【高中数学人教A版（2019必修第一册）】5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）（含答案）

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【高中数学人教A版（2019必修第一册）】
5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）
一、单选题
1．为了得到函数 的图象，可将函数 的图象（　　）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
2．函数（，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
3．将函数y=sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数的图象的一个对称中心为（　　）
A． B． C． D．
4．设函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于（　　）
A． B． C． D．
5．为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（　　）
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
6．若函数 在 上是增函数，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数（，）的部分图像如图所示，其中，且的面积为2，则下列函数数值恰好等于a的是（　　）
A． B． C． D．
8．设函数 ，已知 在 有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（　　）
A． 在 有且仅有2个零点
B． 在 单调递增
C． 的取值范围是
D．将 的图象先右移 个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数
三、填空题
9．将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的 倍，则所得图象的函数解析式为　 　.
10．若将函数 的图象向左平移 个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则正实数 的最小值是　 　．
11．已知函数（，）的部分图形如图所示，求函数的解析式　 　．
12．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示，则 =　 　．
13．先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于x轴对称，若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是　 　．
14．将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是　 　.
四、解答题
15．设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
16．已知函数．
（1）求的最大值，并写出取得最大值时自变量的集合；
（2）把曲线向左平移个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调递增区间.
17．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的最小正周期为 ，最小值为﹣2，图象过（ ，0），求该函数的解析式．
18．已知函数 的部分图象，如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在 上单调递增，当实数m取最大值时，求函数 在 的值域.
19．已知函数 ， 其中常数 . .
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围.
（2）令 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度， 再向上平移1个单位长度，得到函数 的图象.
①求函数 的解析式，并用“ 五点法”作出该函数在一个周期内的图象：
②区间 满足： 在 上至少含有 个零点.在所有满足上述条件的 中， 求 的最小值.
20．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；
（3）若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
2．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
3．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
4．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
5．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值
6．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
7．【答案】A,C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
8．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数零点存在定理
9．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
10．【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
11．【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
12．【答案】0
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数零点存在定理
14．【答案】
【知识点】余弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
15．【答案】（1）解：由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期
（2）解：由题意，
，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
16．【答案】（1）解：因为，所以，所以，
当即时的最大值，
所以取得最大值时自变量的集合是
（2）解：因为把曲线向左平移个单位长度，
然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
所以.
因为，
所以.
因为正弦曲线在上的单调递增区间是，
所以，
所以.
所以在上的单调递增区间是.
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
17．【答案】解：∵函数的最小正周期为 ，∴T= = ，解得ω=3．
又∵函数的最小值为﹣2，∴A=2．
所以函数解析式可写为y=2sin（3x+ ）．
又因为函数图象过点（ ，0），所以有： ，解得 ．
∵| |≤π，∴ ，
所以，函数解析式为： ，或
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
18．【答案】（1）解：根据函数 的部分图象，
可得 ， ，所以 .
再根据五点法作图可得 ，
所以 ， .
（2）解：将函数 的图象向右平移 个单位后，
可得 的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，
得到函数 的图象，
因为函数 在 上单调递增，
所以 ， ，m的最大值为 ，
由 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以函数 在 的值域为 .
【知识点】正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
19．【答案】（1）解：因为在 上，函数 单调递增
所以 ，求得 ，所以 取值范围为
（2）解：①令 ，将函数 的图像向左平移 个单位长度，可得 的图像再向上平移 个单位长度，得到函数 的图象，
即函数 的解析式为 列表： .
1 3 1 -1 1
作图：
② ，令 ，得
所以两个相邻零点之间的距离为
若 最小，则a和b都是零点，
此时区间 上分别恰有 个零点，
所以在区间 上恰有29个零点
从而在区间 上至少有一零点，所以
另一方面，在区间 上恰有30个零点
因此， 的最小值为
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；正弦函数的性质；五点法画三角函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数零点存在定理
20．【答案】（1）解：由题意得，
.可得函数的最小正周期为
（2）解：因为，所以，
所以，所以当时，的最小值为1；当时，的最大值为2，所以.
由题意得，，所以对一切恒成立，
所以，解得，所以整数m的最大值为4.
（3）解：由题意知，，
将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向右平移个单位得，
因为关于x的方程在区间上有解，整理得：
，即（*）在区间上有解，
，
因为，所以
令，
（*）式可转化为：在内有解，
所以，，又因为和在为增函数，
所以在为增函数，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，所以，
综上所述：k的取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
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