2023-2024学年安徽省县中联盟高二（下）第五次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年安徽省县中联盟高二（下）第五次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，且共线，则( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
3.曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.手机电池随着日常使用其寿命缩短，是消耗品，某种型号手机的电池寿命单位：年服从正态分布，使用寿命不少于年的概率为，使用寿命不少于年的概率为某人买了该型号手机，则手机电池使用寿命不少于年的概率为( )
A. B. C. D.
5.在直三棱柱中，，重心为点，棱的中点为，设，则( )
A. B.
C. D.
6.从数字，，中随机取一个数字，取到的数字为，再从数字，，中随取一个数字，则第二次取到数字的概率为( )
A. B. C. D.
7.设为坐标原点，双曲线的焦距为，其左、右焦点分别为、，点在上，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，有许多边长为的正方形网格，一质点从坐标原点开始，沿着正方形对角线向右上方或右下方随机跳动，跳动一次运动路程为，若质点跳动不跨越轴到第四象限且跳动次后落在点处如图给出了质点的一种运动路径，则不同的跳动路径的种数为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线：与圆：交于两点，，则( )
A. 当时，直线的倾斜角为 B. 圆的圆心坐标为
C. 圆的半径为 D. 的取值范围是
10.若函数有且仅有极大值，则( )
A. B. C. D.
11.已知正方体的棱长为，其外接球球心为，点，分别是棱，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 球上存在无数个点，使得直线平面
B. 球上存在无数个点，使得直线平面
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 三棱锥，的体积之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中含的项的系数是______．
13.第九届亚洲冬季运动会简称亚冬会将于年月日至月日在中国冰雪名城哈尔滨举行，若将名大学生分配到亚冬会个分会场进行引导服务，每名大学生只分配到个分会场，且每个分会场至少分配名大学生，则不同的分配方案的种数为______用数字作答
14.已知点，椭圆上的两点，满足，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某工厂生产一种塑料产品，为了提高产品质量分别由两个质检小组进行检验，两个质检小组检验都合格才能销售，否则不能销售已知该塑料产品由第一个小组检验合格的概率为，由第二个小组检验合格的概率为，两个质检小组检验是否合格相互没有影响．
求一件产品不能出厂销售的概率；
从生产的塑料产品中任取件，记为能销售产品的件数，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，．
证明：平面平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
记数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
设，证明：．
18.本小题分
已知抛物线：经过点，，中的两个点，为坐标原点，为焦点．
求抛物线的方程；
过且倾斜角为的直线交于，两点，在第一象限，求的值；
过点的直线与抛物线交于，两点，直线，分别交直线于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
19.本小题分
已知函数是两个不同的正数，且满足
讨论的单调性；
当时，证明：．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意知，一件塑料产品可以出厂销售的概率为，
所以一件塑料产品不能出厂销售的概率为；
由知，一件塑料产品合格的概率为，则，
所以，，
所以的分布列为：
所以．
16.证明：因为底面，底面，所以．
因为底面是矩形，所以．
又，，平面，
所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以．
设平面的一个法向量为，则
，取，则，，
可得平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，则
，取，则，，
可得平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，则
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：因为，所以，
当时，，所以，
所以从第二项起，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
又因为不满足上式，所以数列的通项公式为；
证明：由知，，
当时，，
故，
两式相减得：，
整理可得：；
当时，，
综上可得，．
18.解：因为抛物线：关于轴对称，
所以必过，，中的，两点，
代入可得，解得，
所以抛物线的方程为；
如图，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，
由抛物线定义可得，
又，解得，
同理，解得，
故；
证明：如图，设直线的方程为，，，
联立，得，显然，
所以，，
直线方程为，令，得点的纵坐标，即，
同理可得，又，
所以，，
于是，
即是定值．
19.解：函数的定义域为，
求导可得，
由，可得，由，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
证明：由可得，
令，当时，由，得，
整理可得，从而．
要证明，只需证明，
即证，即证，
化简得，
即证：
设，
所以，
设，
则，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，即，
从而在上单调递增，所以，故原命题成立．
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