小升初分班考重点专题：式与方程-2023-2024学年数学六年级下册北师大版（含解析）

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小升初分班考重点专题：式与方程-2023-2024学年数学六年级下册北师大版
一、选择题
1．已知a和b互为倒数，（ ）。
A．14 B．1 C．4 D．2
2．8块高钙饼干的钙含量相当于1杯牛奶的钙含量，小欣早晨吃了12块高钙饼干，喝了1杯牛奶，合计含钙600毫克。一杯牛奶的钙含量是（ ）毫克。
A．240 B．20 C．360 D．30
3．某移动公司的手机市话原收费标准每分钟降低了m元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟n元，则原收费标准每分钟（ ）。
A．（n－m）元 B．（n＋m）元
C．（n＋m）元 D．（n＋m）元
4．某工地原有大小两堆沙子，共重24吨，在小堆沙子上又加入4吨，从大堆沙子里用去25%后，两堆沙子的重量正好相等，求这两堆沙子原来各是多少吨？正确的解答是（ ）。
A．大堆沙重18吨，小堆沙重6吨 B．大堆沙重16吨，小堆沙重8吨
C．大堆沙重20吨，小堆沙重4吨 D．大堆沙重15吨，小堆沙重9吨
5．下列选项中，能用2a＋8这个式子表示的是（ ）。
A．总长 B．总长
C．周长 D．面积
6．为了更好地开展垃圾分类，文丰社区规定：每次正确投放垃圾一次可获得10积分，错误投放垃圾倒扣10积分。今年5月份，李丽家每天投放一次，获得250积分，李丽家这个月错误投放垃圾（ ）次。
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
7．一本书有76页，小红每天看x页，看了3天，还剩( )页没有看；当x＝16时，还剩( )页。
8．一天早晨的温度是x度，中午比早晨高10度。中午的温度是( )度。
9．一个三角形的底是m分米，高是n分米，已知m与n互为倒数，这个三角形的面积是( )平方分米。
10．图中是用小棒摆的 ……按这样摆下去第7个图形需要( )根小棒，摆第n个图形需要( )根。
11．设小东的年龄为x岁，爸爸的年龄是小东的年龄的3倍多4岁，则爸爸的年龄可表示为( )岁；如果小东的年龄是13岁，则爸爸的年龄是( )岁。
12．某施工队修一段x米长的地铁，第一队修了全长的25%，第二队修了1500米，第三队修了全长的12.5%。
(1)25%x表示：( )。
(2)25%x＋12.5%x＋1500表示：( )。
(3)x－25%x表示：( )。
(4)x－（25%x＋12.5%x）表示：( )。
三、判断题
13．食堂原有500千克大米，吃掉a袋，每袋50千克，还剩（500－50a）千克。( )
14．的商与的商互为倒数（不为0）。( )
15．一个数去掉百分号后增加了34.65，原数是35%。( )
16．三角形的底是1.8米，高是x米，它的面积是1.8x平方米。( )
17．工程队修路，甲队修的天数乘3，再加上5，就和乙队修路天数的2倍一样多了，乙队修了28天。
甲队修了多少天？根据题意，设：甲队修了x天。列出方程：3x－28×2＝5。( )
四、计算题
18．直接写出得数。
0.1÷0.001÷7＝ 9÷30%＝ 4231÷68≈
（）×12＝ 0.53＝
19．解方程。
4x＋5.6＝10 ∶x＝ 7（x－4.5）＝3.5
20．看图列式计算。
五、解答题
21．在2个大盒和5个同样的小盒里面装满球，正好是99个。每个小盒中装球的个数是每个大盒的，每个大盒装球多少个？
22．饲养场养鹅和鸭共630只，其中养的鹅的只数是鸭的，该饲养场养鹅、鸭分别有多少只？
23．商场新进一批服装，把进价提高20%作为售价，但是销量并不好，于是又降价20%销售，结果每件亏损6元。这批服装原来的售价是每件多少元？
24．爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？
25．某车间有28名工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳动力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母），则应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母？
参考答案：
1．B
