湖北省2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·湖北月考）若集合，则( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
函数定义域为，则集合，
故.
故答案为：B.
【分析】分别解一元二次不等式、对数型函数的定义域求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高一下·湖北月考）在复平面内，复数满足，则复数的虚部为( )
A．-1 B． C．-2 D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，
则复数的虚部为.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算化简求复数，再根据虚部的定义求解即可.
3．（2024高一下·湖北月考）已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，因为，所以，
，故.
故答案为：B.
【分析】根据对数函数的运算性质结合对数函数的单调性可得，再计算与1比较即可得大小关系.
4．（2024高一下·湖北月考）对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A、若，则，故A正确；
B、若，则或，故B错误；
C、若，则或或相交，故C错误；
D、若，则或，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据空间中线面位置关系及性质判断即可.
5．（2024高一下·湖北月考）一个圆台的上、下底面的半径为1和4，母线为5，则该圆台的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆台的高为h，上、下底面半径分别为，易知，
则.
故答案为：C.
【分析】先求圆台的高，再根据圆台体积公式求解即可.
6．（2024高一下·湖北月考）若，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，解得，
因为，，所以，
则，即，
联立，，解得，
则，故.
故答案为：D.
【分析】将两边同时平方求出，结合求出，解方程结合同角三角函数的商数关系求出，最后根据正切的二倍角公式求解即可.
7．（2024高一下·湖北月考）已知向量满足，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，两边平方可得，
即，即，则，
同理，，，即；
，，，即；
则，
，
，
故.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件分别求出，，，再求，，，利用向量的夹角公式求解即可.
8．（2024高一下·湖北月考）已知函数对都有，若的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是( )
A． B．是奇函数
C．是周期为4的周期函数 D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：B、因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，且函数的定义域为，所以是偶函数，故B错误；
C、因为函数对都有，所以当时，，
又因为是偶函数，所以，即，
则，故是周期为6的周期函数，故C错误；
D、因为是周期为6的偶函数，所以，
，
又因为对，当时，都有，
所以在上单调递减，所以，即，故D正确；
A、 因为对，当时，都有， 所以在上单调递减，，则，故A错误.
故答案为：D.
【分析】根据函数图象的平移可得是偶函数即可判断B；对都有，取，可求得，进而得到成立，即可判断C；再由已知可得在上单调递减，结合偶函数的性质及周期性，即可判断AD.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9．（2024高一下·湖北月考）已知为虚数单位，下列说法正确的是( )
A．若复数，则
B．若复数满足，则
C．若复数满足，则或
D．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】A,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、，，则，故A正确；
B、当复数 ，满足，但虚数不能比较大小，故B错误；
C、当时，满足，但且，故C错误；
D、令，，，
所以，化简得，所以在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再利用复数高次幂的周期性求解即可判断A；根据复数不可以比较大小，即可判断B；举特例求解即可判断C；令复数的代数形式，根据题意，求得关于的方程即可判断D.
10．（2024高一下·湖北月考）对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是( )
A．函数的图象关于原点对称
B．函数的值域为
C．对于任意的，不等式恒成立
D．不等式的解集为
【答案】B,C,D
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；一元二次不等式及其解法；不等式的证明
【解析】【解答】解：A、当时，，当时，，
所以，不是奇函数，即函数的图象不是关于原点对称，故A错误；
B、由取整函数的定义知， ，则，
即，故函数的值域为，故B正确；
C、因为，，所以，故C正确；
D、由得，解得，结合取整函数的定义可得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义即可判断A；由取整函数的定义得到，即可判断BC；先解一元二次不等式，再根据取整函数的定义即可判断D.
