2023-2024学年云南省大理白族自治州大理民族中学高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

2023-2024学年云南省大理民族中学高一（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.在空间中，若两条直线与没有公共点，则与( )
A. 相交 B. 平行
C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线
3.高一年级有男生人，女生人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为则在男生中抽取的样本量为( )
A. B. C. D.
4.在边长为的正方形中，动点，在线段上，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.某圆锥的底面半径为，母线长为，则下列关于此圆锥的说法正确的是( )
A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的表面积为
C. 过圆锥两条母线的截面面积最大值为 D. 圆锥的侧面展开图的圆心角为
6.设，为两个不同的平面，则的一个充分条件可以是( )
A. 内有无数条直线与平行 B. ，垂直于同一条直线
C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一个平面
7.已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体中，下列选项中，正确的是( )
A. B. 与所成的角为
C. 二面角的平面角为 D. 与平面所成的角为
10.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 设，则
B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C. 若复数，则为纯虚数的充要条件是
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
11.周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是( )
A. 每一个直角三角形的面积为
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若球的体积是，则球的表面积是______．
13.为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了名学生进行体能测试，并将这名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图则直方图中实数的值为______．
14.记的内角，，的对边分别为，，，且，则角 ______；若，则面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，在三棱锥中，平面，，过点分别作，，，分别为垂足．
求证：平面平面；
求证：．
16.本小题分
记的内角、、的对边分别为、、，已知．
求角；
若的周长为，面积为，求边．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点．
求证：直线平面．
过点，，的平面与棱交于点，求证是的中点．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，且，，侧面是等腰三角形，且，侧面底面Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求侧面与底面所成二面角的正弦值．
19.本小题分
如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为为参数，，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数．
计算和的值；
证明：；
，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：因为平面，平面，
所以，
又，即，，
所以平面，
而平面，
所以平面平面；
由平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，而平面，
所以，
又因为，，
可得平面，而平面，
所以．
16.解：，
由正弦定理，得，
，
，又，得，
所以，即，
由，解得；
由，得，则，
由余弦定理，得，即，
得又，
所以，即，
即，解得．
17.证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，
所以，，
因为底面是菱形，即，所以，
平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面；
，，的平面与棱交于点，
因为，平面，平面，
平面平面，
所以，
所以，
所以为的中点，即与中点重合．
求证是的中点．
18.Ⅰ证明：在中，，，
，，
又侧面底面，侧面底面，
，平面，平面，，
，平面；
Ⅱ解：取的中点为，连接，，所以，
又侧面底面，侧面底面，
平面，过点作，垂足为，连接，
平面，为侧面与底面所成二面角的平面角，
在直角中，，，，
，
即侧面与底面所成二面角的正弦值为．
19.解：，；
证明：，
又，故；
，
即，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
故，
令，由对勾函数性质可得，
故，只需，
因为在上单调递减，
所以，所以，
实数的取值范围是．
第1页，共1页