【分析】乘积是1的两个数互为倒数，a和b互为倒数，则ab＝1；再根据分数除分数的计算法则，化简÷，即可解答。
【详解】ab＝1
÷
＝×2b
＝ab
＝1
已知a和b互为倒数，÷＝1。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握倒数的意义以及分数与分数除法的计算法则是解答本题的关键。
2．A
【分析】根据题意可知，8块高钙饼干的钙含量＝1杯牛奶的钙含量，12块高钙饼干的钙含量＋1杯牛奶的钙含量＝含钙600毫克，则（12＋8）块高钙饼干的钙含量＝含钙600毫克，用600÷（12＋8）即可求出1块高钙饼干的钙含量，再乘8即可求出1杯牛奶的钙含量。
【详解】600÷（12＋8）×8
＝600÷20×8
＝240（毫克）
一杯牛奶的钙含量是240毫克。
故答案为：A
【点睛】根据对应的等量代换找到合适的解题方法即可。
3．D
【分析】根据题意可知，把每分钟降低了m元后的价格单位“1”，再次下调了25%，则现在的收费标准是降低m元后收费标准的（1－25%），根据百分数除法的意义，用n÷（1－25%）即可求出降低m元后的收费标准，再加上m即可求出原来的收费标准。据此解答。
【详解】n÷（1－25%）＋m
＝n÷75%＋m
＝n÷＋m
＝n×＋m
＝（n＋m）元
原收费标准每分钟（n＋m）元。
故答案为：D
【点睛】做这道题时，关键是找清单位“1”，确定为除法应用题，最后不要忘记加上原来降价的m。
4．B
【分析】设大堆沙子原来有x吨，则小堆沙子有（24－x）吨，把大堆沙子的重量看作单位“1”，用去25%，还剩下（1－25%），用大堆沙子原来的吨数×（1－25%），求出现在大堆沙子的重量；小堆沙子加上4吨，和现在大堆沙子的重量相等，即大堆沙子原来重量×（1－25%）＝小堆沙子＋4，列方程：x×（1－25%）＝24－x＋4，解方程，即可解答。
【详解】解：设大堆沙子原来重量x吨，则小堆沙子重量（24－x）吨。
x×（1－25%）＝24－x＋4
75%x＋x＝28
1.75x＝28
x＝28÷1.75
x＝16
小堆沙子：24－16＝8（吨）
某工地原有大小两堆沙子，共重24吨，在小堆沙子上又加入4吨，从大堆沙子里用去25%后，两堆沙子的重量正好相等，求这两堆沙子原来各是多少吨？正确的解答是大堆沙重16吨，小堆沙重8吨。
故答案为：B
【点睛】本题考查方程的实际应用，利用现在大堆沙子与小堆沙子和原来重量之间的关键，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。
5．C
【分析】分别表示出各项的总长、周长、面积，再与2a＋8比较即可。
【详解】A．8＋8＋a＝16＋a，不符合题意；
B．2＋8＋a＝10＋a，不符合题意；
C．（a＋4）×2
＝2a＋8
符合题意；
D．（2＋8）a＝10a，不符合题意。
故答案为：C
【点睛】本题考查用字母表示数，用含有字母的式子表示出各项的结果是解题的关键。
6．C
【分析】5月份有31天，共投放垃圾31次，假设错误投放垃圾x次，则正确投放（31－x）次，根据正确投放获得分数－错误投放扣的分数＝本月的积分，据此列方程，解方程。
【详解】解：设错误投放垃圾x次。
（31－x）×10－10x＝250
31×10－10x－10x＝250
310－20x＋20x＝250＋20x
310＝250＋20x
250＋20x－250＝310－250
20x＝60
20x÷20x＝60÷20
x＝3
李丽家这个月错误投放垃圾3次。
故答案为：C
【点睛】找到题目中所蕴含的等量关系是解题此题的关键。
7． 76－3x 28
【分析】根据题意可知，3天看3x页，可以求出剩下多少页，代入数据列式计算即可。
【详解】看了3天，还剩（76－3x）页。
76－3×16
＝76－48
＝28（页）
即，一本书有76页，小红每天看x页，看了3天，还剩76－3x页没有看；当x＝16时，还剩28页。
8．x＋10/10＋x
【分析】中午的温度＝早晨的温度＋中午比早晨高的温度，用字母将数量关系表示出来即可。
【详解】一天早晨的温度是x度，中午比早晨高10度，则中午的温度是（x＋10）度。
9．
【分析】三角形的面积＝底×高÷2，据此用字母表示出三角形的面积，因为乘积是1的两个数互为倒数，化简后，将mn＝1，代入求值即可。
【详解】m×n÷2＝ m×n×＝mn＝×1＝（平方分米）
这个三角形的面积是平方分米。
10． 15 2n＋1
