【高中数学人教A版（2019必修第一册）】 5.7三角函数的应用（含答案）

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【高中数学人教A版（2019必修第一册）】
5.7三角函数的应用
一、单选题
1．如图，某大风车的半径为2m，每6s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m），则函数h=f（t）的关系式（　　）
A．y=﹣2cos+2.5 B．y=﹣2sin+2.5
C．y=﹣2cos+2.5 D．y=﹣2sin+2.5
2．若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图像分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
3．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“Sky Ring”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野.游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，.若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
4．筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为 ，筒车转轮的中心 到水面的距离为 ，筒车沿逆时针方向以角速度 转动，规定：盛水筒 对应的点 从水中浮现（即 时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心 为坐标原点，过点 的水平直线为 轴建立平面直角坐标系 ，设盛水筒 从点 运动到点 时经过的时间为 （单位： ），且此时点 距离水面的高度为 （单位：米），筒车经过 第一次到达最高点，则下列叙述正确的是（　　）
A．当 时，点 与点 重合
B．当 时， 一直在增大
C．当 时，盛水筒有 次经过水平面
D．当 时，点 在最低点
二、多选题
5．衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（　　）
A．点P第一次达到最高点，需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
三、填空题
6．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为　 　米．
7．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=　 　．
8．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω=　 　．
9．台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边，两次反弹后击打目标球N，点M到的距离分别为，点N到的距离分别为，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则　 　．
四、解答题
10．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增．下表是今年前四个月的统计情况：
月份 1月份 2月份 3月份 4月份
收购价格（元/斤） 6 7 6 5
养殖成本（元/斤） 3 4 4.6 5
现打算从以下两个函数模型：①y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π），
②y=log2（x+a）+b中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系．
（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数解析式；
（2）按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损？
11．如图，某机械厂欲从 米， 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点 分别在边 上，且 ， .设 ，四边形 的面积为 （单位：平方米）.
（1）求 关于 的函数关系式，求出定义域；
（2）当 的长为何值时，裁剪出的四边形 的面积最小，并求出最小值.
12．已知函数 满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：① ，②周期 ，③过点 ，④ .
（1）试写出能确定 解析式的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求 的解析式；
（2）求（1）中函数 的图象与直线 交点间的最短距离.
13．如图，已知一块足球场地的球门宽米，底线上有一点，且长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路向底线直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线．
（1）当球员运动到距离点为米的点时，求该球员射门角度的正切值；
（2）若该球员将球直接带到点，然后选择沿其左后方向（即）的线路将球回传给点处的队友．已知长米，若该队友沿着线路向点直线运球，并计划在线路上选择某个位置进行射门，求的长度多大时，射门角度最大．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
2．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
3．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
4．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
5．【答案】A,B,D
【知识点】三角函数模型的简单应用
6．【答案】50
【知识点】三角函数模型的简单应用
7．【答案】20°
【知识点】三角函数模型的简单应用
8．【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
9．【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
10．【答案】解：（1）①选择函数模型y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）拟合收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系，
由题：A=1，B=6，T=4，∵T=，∴，∴y=sin+6，
由题图象：y=sin+6图象过点（1，6），∴=0一解为x=1，∴，
∴y=sin+6=6-cos
②选择函数模型y=log2（x+a）+b拟合养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系
由题：y=log2（x+a）+b图象过点（1，3），（2，4），，
解得：，∴y=log2x+3，
（2）由（1）：当x=5时，y=6-cos=6-cos=6，y=log2x+3=log25+3＜log28+3=3+3=6
当x=6时，y=6-cos=6-cos=6+1=7，y=log26+3＜log28+3=3+3=6＜7
当x=7时，y=6-cos=6-cos=6，y=log2x+3=log27+3＜log28+3=3+3=6
当x=8时，y=6-cos=6-cos=6-1=5，y=log2x+3=log28+3=3+3=6＞5
当x=9时，y=6-cos=6-cos=6，y=log2x+3=log29+3＞log28+3=3+3=6
当x=10时，y=6-cos=6-cos=7，y=log2x+3=log210+3＜log216+3=4+3=7
当x=11时，y=6-cos=6-cos=6，y=log2x+3=log211+3＞log28+3=3+3=6
当x=12时，y=6-cos=6-cos=5，y=log2x+3=log212+3＞log28+3=3+3=6＞5
这说明第8、9、11、12这四个月收购价格低于养殖成本，生猪养殖户出现亏损．
答：今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有可能亏损
【知识点】正弦函数的图象；三角函数模型的简单应用
11．【答案】（1）解：过点 作 ，垂足为 .
在 中，
所以
故
所以
据题意， ，所以
且当点 重合于点 时，
所以函数 的定义域为
（2）解：由（1）可知，
当且仅当 时，不等号取等号
又
故
答：当 的长度分别为 米， 米时，裁剪出的四边形 的面积最小，最小值为 平方米.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角函数模型的简单应用
12．【答案】（1）解：当选①③④时，
因为 ，所以 ，
因为过点 ， ，
所以 ，
两式相减得： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 的解析式为 .
当选②③④时，
因为周期 ，所以 ，以下过程与选①③④相同..
（2）解：函数 的图像与直线 交点为 ，
所以 ，所以 或 ，
所以 ， 或 ，
所以（1）中函数 的图像与直线 交点间的最短距离为
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；三角函数模型的简单应用
13．【答案】（1）解：由题知，，，则，
在中，，
在中，，
所以
．
（2）解：如图，作，垂足为，
设，则，，
因为，所以，，
在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，最大，
所以当米时，射门角度最大．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式；三角函数模型的简单应用；任意角三角函数的定义
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