11．（2024高一下·湖北月考）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体也称为“阿基米德多面体”，如图所示的半正多面体由正方体截去八个一样的四面体得到的，其棱长为1，也称为二十四等边体.关于如图所示的二十四等边体，下列说法正确的是( )
A．和的夹角为
B．该几何体的体积为
C．平面ELI与平面DCG的距离为
D．二十四等边体表面上任意两点间距离最大为2
【答案】B,C,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间中两点间的距离公式；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间向量的夹角与距离求解公式；余弦定理
【解析】【解答】解：将正多面体补成正方体，则正方体的边长为，
A、连接，，如图所示：
则和的夹角等价于，因为，
在中，，则，
所以，即，则和的夹角为，故A错误；
B、由图可得该几何体的体积，
因为，，
所以，故B正确；
C、因为，，，，，平面，
，平面，根据线面平行及面面平行的判定可得平面平面，
则平面与平面的距离等价于到平面的距离，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，
所以到平面的距离，故C正确；
D、由图可得，二十四等边体表面上任意两点间的最大距离为，由C可得，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】将正多面体补成正方体，连接，，和的夹角等价于，计算出的长，由余弦定理可得即可判断A；由该几何体的体积，计算即可判断B；证明平面平面，平面与平面的距离等价于到平面的距离，建立空间直角坐标系，利用点到平面的向量公式计算即可判断C；由图可得二十四等边体表面上任意两点间的最大距离为，利用空间中两点距离公式计算即可判断D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12．（2024高一下·湖北月考）如图，已知的半径为2，弦AB的长度为3，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：过作垂直于，垂足为，如图所示：
由圆的性质，可得点为中点，因为，所以，
在中，，
则.
故答案为：
【分析】根据题意先求出，再根据向量数量积的定义求解即可.
13．（2024高一下·湖北月考）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面为棱PA的中点，则直线CE与平面PAB所成角的余弦值为 .
【答案】
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
连接，如图所示：
则即为直线与平面所成角，
由，故在直角三角形中，，
故，则，
故直线与平面所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面角的定义作出线面角的平面角计算即可.
14．（2024高一下·湖北月考）如图，在中，分别是边AB，AC上的点，，且，点是线段DE的中点，且，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：由中，，
得，则.
由，且得，则，即.
由是的中点，所以，
所以，
又因为，所以，
化简可得，又因为，所以，则.
故答案为：.
【分析】在中，利用余弦定理可得，再根据向量的数量积计算，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量的基本定理求得的值，求解即可.
四、解答题：本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高一下·湖北月考）已知向量，向量与向量的夹角为.
（1）求的值.
（2）若，求实数的值.
（3）在（2）的条件下，求向量在向量方向上的投影向量的坐标.
【答案】（1）解：由题意可得：，
，则；
（2）解：，且，则，即，解得：；
（3）解：在（2）的条件下，，
则与向量同向的单位向量，
又因为向量在向量方向上的投影为：，
所以向量在向量方向上的投影向量为：.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的夹角公式直接求解即可；
（2）根据向量垂直的坐标表示，列式求解即可；
（3）根据投影向量定义直接求解即可.
16．（2024高一下·湖北月考）已知函数的最小正周期为.
（1）求的解析式；
（2）求在上的单调增区间.
【答案】（1）解：，
因为，所以，所以；
（2）解：由（1）得函数，令，
可得，
因为，所以在上的单调增区间为.
【知识点】二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式，辅助角公式化简，再根据正弦函数的最小正周期公式求解即可；
（2）由（1）可得，令，即可求出的单调增区间，令和，即可求出在上的单调增区间.
17．（2024高一下·湖北月考）如图，在正三棱柱中，分别是的中点.
（1）若点E为矩形内动点，使得面CPN，求线段ME的最小值；
（2）求证：面.
【答案】（1）解：连接，如图所示：
在正方形中，因为分别为，的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为面面CPN，所以面，
在中，因为分别为，的中点，所以，
因为面，面，所以面，
因为，面，面，所以面面，
所以当， 面，面，当时，最小，
在中，，则的最小值为；
（2）解：在正方形中，，设，则为中点，
连接、，如图所示：
因为分别为，的中点，所以且，
又因为为中点，且，所以且，
又因为面，所以四边形为矩形，所以，
又，，面，面，所以面，所以面，
又面，所以，又，面，面，
所以面.
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由线面平行的判定有面，面，结合面面平行的判定可证面面，由题意可知时，最小，在中，即可求线段的最小值；
（2）连接、，根据线面垂直的判定定理证明即可.
18．（2024高一下·湖北月考）已知分别为锐角三角形ABC三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若为BC的中点，求中线AD的取值范围.