【分析】观察图形发现每多摆一个图形就要比前一个图形多用2根小棒，摆第1个图形用了3根小棒，即2×1＋1；摆第2个图形用了5根小棒，即2×2＋1；摆第3个图形用了7根小棒，即2×3＋1；由此可推出摆第n个图形用了2×n＋1＝（2n＋1）根小棒。继而求出摆第7个图形需要多少根小棒。
【详解】根据分析可得，摆第7个图形用的小棒数量：2×7＋1＝14＋1＝15（根），摆第n个图形用了（2n＋1）根小棒，所以摆第7个图形用了15根小棒，摆第n个图形用了（2n＋1）根小棒。
11． 3x＋4/4＋3x 43
【分析】根据“爸爸的年龄是小东的年龄的3倍多4岁”得出：爸爸的年龄＝小东的年龄×3＋4，代入字母表示即可；再把小东的年龄是13岁，代入算式中解答即可。
【详解】3×x＋4
＝3x＋4（岁）
当小东的年龄是13岁，
3x＋4
＝3×13＋4
＝39＋4
＝43（岁）
设小东的年龄为x岁，爸爸的年龄是小东的年龄的3倍多4岁，则爸爸的年龄可表示为（3x＋4）岁；如果小东的年龄是13岁，则爸爸的年龄是43岁。
12．(1)第一队修的长度
(2)地铁的总长度
(3)第二、三队一共修的长度
(4)第二队修的长度
【分析】（1）已知某施工队修一段x米长的地铁，第一队修了全长的25%；求第一队修的地铁长度就用乘法计算；
（2）第三队修了全长的12.5%，用全长乘以12.5%就是第三队修的米数，那么第一队修的加上第二队修的，再加上第三队修的就是总长；
（3）用地铁的总长减去第一队修的米数就是第二队和第三队修的米数；
（4）用路的总长减去第一队和第三队修的就是第二队修的米数，据此解答。
【详解】（1）25%x表示：第一队修的长度。
（2）25%x＋12.5%x＋1500表示：地铁的总长度。
（3）x－25%x表示：第二、三队一共修的长度。
（4）x－（25%x＋12.5%x）表示：第二队修的长度。
13．√
【分析】根据题意，每袋50千克，吃掉a袋即吃掉50a千克，用原有的重量减去吃掉的重量就是剩下的重量，据此解答。
【详解】原有500千克大米，吃掉50a千克，则剩下（500－50a）千克。
故答案为：√
【点睛】本题考查用字母表示数的应用，根据题目的数量关系即可解答。
14．√
【分析】乘积是1的两个数互为倒数。此题把“”与“”相乘，看乘积是否为1。
【详解】（）×（）
＝×
＝×
＝1
的商与的商互为倒数（不为0）。此说法正确。
故答案：√。
【点睛】此题结合倒数的意义和分数乘除法的计算方法进行解答。
15．√
【分析】设这个数原来是x，它去掉百分号后就是原来的100倍，即100x，根据100x减去x后得到34.65列出方程求解。
【详解】解：设这个数原来是x，由题意得：
100x－x＝34.65
99x＝34.65
x＝35%
原来这个数是35%，原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题关键是理解：一个百分数去掉百分号之后就会扩大100倍。
16．×
【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据和字母计算即可。
【详解】1.8×x÷2＝0.9x，三角形的面积是0.9x。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查了三角形的面积计算以及用字母表示数，注意求三角形的面积时记得除以2。
17．×
【分析】根据题意，设甲队修了x天，有关系式：甲队修的天数×3＋5＝乙队修的天数×2，列方程为：3x＋5＝28×2，变形为：28×2－3x＝5。
解方程即可求出甲队修的天数。根据所列方程进行判断即可。
【详解】解：设甲队修了x天。
3x＋5＝28×2
3x＋5－5＝56－5
3x÷3＝51÷3
x＝17
故答案为：×
【点睛】细读题干，分析数量关系，此题的关键是找对等量关系，再根据等量关系列方程。
18．；1；30；60
4；12；0.125；a
【详解】略
19．x＝1.1；x＝70；x＝5
【分析】第一个方程我们利用等式的性质1，等式两边同时减去5.6，然后再利用等式的性质2，等式两边同时除以4即可解得未知数x；
第二个方程我们通过比的后项＝比的前项÷比值，求得未知数x；
第三个方程我们先把（x－4.5）看成一个整体，等式两边同时除以7，然后再利用等式性质1，等式两边同时加上4.5即可解得未知数x。
【详解】4x＋5.6＝10
解：4x＋5.6－5.6＝10－5.6
4x＝4.4
4x÷4＝4.4÷4
