四川省南充市仪陇县2024年5月高中一年级教学质量监测数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·仪陇月考）已知，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·仪陇月考）（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·仪陇月考）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·仪陇月考）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，，，则平面图形的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
5．（2024高一下·仪陇月考）把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·仪陇月考）已知向量，，且则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·仪陇月考）若，且，则（ ）
A． B． C． D．1
8．（2024高一下·仪陇月考）泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”，秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得处、泰姬陵顶端处的仰角分别是45°和60°，在处测得泰姬陵顶端处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：共4小题，每题5分，共20分，每个题目有两个或两个以上选项符合，错选不得分，少选得2分．
9．（2024高一下·仪陇月考）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．，，，则
B．
C．若，则复数对应的点位于第四象限
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
10．（2024高一下·仪陇月考）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．
D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
11．（2024高一下·仪陇月考）在中，角，，所对的边依次为，，，已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．为钝角三角形
C．若，则的面积是
D．若的外接圆半径是，内切圆半径为，则
12．（2024高一下·仪陇月考）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．圆锥内切球的半径为
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上．
13．（2023高二下·成都期末）已知，，，则实数k＝ ．
14．（2024高一下·仪陇月考）已知为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 ．
15．（2023高二上·端州开学考）已知圆台的下底面半径为6，上底面半径为3，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为 ．
16．（2024高一下·嘉陵期中）若，平面内一点，满足的最大值是 .
四、解答题：本大题共6个小题，其中第17题10分，其余每小题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2024高一下·仪陇月考）如图，已知在正四棱锥中，，．
求四棱锥的表面积；
（1）求四棱锥的体积．
18．（2024高一下·仪陇月考）已知，，，．
（1）求；
（2）求．
19．（2024高一下·仪陇月考）在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
20．（2024高一下·仪陇月考）已知函数．
（1）求的最小正周期和对称轴方程；
（2）若函数在上的值域．
21．（2024高一下·仪陇月考）如图，在边长为4的正中，为的中点，为中点，，令，．
试用、表示向量，；
（1）延长线段交于，求的值．
22．（2024高一下·仪陇月考）定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．
（1）求（）的“相伴向量”；
（2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；
（3）当向量时，其“相伴函数”为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 解： 设点B(x，y)，则有，于是x-2=5，y-3=5，故x=7，y=8，故点B(7，8)，.
故选：C.
【分析】根据向量的坐标运算规则设B点的坐标，对应求解x和y即可得结果.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 解：.
故选：A.
【分析】分子分母同时乘以1+i的共轭复数1-i，化简即可得结果.
3．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 解： .
故选：D.
【分析】由正切和公式再代入数值即可得结果.
4．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】 解： 由∠A'O'C'=45°知，原图形为矩形，故面积为2×4=8.
故选：B.
【分析】根据斜二侧的角度45°可知原图形为矩形，即可求得面积.
5．【答案】C
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】 解： 还原正方形知两圆相对，故排除A、B选项，而与圆所在平面与阴影部分有两公共边或没有公共边，故排除D选项，而C符合展开图.
故选：C.
【分析】还原正方体知两圆相对，可排除A和B，再根据圆与阴影分的共边数量排除D.
6．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】 解： 由得，即有x2-1=0得x=±1，而x>0，故x=1，
故，可得，，故.
故选：B.
【分析】由向量垂直可得数量积为0，即可得x的值，再根据向量数量积的定义求解向量夹角的余弦值.
7．【答案】A
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由得5(cos2α-sin2α)=，即有5(cosα-sinα)(cosα+sinα)=cosα-sinα，即有cosα+sinα=，即有cosα=-sinα+，又，代入可得，解得sinα=，
而，故sinα=，得cosα=-，故tanα=.
故选：A.
【分析】先根据和差公式与二倍角公式整理，再利用基本关系求出sinα、cosα，即可求得结果.
