，
由，得，所以
又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
而平面，所以平面
方法二
假设上存在点满足，使得面
，，
设面法向量为，，，
若面，则，
，即，解得；
所以，在点满足，使得面，
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