x＝1.1
∶x＝
解：x＝÷
x＝×
x＝70
7（x－4.5）＝3.5
解：7（x－4.5）÷7＝3.5÷7
x－4.5＝0.5
x－4.5＋4.5＝0.5＋4.5
x＝5
20．白兔100只；黑兔150只；灰兔60只
【分析】观察线段图可知，黑兔比白兔多50只，灰兔比白兔少40只，三种兔子一共有310只。设白兔有x只，则黑兔有（x＋50）只，灰兔有（x－40）只，根据白兔的只数＋黑兔的只数＋灰兔的只数＝310只，列方程即可解答。
【详解】解：设白兔有x只，则黑兔有（x＋50）只，灰兔有（x－40）只。
x＋（x＋50）＋（x－40）＝310
x＋x＋50＋x－40＝310
3x＋10＝310
3x＝310－10
3x＝300
x＝300÷3
x＝100
黑兔：100＋50＝150（只）
灰兔：100－40＝60（只）
则白兔有100只，黑兔有150只，灰兔有60只。
21．27个
【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，设每个大盒装球x个，则每个小盒装球x个，根据大盒装的个数×大盒数量＋小盒装的个数×小盒数量＝总个数，列出方程解答即可。
【详解】解：设每个大盒装球x个。
2x＋x×5＝99
2x＋x＝99
x＝99
x÷＝99÷
x＝99×
x＝27
答：每个大盒装球27个。
22．养鹅：270只；养鸭：360只
【分析】根据题意，设饲养场养鸭x只，养鹅的只数是鸭的，即养鹅的只数是x只，养鹅与鸭共630只，即养鸭的只数＋养鹅的只数＝630只，列方程：x＋x＝630，解方程，即可解答。
【详解】解：设养鸭x只，则养鹅x只。
x＋x＝630
x＝630
x＝630÷
x＝630×
x＝360
养鹅：360×＝270（只）
答：饲养场养鹅270只，养鸭360只。
23．180元
【分析】设这批服装原来的进价是每件x元，将进价看作单位“1”，把进价提高20%作为原来的售价，原来的售价是进价的（1＋20%）；再将原来的售价看作单位“1”，又降价20%销售，是原来的售价的（1－20%），进价×原来的售价对应百分率×降价后对应百分率＝最终售价，根据进价－最终售价＝亏损钱数，列出方程求出x的值是进价。进价×原来的售价对应百分率＝原来的售价，据此列式解答。
【详解】解：设这批服装原来的进价是每件x元。
x－x×（1＋20%）×（1－20%）＝6
x－ x×1.2×0.8＝6
x－0.96x＝6
0.04x＝6
0.04x÷0.04＝6÷0.04
x＝150
150×（1＋20%）
＝150×1.2
＝180（元）
答：这批服装原来的售价是每件180元。
【点睛】关键是确定单位“1”，找到等量关系用方程解答，整体数量×部分对应百分率＝部分数量。
24．妹妹12岁、哥哥16岁、爸爸42岁
【分析】三人增长的岁数一样。也就是爸爸增长的岁数＝哥哥的增长岁数＝妹妹增长的岁数。当妹妹9岁时，设哥哥的年龄是x岁，爸爸的年龄是3x岁。当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁时，爸爸是增长了（34－3x）岁，妹妹和哥哥也都增长了（34－3x）岁。这时候妹妹的年龄是（9＋34－3x）岁，哥哥的年龄是（x＋34－3x）岁，根据哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍列出数量关系式：哥哥的年龄＝妹妹的年龄×2。解方程得出哥哥的年龄为13岁，这时候爸爸的年龄39岁，妹妹的年龄是9岁，三个人这时候的年龄总和是61岁，现在三个人的年龄和是70岁，相差9岁，这个相差的9岁是三个人一起增长的年龄，所以每个人增长了3岁。
【详解】解：设当妹妹9岁时，哥哥x岁，爸爸3x岁。
3×13＝39（岁）
9＋13＋39＝61（岁）
（70－61）÷3
＝9÷3
＝3（岁）
妹妹：9＋3＝12（岁）
哥哥：13＋3＝16（岁）
爸爸：39＋3＝42（岁）
答：现在妹妹12岁，哥哥16岁，爸爸42岁。
25．12人；16人
【分析】一个螺栓套两个螺母，则如果需要合理的分配劳动力，那么就是要求螺母个数是螺栓的2倍。设应分配人生产螺栓，则有人生产螺母，数量关系式为：螺栓的数量×2＝螺母的数量。
【详解】解：设应分配人生产螺栓，则有人生产螺母。
（人）
答：应分配12人生产螺栓，16人生产螺母。
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