宁波市2023学年期末九校联考 高一数学参考答案
第二学期
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C B A C C B
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分
题号 9 10 11
答案 ACD BD BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
1
12． 13．3 14．3 3
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．
15．解：
（1）易判断等腰梯形 ABCD中， BAD = ，
3
又因为 E, F 分别为 AB, AD的中点，
1
BF = AF AB = AD 2AE .
2
1
（2）因为 B,M , F 三点共线，则 AM = AB + (1 ) AF = 2 AE + AD .
2
1 1
又因为D,M , E三点共线，则有 2 + =1，解得 = ，
2 3
2 1
故有 AM = AE + AD .
3 3
2
2 1 7
所以 AM = AE + AD = a .
3 3 3
16．解：
（1）由直线方程 (a 1) y = (2a 3) x +1变形可得 a ( y 2x) + 3x y 1= 0
y 2x = 0 x =1
则有 ，解得 ，所以直线 l 过定点 (1,2)
3x y 1= 0 y = 2
（2）结合图像易得
当直线 l 斜率不存在时，即 a =1时，直线 l : x =1符合题意；
2a 3
当直线 l 斜率存在时， 2 ，解得 a 1；
a 1
综上可得，实数 a的取值范围为 a 1 .
（3）已知直线 l : (a 1) y = (2a 3) x +1，
1 1 3
令 x = 0 ，得 y = 0，得 a 1，令 y = 0 ，得 x = 0 ，得 a .
a 1 3 2a 2
宁波市九校联考高一数学参考答案 第1页 共4页
1 1 1 1 5
则 S = = ，当 a = 时， S 取到最大值.
2 a 1 3 2a 4a2 +10a 6 4
此时，直线 l 的方程为： 2x + y 4 = 0．
17．解：
（1）由频率分布直方图有10a =1 10 (0.005+ 0.010 2 + 0.020 + 0.025)，得 a = 0.030 .
设数学成绩的中位数为 x，则有10 (0.005+ 0.010 + 0.020) + 0.03 (x 70) = 0.5 ，
得 x = 75．所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为 75.
（2）设 A = “任选一道题，甲答对”， B = “任选一道题，乙答对”，C = “任选一道题，丙答对”.
12 3 8 2 n
则由古典概型概率计算公式得： P (A) = = ， P (B) = = ， P (C ) = ，
20 5 20 5 20
2 3 n
所以有 P (A) = ， P (B) = ， P (C ) =1 .
5 5 20
（i）记 D = “甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有D = AB AB ，且有 AB 与 AB 互斥.
因为每位同学独立作答，所以 A, B 互相独立，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 均相互独立
3 3 2 2 13
所以 P (AB AB) = P (AB) + P (AB) = P (A)P (B) + P (A)P (B) = + =
5 5 5 5 25
13
答：任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率
25
（ii）记 E = “甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则 E = ABC
2 3 n 22
所以 P (E ) =1 P (E ) =1 P (ABC ) =1 P (A)P (B)P (C ) =1 1 = ，
5 5 20 25
解得： n =10．
18．解：
（1）如图，连接 EC 交 AD 于 N ，则 N 为 CE 的中点.
由正六边形的性质，可知 AD ⊥ NG, AD ⊥ NC ，
因为 NG NC = N , NG, NC 平面GNC ．
故 AD ⊥平面GNC ．而CG 平面GNC ，
所以 AD ⊥ CG．
（2）如图，连接 AC ，在正六边形中，有 AC = 4 3,CD = 4, AD = 8，
则有 AC 2 +CD2 = AD2 ，
即 AC ⊥CD ，又因为 AH ⊥CD，故CD ⊥平面AHC ，
连接 FD，同理 AF ⊥ FD ，即 AH ⊥ HD ，即有 AH ⊥平面CDH ．
所以有 AH ⊥CH .
因为 AH = 4, AC = 4 3 ，所以CH = 4 2 ．
1 1
由体积法VH ACD =VD AHC ，有 S ACD h = S ， AHC CD
3 3
4 2
解得 h = .
3
h 3
设CH 与平面 ABCD所成的角为 ，则 sin = = .
CH 3
3
所以CH 与平面 ABCD所成角的正弦值为 .