8．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】 解： 过点A作AF⊥CD于点如图所示：
由题意可知∠AQB=45°，∠CQD=60°，∠AQC=75°，∠ACQ=45°，在△ABQ中，AQ=BQ=50，
在△ACQ中，由正弦定理得，得CQ=，在△CDQ中，CD=CQsin60°=75m.
故选：A.
【分析】先直接由等腰直角三角形边的关系求出AQ，再由正弦定理求出CQ，最后由直角三角形边的关系求出CD的长.
9．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：x+2+yi=3+(2y-4)i，故x=3，2y-4=y得y=4，故x+y=5，A正确；
虚数无法比较大小，B错误；
z=1+4i+4i2=-3+4i，对应的点(-3，4)位于第二象限，C错误；
设z=x+yi，则z-2=x+(y-2)i，故|z-2|=|x+(y-2)i|=，即，此为圆的方程，D正确；
故答案为：AD.
【分析】A中整理后实部与实部相等，虚部与虚部相等可得结果，虚数无法比较大小，B错误，C整理化简得对应的点在第二象限，D中设z=x+yi，可得到圆的标准方程.
10．【答案】B,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图知，T=π=，得w=2，A错误，B正确；
f(x)=sin(2x+)，过点(，1)，代入得sin()=1，故即有，而，故，C错误；f(x)=sin(2x+)，而向右平移得=sin(2x+)，D正确.
故答案为：BD.
【分析】由图像的相邻的最高点与最低点可知周期和w的值，将最其中一点代入函数解析式可求，由平移的知识可判断平移是否正确.
11．【答案】B,C,D
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由知a：b：c=2：3：4，故，A错误；
设a=2，则b=3，c=4，则由余弦定理知cosC=<0，B正确；
由上得sinC=，若则a=4，b=6，c=8，S==，C正确；
设a=4，则b=6，c=8由正弦定理知2R=，R=
由等面积法知得，于是即有，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由正弦定理知a：b：c=2：3：4，可直接判断A，而由余弦定理知ABC的形状，根据可知边长，由面积公式可得算面积，由正弦定理得R，由等面积法得r.
12．【答案】A,B,D
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：由SA=，得AC=4，底面圆O的周长为4π，故侧面积S=，A正确；
设AB=b，BC=a有a2+b2=16，S△ABC=，而ab≦，V=≦，即体积的最大值为，B正确；
圆锥内切球的半径即为轴截面SAC的内切圆半径，即r=2（-1），C错误；
展开侧面如下图所示：
当S、E、C共线时，SE+EC取最小值，作AFSB，CGSB于点F、G，BG=AF=，CG=BF=，故SC=2，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先求出AC，直接根据公式可求侧面积，由基本不等可得ABC面积的最大值，即可求出体积的最大值，由对称性知圆锥的内切球半径等于SAC内切圆的半径，展开侧面积可求线段和的最小值.
13．【答案】3
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以有，解得k=3.
【分析】根据向量平行的坐标表示解题.
14．【答案】2
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：z=2+2ai+i+ai2=2-2a+(2a+1)i，z为纯虚数，故2-2a=0，得a=1.
故答案为：1.
【分析】化简复数成a+bi的形式，实部为0时为纯虚数，即可得结果.
15．【答案】4
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设母线为l，上底面积S1=π×32=9π，下底面积S2=π×62=36π，侧面积S=π（3+6）l=9πl，其中S=S1+S2，即9πl=9π+36π，解得l=5，所以圆台高为.
故答案为：4.
【分析】设母线为l，分别计算上下底面积、侧面积，利用等式求解母线l，再求解高即可.
16．【答案】
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得：，
即，从而，
设，则，由，可得
由余弦定理，当且仅当时，即时等号成立，
因，则，故.
故答案为：.
【分析】由向量的数量积定义和条件易得，利用三角形的角平分线定理可得，设，求出的取值范围，根据余弦定理得到的解析式，再利用基本不等式求得的范围，由正弦函数的图象即得的最大值.
17．【答案】（1）解：，
所以正四棱锥的体积为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】正四棱锥的顶点在底面的投影即为几何中心，利用股定理求出高度，即可求体积.
