2023-2024学年四川省广安二中高一（下）第二次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年四川省广安二中高一（下）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简的结果是( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在中，角，，所对边分别为，，，且，( )
A. B. 或 C. D. 或
4.如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，( )
A.
B.
C.
D.
5.在矩形中，，，为线段的中点，为线段上靠近的四等分点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近，若取，则下列结论正确的是( )
A. 正四棱锥的底面边长为 B. 正四棱锥的高为
C. 正四棱锥的体积为 D. 正四棱锥的侧面积为
8.已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的( )
A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. 外心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
10.，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 线段上存在点，使平面
C. 线段上存在点，使平面平面
D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若一个圆锥的母线长为，且底面面积为，则此圆锥的高为______．
13.的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边的值是______．
14.已知，，为球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为，若球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点两点不重合．
用，表示；
若，，求的最小值．
16.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和对称轴．
设函数，若在上恰有个不同的零点，，
求的取值范围；
求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点求证：
平面；
．
18.本小题分
如图正方体的棱长为，是线段的中点，平面过点、、．
画出平面截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤；
求中截面多边形的面积；
平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值．
19.本小题分
十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点”在费马问题中所求的点称为费马点试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，设点为的费马点，求；
设点为的费马点，，求实数的最小值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，
化简得；
因为，，，
所以，由图可知，
又因为、、三点共线，所以，
所以，
当，即时，取最小值．
16.解：
，
所以函数的最小正周期；
令
对称轴为；
函数，
由，得，则，
得，
当时，，，，，，
因为在上恰有个不同的零点，，
所以，，，
即的取值范围是；
因为，，所以，
所以．
17.证明：取线段的中点，连接，，
因为，分别为，中点，
所以，，
又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
因为平面，平面，
所以，
取线段的中点，连接，则，，
又，，所以四边形为正方形，
设，则，
，，
所以，所以；
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
18.解：如图，取的中点，连接、B、．
因为是的中点，所以B.
在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，所以，
所以、、、四点共面．
因为、、三点不共线，所以、、、四点共面于平面，
所以面即为平面截正方体所得的截面；
由可知，截面为梯形，，
，，
同理可得，
如图所示：
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，
则，，，
所以≌，则，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，所以，
所以，
所以梯形的面积为；
因为多面体为三棱台，
又，，
且该棱台的高为，所以该棱台的体积为：
，
故剩余部分的体积为．
故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为．
19.解：因为，
所以，
所以，
由正弦定理得，
所以直角三角形，且；
由可得，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，
由，
得，
整理得，
所以；
因为点为的费马点，
所以，
设，，，，，，
因为，所以，
由余弦定理得，
，
，
所以由，得，
所以，而，，
所以，当且仅当时，
又，即 时，等号成立，
又，所以，
解得或 舍去，
所以实数的最小值为．
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