数学人教A版（2019）必修第二册10.2事件的相互独立性 课件（共21张ppt）

(共21张PPT)
第十章 概 率
10.2 事件的相互独立性
一
二
三
学习目标
两个事件独立的直观意义与相互独立的含义
能够利用直观意义与定义判断事件的独立性，以及理解独立性的性质
利用独立性的定义与性质计算积事件的概率与复杂事件的概率
学习目标
复习回顾
性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么
P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 即P(A)+P(B)=1.
互斥事件概率加法公式
并事件(和事件)
交事件(积事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A+B
A与B同时发生
A∩B或AB
类比并事件A∪B的概率性质，你认为积事件AB发生的概率是否也
与事件A、B发生的概率有关呢？这种关系会是怎样的呢
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。
新知探究
探究1 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
试验1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2 一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设A=“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”.
对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
问题1 以上试验中P(AB)与P(A)和P(B)有何联系
新知探究
试验1中，Ω={(1 , 1) , (1, 0), (0, 1), (0, 0)}
A={(1, 1), (1, 0)}，B={(1, 0), (0, 0)}，AB={(1, 0)}.
试验2中，Ω={(m , n)|m , n∈{1 , 2 , 3 , 4}}，包含16个样本点 .
A={(1 , 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 2) , (2 , 3) , (2 , 4)}，
B={(1 , 1) , (1 , 2) , (2 , 1) , (2 , 2) , (3 , 1) , (3 , 2) , (4 , 1) , (4 , 2)}，
AB={(1 , 1) , (1 , 2) , (2 , 1) , (2 , 2)}.
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
概念生成
相互独立事件
对任意两个事件A与B，如果
P(AB)=P(A)P(B)
成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
通俗地说，对于两个事件A，B， 如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．
独立事件概率乘法公式
根据相互独立事件的定义，可以：
①用来判断两个事件是否独立
②在相互独立的条件下求积事件的概率
问题2 必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立吗？
新知探究
必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响
不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响
它们也都不影响其他事件的发生
一方面：
另一方面：
由两个事件相互独立的定义，易知：
P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)
P(A )=P( )=P(A)P( )成立
必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立．
新知探究
问题3 互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立
即需验证①A与B、②A与B、③A与B是否也相互独立？
例如证
①
若事件A,B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立.
结论
新知探究
问题4 我们知道，如果三个事件A, B, C两两互斥，那么概率加法公式
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；
但当三个事件A, B, C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立
课本P252-2.设样本空间Ω={a, b, c, d}含有等可能的样本点，且A={a, b}, B={a, c}, C={a, d}. 请验证A, B, C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).
但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).
解: A={a, b}, B={a, c}, C={a, d}, AB={a}, AC={a}, BC={a}, ABC={a}.
∴P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4.
P(A)P(B)P(C)=1/8, P(ABC)=1/4.
∴P(AB)= P(A)P(B), P(AC)= P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),
即A,B,C三个事件两两独立,
一般不成立
互斥事件 相互独立事件
概念
符号
计算 公式
不可能同时发生的两个事件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
P(A∪B)=P(A)+P(B)
P(A·B)=P(A)·P(B)
互斥事件A、B中有一个发生,记作:A∪B
相互独立事件A、B同时发生记作:AB
追问 互斥事件与相互独立的事件有什么区别？
新知探究
性质归纳
相互独立事件的性质
①必然事件Ω、不可能事件 与任意事件A相互独立.
②若事件A,B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立.
③三个事件A、B、C两两互斥，则P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，
但三个事件A、B、C两两独立时，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
获得一对独立，即获得四对独立
典例解析
例1 一个袋子中有标号分别为1, 2, 3, 4的4个球, 除标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”, 那么事件A与事件B是否相互独立
B={(1,2), (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}，
解：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}, 且m≠n}，共12个样本点.
A={(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4)}，
AB={(1,2), (2,1)}.
因此，事件A与事件B不独立.
判断事件是否相互独立的方法
3.转化法：事件A与事件B是否相互独立，与事件A与 , 与B, 与 是否具有独立性可互相转化.
1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
2.定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
归纳小结
巩固练习
课本P252
1. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬币朝上的面相同”，A、B、C中哪两个相互独立？
对接新高考
【2021年·新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.
甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，
丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，
则下列正确的是( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
B
n(Ω)=36
典例解析
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.
解：
由于两个人射击的结果互不影响，
∴A与B相互独立，
(2)“恰有1人中靶”= AB∪AB，且AB与AB互斥，
典例解析
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶.
解：
（4）方法一：
（4）方法二：
1. 对事件进行分解：一方面分解为互斥的几类简单事件求概率；
另一方面分解为独立的事件，利用事件同时发生(乘法)求出概率.
已知两个事件A, B, 那么:
(1) A,B中至少有一个发生为事件A∪B
2. 对事件分解时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”
“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
(2) A,B中至多有一个发生为事件
(3) A,B恰好有一个发生为事件
(5)A,B都不发生为事件
(4)A,B都发生为事件AB
方法归纳
求较为复杂事件的概率的方法
3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:
(1)甲、乙两地都降雨的概率;
(2)甲、乙两地都不降雨的概率;
(3)至少一个地方降雨的概率.
巩固练习
课本P252
P(A)=0.2
P(B)=0.3
=0.2×0.3=0.06
=0.8×0.7=0.56
P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
－
－
－
－
事件M
(拆分事件)P(M)=________________________
=0.2×0.7+0.8×0.3+0.2×0.3=0.44
(对立事件)P(M)=1－P(AB)
－
－
=1－0.56=0.44
(并事件)P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)
=0.2+0.3－0.2×0.3=0.44
典例解析
例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动, 每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 . 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
即两轮活动中“甲对1个,乙对2个”或“甲对2个,乙对1个”
共猜4个成语
解：
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
1. 对任意两个事件A与B，如果
P(AB)=P(A)P(B)
成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
2. 必然事件Ω、不可能事件 都与任意事件相互独立.
3. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件也相互独立.