18．【答案】（1）解：因为，，则，
所以．
（2）解：因为，，所以，
又，所以，
所以
．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1)由基本关系公式和角度的范围求出cosα，再由和差公式求出；
(2)先求α+β的正余弦值，再由和差公式求出的值.
19．【答案】（1）解：在中，由及正弦定理得：，
而，
则，
于是，又，即，
则，又，所以．
（2）解：由（1）知，，由余弦定理，
得，解得，
所以的面积是．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由正弦定理可得，整理后可得cosC的值，即可求出C的度数；
(2)由余弦定理可得a、b的等量关系，即可求出ab的值，由面积公式即可求得面积.
20．【答案】（1）解：
的最小正周期；
令（）解得：（），
的对称轴方程为（）．
（2）解：当时，，
即在上的值域为
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】(1)先由和差公展开，再由二倍角公式、和差公式l化为可得周期和对称轴；
(2)整体法求得，再根据正弦图求出值域.
21．【答案】（1）解：设，，
，
由与共线，可知存在使得，
即，即，
则，解得，即，
，
所以
．
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)由中点可以，为基底可表示，再由可得，再根据线性运算 得；
(2)以和为基底表示，根据三点共线定理得相应的系数即可得，，最后根据向量的数量积求解结果.
22．【答案】（1）解：
，
所以函数的“相伴向量”
（2）解：
，
，，
的取值范围为
（3）解：，
当时，，
由，得：，
或，
由，即，而，解得或，
即在上有两个根，
方程在上存在4个不相等的实数根，
当且仅当且在上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数在上的图象和直线如图所示：
方程（）在上有两个不等实根，
当且仅当函数在上的图象和直线（）有两个公共点，
观察图象知：或，
解得或，
所以实数的取值范围是
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】(1)由“相伴向量”的定义，整理成的形式即可求出结果；
(2)先表达模的代数式，再由和差公式求出其值域即可得范围；
(3)先将方程的根求出来，即或，结合函数区间所在图像，求出参数a的取值范围即可.
1 / 1四川省南充市仪陇县2024年5月高中一年级教学质量监测数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·仪陇月考）已知，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 解： 设点B(x，y)，则有，于是x-2=5，y-3=5，故x=7，y=8，故点B(7，8)，.
故选：C.
【分析】根据向量的坐标运算规则设B点的坐标，对应求解x和y即可得结果.
2．（2024高一下·仪陇月考）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 解：.
故选：A.
【分析】分子分母同时乘以1+i的共轭复数1-i，化简即可得结果.
3．（2024高一下·仪陇月考）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】 解： .
故选：D.
【分析】由正切和公式再代入数值即可得结果.
4．（2024高一下·仪陇月考）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，，，则平面图形的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】 解： 由∠A'O'C'=45°知，原图形为矩形，故面积为2×4=8.
故选：B.
【分析】根据斜二侧的角度45°可知原图形为矩形，即可求得面积.
5．（2024高一下·仪陇月考）把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】 解： 还原正方形知两圆相对，故排除A、B选项，而与圆所在平面与阴影部分有两公共边或没有公共边，故排除D选项，而C符合展开图.
故选：C.
【分析】还原正方体知两圆相对，可排除A和B，再根据圆与阴影分的共边数量排除D.
6．（2024高一下·仪陇月考）已知向量，，且则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】 解： 由得，即有x2-1=0得x=±1，而x>0，故x=1，
故，可得，，故.
故选：B.
【分析】由向量垂直可得数量积为0，即可得x的值，再根据向量数量积的定义求解向量夹角的余弦值.
7．（2024高一下·仪陇月考）若，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由得5(cos2α-sin2α)=，即有5(cosα-sinα)(cosα+sinα)=cosα-sinα，即有cosα+sinα=，即有cosα=-sinα+，又，代入可得，解得sinα=，
而，故sinα=，得cosα=-，故tanα=.
故选：A.
