2023-2024学年辽宁省沈阳市第120中学度下学期高二年级数学期末质量监测（含答案）

2023-2024学年辽宁省沈阳市第120中学度下学期高二年级期末质量监测
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则的真子集有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3.若奇函数则( )
A. B. C. D.
4.已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则( )
A. B. C. D.
5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，函数，若，，使，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
8.已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若命题：，，则的否定为，
B. “”是“”成立的必要不充分条件
C. 已知函数在是增函数，则实数的取值范围是
D. 已知，若的值域为，则实数的取值范围是
10.已知数列满足，设数列的前项和为，其中，则下列四个结论中，正确的是( )
A. 的值为
B. 数列的通项公式为
C. 数列为递减数列
D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，若有三个零点，则的取值范围为
B. 若满足，则
C. 若过点可作曲线的三条切线，则
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若幂函数的定义域为，则实数的值为 ．
13.已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为 ．
14.已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数是奇函数．
若，求的取值范围；
若的解集为，求的值．
16.本小题分
已知数列满足，．
证明：为等差数列．
求的前项和．
17.本小题分
已知函数．
若在点的切线，与直线平行，求过点的切线方程；
设函数在区间内是减函数，求实数的取值范围．
18.本小题分
近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力．某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内按天计，每件的销售价格单位：元与时间单位：天，的函数关系满足为常数，且，日销售量单位：件与时间的部分数据如下表所示：
设该文化工艺品的日销售收入为单位：元，且第天的日销售收入为元．
求的值；
给出以下四种函数模型：
；；；
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
利用问题中的函数，求的最小值．
19.本小题分
已知函数，其中为正实数．
求函数的单调区间
若函数有两个极值点，，求证：
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为是奇函数，所以，即，
即恒成立，整理得，解得或，
验证：当时，不满足，时成立，
所以；
因为，，所以，
解得，
即的取值范围是；
定义域为，
由，得，而，
整理得，
因为，所以，
由因为，
所以，
解得，，所以．
16.解：证明：因为，
所以
，
又，所以为等差数列，且首项为，公差为．
由知，
所以．
，
，
则
，
所以．
17.解：，
所以，
因为在点的切线，与直线平行，
所以，解得，
所以，
设过点的切线的切点为，
所以，
解得，或，，
所以切点为或，
所以切线方程为或，
即切线方程为或．
，
因为函数在区间内是减函数，
所以在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
又，
，
所以，
所以的取值范围为．
18.解：因为第天的日销售收入为元，
所以，解得．
由表中的数据知，当时间变化时，先增后减．
而函数模型都是单调函数，
所以选择函数模型．
由，
此时，符合题意，
所以日销售量与时间的变化关系为
由知
所以
即
当，时，由基本不等式得，，
当且仅当，即时，等号成立．
当，时，单调递减，
所以．
综上所述：当时，取得最小值，为．
19.解：因为函数，函数的定义域为，
所以，
令，，
若，即时，则，此时的单调减区间为，无增区间
若，即时，
令，得，
当或时，，
当时，，
此时的单调减区间为，，
单调增区间为
由知，当时，函数有两个极值点，，且，．
因为
，
要证，只需证．
构造函数，，
则，
在上单调递增，又，，
且在上不间断，由零点存在定理，可知在上存在唯一实根，且．
则在上递减，上递增，所以的最小值为
因为，
当时，，则，
所以恒成立．
所以，
所以，得证．
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