2023-2024学年北京市中央工艺美术学院附属中学（北京市国际美术学校）高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京市中央工艺美术学院附属中学高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一件工作可以用种方法完成，有人会用第种方法完成，另外人会用第种方法完成，从中选出人来完成这件工作，不同选法的种数是( )
A. B. C. D.
2.从甲地去乙地有班火车，从乙地去丙地有班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.由，，，可以组成多少个没有重复数字的三位数( )
A. B. C. D.
4.从，，，，这五个数字中任取个，从，，，这四个数中任取个，组成数字不重复的五位数的个数是( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数为
A. B. C. D.
6.北京年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为( )
A. B. C. D.
7.若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.函数在上的最小值和最大值分别是
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
9.，则 ．
10.，则 ； ．
11.抛物线在点处的切线方程为 ．
12.函数的单调减区间为 ．
13.函数，若，则的值等于 ．
14.一个袋子中装有个大小相同的球，其中个红球，个白球，从中依次摸出个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是 ．
15.已知则 ； ．
16.已知函数的导函数的图象如图示，给出如下命题：
是函数的一个极值点；
当时，
；
其中正确的命题是 ．
17.设，当时，恒成立，则实数的取值范围为 ．
18.已知在上不是单调增函数，那么实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知函数，当时，有极大值．
求的值；
求函数的极小值．
20.本小题分
在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从个不同的题目中随机抽取个题目进行作答．已知这个题目中，选手甲只能正确作答其中的个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．
求选手甲正确作答个题目的概率；
求选手乙正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；
如果在抽取的个题目中答对个题目就可以晋级，直接写出：两位选手中______甲或乙晋级的可能性更大．
21.本小题分
已知函数．
当时，求函数在区间上的最大值；
函数在区间上存在最小值，求的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. ；
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.．
19.解：，
当时，，，
即；经检验符合题意，故．
由知，，
令，得，或，
当或时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
．
20.设事件为“选手甲正确作答个题目”，则．
所以选手甲正确作答个题目的概率．
设选手乙正确作答的题目个数为，则，
故；；
；；
所以的分布列为：
所以数学期望．
设选手甲正确作答的题目个数为，则的所有可能取值为，，，．
所以，．
所以．
因为，
所以所以可以认为选手甲晋级的可能性更大．
21.当时，，则，
因为，所以．
所以在区间上单调递减，
所以在区间上的最大值为．
由题可知．
当时，由知，函数在区间上单调递减，
所以函数无最小值，此时不符合题意；
当时，因为，所以．
此时函数在区间上单调递增所以函数无最小值，此时亦不符合题意；
当时，此时，
时；时；
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数在区间上存在最小值，
所以的取值范围为．
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