【分析】先根据和差公式与二倍角公式整理，再利用基本关系求出sinα、cosα，即可求得结果.
8．（2024高一下·仪陇月考）泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”，秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得处、泰姬陵顶端处的仰角分别是45°和60°，在处测得泰姬陵顶端处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】 解： 过点A作AF⊥CD于点如图所示：
由题意可知∠AQB=45°，∠CQD=60°，∠AQC=75°，∠ACQ=45°，在△ABQ中，AQ=BQ=50，
在△ACQ中，由正弦定理得，得CQ=，在△CDQ中，CD=CQsin60°=75m.
故选：A.
【分析】先直接由等腰直角三角形边的关系求出AQ，再由正弦定理求出CQ，最后由直角三角形边的关系求出CD的长.
二、多选题：共4小题，每题5分，共20分，每个题目有两个或两个以上选项符合，错选不得分，少选得2分．
9．（2024高一下·仪陇月考）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．，，，则
B．
C．若，则复数对应的点位于第四象限
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：x+2+yi=3+(2y-4)i，故x=3，2y-4=y得y=4，故x+y=5，A正确；
虚数无法比较大小，B错误；
z=1+4i+4i2=-3+4i，对应的点(-3，4)位于第二象限，C错误；
设z=x+yi，则z-2=x+(y-2)i，故|z-2|=|x+(y-2)i|=，即，此为圆的方程，D正确；
故答案为：AD.
【分析】A中整理后实部与实部相等，虚部与虚部相等可得结果，虚数无法比较大小，B错误，C整理化简得对应的点在第二象限，D中设z=x+yi，可得到圆的标准方程.
10．（2024高一下·仪陇月考）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．
D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
【答案】B,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图知，T=π=，得w=2，A错误，B正确；
f(x)=sin(2x+)，过点(，1)，代入得sin()=1，故即有，而，故，C错误；f(x)=sin(2x+)，而向右平移得=sin(2x+)，D正确.
故答案为：BD.
【分析】由图像的相邻的最高点与最低点可知周期和w的值，将最其中一点代入函数解析式可求，由平移的知识可判断平移是否正确.
11．（2024高一下·仪陇月考）在中，角，，所对的边依次为，，，已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．为钝角三角形
C．若，则的面积是
D．若的外接圆半径是，内切圆半径为，则
【答案】B,C,D
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由知a：b：c=2：3：4，故，A错误；
设a=2，则b=3，c=4，则由余弦定理知cosC=<0，B正确；
由上得sinC=，若则a=4，b=6，c=8，S==，C正确；
设a=4，则b=6，c=8由正弦定理知2R=，R=
由等面积法知得，于是即有，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由正弦定理知a：b：c=2：3：4，可直接判断A，而由余弦定理知ABC的形状，根据可知边长，由面积公式可得算面积，由正弦定理得R，由等面积法得r.
12．（2024高一下·仪陇月考）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．圆锥内切球的半径为
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：由SA=，得AC=4，底面圆O的周长为4π，故侧面积S=，A正确；
设AB=b，BC=a有a2+b2=16，S△ABC=，而ab≦，V=≦，即体积的最大值为，B正确；
圆锥内切球的半径即为轴截面SAC的内切圆半径，即r=2（-1），C错误；
展开侧面如下图所示：
当S、E、C共线时，SE+EC取最小值，作AFSB，CGSB于点F、G，BG=AF=，CG=BF=，故SC=2，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先求出AC，直接根据公式可求侧面积，由基本不等可得ABC面积的最大值，即可求出体积的最大值，由对称性知圆锥的内切球半径等于SAC内切圆的半径，展开侧面积可求线段和的最小值.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上．
13．（2023高二下·成都期末）已知，，，则实数k＝ ．
【答案】3
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以有，解得k=3.
【分析】根据向量平行的坐标表示解题.
14．（2024高一下·仪陇月考）已知为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 ．
【答案】2
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：z=2+2ai+i+ai2=2-2a+(2a+1)i，z为纯虚数，故2-2a=0，得a=1.