3
宁波市九校联考高一数学参考答案 第2页 共4页
（3）由（1）知 AD ⊥平面GNC ，
所以 GNC 就是二面角 H AD B 的平面角，即 GNC = ，
3
过M 作MM ⊥ NC ，垂足为点M ，过M 作1 1 MM ⊥ NG ，垂足为点2 M . 2
因为 AD ⊥平面GNC ，所以 AD ⊥ MM ，1 AD ⊥ MM ， 2
所以MM ⊥平面 ABCD，1 MM 2 ⊥平面ADGH ，
1 1
所以VM ABCD +V M ADGH = S MM梯形ABCD 1 + S MM梯形ADGH 2
3 3
1 4 + 8
= 2 3 (MM1 + MM 2 ) = 4 3 (MM . 1 + MM 2 )
3 2
3 3
在 GNC 中， NG = NC = 2 3 ， GNC = ，所以MM = MC ，MM = MG ， 1 2
3 2 2
3 3
得MM1 + MM 2 = (MC + MG) = 2 3 = 3 .
2 2
故V +V . M ABCD M ADGH = 4 3 (MM1 + MM 2 ) =12 3
即四棱雉M ABCD 与四棱雉M ADGH 的体积之和是定值12 3 .
19．解：
2
（1）①若 AP = AR，则此时 R 与D 重合， sin = ；
2
2
②若 AP = PR ，则 AP ⊥ PR ， sin = ；
2
2 tan
1 4
③若 AR = PR ，因为 AD = AR，此时有 tan = ，则 sin = 2 = ；
2 2 5
1+ tan2
2
2 4
综上， sin = 或
2 5
（2）不妨设 AD = AP = PQ =QB =1, AR = h (0,1)
1
要证 BRP ，即证 tan BRP tan = ，
h
3
又有 tan ( + BRP) = ，
h
2
2h 1
故 tan BRP = tan ( + BRP ) = h = = tan .故得证！
3 h2 + 3 h
1+
h2
（3）设 AD = AP = PQ =QB =1，作 RH ⊥ AB于H ，
由对称性，不妨设 AH HB ，
设 AH =1+ x, BH =1+ y ，
1
则有 x + y =1， 2 x y 1
2
宁波市九校联考高一数学参考答案 第3页 共4页
1+ x x 1
tan = tan ( ARH PRH ) = =
1+ x (1+ x) 1+ x + x2
1+ y y 1
①当 H 在 PQ上时， tan = tan ( BRH QRH ) = = ；
1+ (1+ y) y 1+ y + y2
1+ y + ( y) 1
②当 H 在QB 上时， tan = tan ( BRH + QRH ) = = ；
1 (1+ y)( y) 1+ y + y2
1
故 tan = .
1+ y + y2
1 1
+
tan + tan 1+ x + x2 1+ y + y2
所以 tan ( + ) = =
1 tan tan 1 1
1
1+ x + x2 1+ y + y2
2 + (x + y) + (x2 + y2 ) 3+1 2xy
= =
( 2 )( 2 ) x + y + x2 2 2 2 2 21+ x + x 1+ y + y 1 + y + xy + xy + x y + x y
4 2xy 1
= 令xy = t 2,
2 + x2 y2 4
4 2t 7
= 令m = 2 t , 4
2 + t2 4
2m 2 2 6 + 2
= = =
2
2 + (m 2) 6 2m + 4 2 6 4
m
6 + 2
当且仅当m = 6 ，即 xy = 2 6 时去等，故 tan ( + ) = .
max 2
宁波市九校联考高一数学参考答案 第4页 共4页绝密★考试结束前
宁波市2023学年期末九校联考高一数学试题
第二学期
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的、
1.四棱锥至多有几个面是直角三角形？
A.2
B.3
C.4
D.5
2.已知点A(2,3),B(3,-1),若直线1过点P(0,1)且与线段AB相交，则直线1的斜率k的取值范围是
A.k5-2或k≥1
B.k≤-2或0≤k≤1
3
3
C.-2sks0或k21
D.-2≤k≤1
3
3
3.若平面向量a,,c两两的夹角相等，且a=1,园=1，=2，则a+i+d=
A.1
B.4
C.1或4
D.1或2
4.己知m,n为两条不同的直线，心，B为两个不同的平面，若m⊥，ncB,则“m⊥n”是“ax∥B”的
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.逢山开路，遇水搭桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张
张闪亮的“中国名片”.如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A,B,C三处测得道
路一侧山顶的仰角依次为30°，45°，60°，若AB=a,BC=b(0
山的高度为
A.
1
6ab(a+b)
1
5ab(a+b)
B.
2 3b-a
2 3b-a
C.
3ab(a+b)
1
V3b-4
D.
2ab(a+b)
第5题图
2 3b-a
6.已知复数名=1+i是关于x的方程x2+px+9=0(P,9∈R)的一个根，若复数z满足
2-=P一g,复数z在复平面内对应的点Z的集合为图形M,则M围成的面积为
A,π
B.4π
C.16π
D.25π
7.慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌
肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11,12，m,n,20,27,其中这6周
的慢走里程的中位数为6，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则m=
A,14
B.15
C.16
D.17
宁波市九校联考高一数学试题第1页共4页