故答案为：1.
【分析】化简复数成a+bi的形式，实部为0时为纯虚数，即可得结果.
15．（2023高二上·端州开学考）已知圆台的下底面半径为6，上底面半径为3，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为 ．
【答案】4
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设母线为l，上底面积S1=π×32=9π，下底面积S2=π×62=36π，侧面积S=π（3+6）l=9πl，其中S=S1+S2，即9πl=9π+36π，解得l=5，所以圆台高为.
故答案为：4.
【分析】设母线为l，分别计算上下底面积、侧面积，利用等式求解母线l，再求解高即可.
16．（2024高一下·嘉陵期中）若，平面内一点，满足的最大值是 .
【答案】
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得：，
即，从而，
设，则，由，可得
由余弦定理，当且仅当时，即时等号成立，
因，则，故.
故答案为：.
【分析】由向量的数量积定义和条件易得，利用三角形的角平分线定理可得，设，求出的取值范围，根据余弦定理得到的解析式，再利用基本不等式求得的范围，由正弦函数的图象即得的最大值.
四、解答题：本大题共6个小题，其中第17题10分，其余每小题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2024高一下·仪陇月考）如图，已知在正四棱锥中，，．
求四棱锥的表面积；
（1）求四棱锥的体积．
【答案】（1）解：，
所以正四棱锥的体积为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】正四棱锥的顶点在底面的投影即为几何中心，利用股定理求出高度，即可求体积.
18．（2024高一下·仪陇月考）已知，，，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）解：因为，，则，
所以．
（2）解：因为，，所以，
又，所以，
所以
．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1)由基本关系公式和角度的范围求出cosα，再由和差公式求出；
(2)先求α+β的正余弦值，再由和差公式求出的值.
19．（2024高一下·仪陇月考）在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）解：在中，由及正弦定理得：，
而，
则，
于是，又，即，
则，又，所以．
（2）解：由（1）知，，由余弦定理，
得，解得，
所以的面积是．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由正弦定理可得，整理后可得cosC的值，即可求出C的度数；
(2)由余弦定理可得a、b的等量关系，即可求出ab的值，由面积公式即可求得面积.
20．（2024高一下·仪陇月考）已知函数．
（1）求的最小正周期和对称轴方程；
（2）若函数在上的值域．
【答案】（1）解：
的最小正周期；
令（）解得：（），
的对称轴方程为（）．
（2）解：当时，，
即在上的值域为
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】(1)先由和差公展开，再由二倍角公式、和差公式l化为可得周期和对称轴；
(2)整体法求得，再根据正弦图求出值域.
21．（2024高一下·仪陇月考）如图，在边长为4的正中，为的中点，为中点，，令，．
试用、表示向量，；
（1）延长线段交于，求的值．
【答案】（1）解：设，，
，
由与共线，可知存在使得，
即，即，
则，解得，即，
，
所以
．
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)由中点可以，为基底可表示，再由可得，再根据线性运算 得；
(2)以和为基底表示，根据三点共线定理得相应的系数即可得，，最后根据向量的数量积求解结果.
22．（2024高一下·仪陇月考）定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．
（1）求（）的“相伴向量”；
（2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；
（3）当向量时，其“相伴函数”为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：
，
所以函数的“相伴向量”
（2）解：
，
，，
的取值范围为
（3）解：，
当时，，
由，得：，
或，
由，即，而，解得或，
即在上有两个根，
方程在上存在4个不相等的实数根，
当且仅当且在上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数在上的图象和直线如图所示：
方程（）在上有两个不等实根，
当且仅当函数在上的图象和直线（）有两个公共点，
观察图象知：或，
解得或，
所以实数的取值范围是
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】(1)由“相伴向量”的定义，整理成的形式即可求出结果；
(2)先表达模的代数式，再由和差公式求出其值域即可得范围；
(3)先将方程的根求出来，即或，结合函数区间所在图像，求出参数a的取值范围即可.
1 / 1