【答案】（1）解：由，根据正弦定理可得，
即
化简整理得，即，
又因为所以，即；
（2）解：因为，两边平方得，，
在中，由余弦定理得，，即，
所以，
在中，由正弦定理得，，所以，
所以
因为为锐角三角形，所以且，得，
所以，所以，所以，
所以中线AD的取值范围是.
【知识点】平面向量的数量积运算；三角函数的化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换化简求值即可；
（2）由向量数量积的运算律可得，再利用余弦定理和正弦定理化简，结合锐角三角形求解即可.
19．（2024高一下·湖北月考）已知集合且是定义在上的一系列函数，满足，.
（1）求的解析式；
（2）若为定义在上的函数，且.
①求的解析式；
②若关于的方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，
，；
（2）解：①由（1）得①，
因为，所以②，③，
由②-③得
由①-④得
所以；
②由①得，
即，
即，
即，
当时，不成立，
所以，
故，
令，因为，故，
所以在上仅有一个实根，
令，则，
即在上仅有一个实根，
画出函数的图像，如图所示：
由图可知，或，
所以或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象；其他不等式的解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据计算即可；
（2）①根据，分别令，利用方程组法即可得解；
②由①得，分离参数可得，令，，则转化为在上仅有一个实根，再结合函数图象求解即可.
1 / 1湖北省2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·湖北月考）若集合，则( )
A． B．
C． D．
2．（2024高一下·湖北月考）在复平面内，复数满足，则复数的虚部为( )
A．-1 B． C．-2 D．
3．（2024高一下·湖北月考）已知，则( )
A． B． C． D．
4．（2024高一下·湖北月考）对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．（2024高一下·湖北月考）一个圆台的上、下底面的半径为1和4，母线为5，则该圆台的体积为( )
A． B． C． D．
6．（2024高一下·湖北月考）若，则( )
A． B． C． D．
7．（2024高一下·湖北月考）已知向量满足，且，则( )
A． B． C． D．
8．（2024高一下·湖北月考）已知函数对都有，若的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是( )
A． B．是奇函数
C．是周期为4的周期函数 D．
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9．（2024高一下·湖北月考）已知为虚数单位，下列说法正确的是( )
A．若复数，则
B．若复数满足，则
C．若复数满足，则或
D．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．（2024高一下·湖北月考）对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是( )
A．函数的图象关于原点对称
B．函数的值域为
C．对于任意的，不等式恒成立
D．不等式的解集为
11．（2024高一下·湖北月考）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体也称为“阿基米德多面体”，如图所示的半正多面体由正方体截去八个一样的四面体得到的，其棱长为1，也称为二十四等边体.关于如图所示的二十四等边体，下列说法正确的是( )
A．和的夹角为
B．该几何体的体积为
C．平面ELI与平面DCG的距离为
D．二十四等边体表面上任意两点间距离最大为2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12．（2024高一下·湖北月考）如图，已知的半径为2，弦AB的长度为3，则 .
13．（2024高一下·湖北月考）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面为棱PA的中点，则直线CE与平面PAB所成角的余弦值为 .
14．（2024高一下·湖北月考）如图，在中，分别是边AB，AC上的点，，且，点是线段DE的中点，且，则 .
四、解答题：本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高一下·湖北月考）已知向量，向量与向量的夹角为.
（1）求的值.
（2）若，求实数的值.
（3）在（2）的条件下，求向量在向量方向上的投影向量的坐标.
16．（2024高一下·湖北月考）已知函数的最小正周期为.
（1）求的解析式；
（2）求在上的单调增区间.
17．（2024高一下·湖北月考）如图，在正三棱柱中，分别是的中点.
（1）若点E为矩形内动点，使得面CPN，求线段ME的最小值；
（2）求证：面.
18．（2024高一下·湖北月考）已知分别为锐角三角形ABC三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若为BC的中点，求中线AD的取值范围.
19．（2024高一下·湖北月考）已知集合且是定义在上的一系列函数，满足，.
（1）求的解析式；
（2）若为定义在上的函数，且.
①求的解析式；
②若关于的方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
函数定义域为，则集合，
故.
故答案为：B.
【分析】分别解一元二次不等式、对数型函数的定义域求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，
则复数的虚部为.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算化简求复数，再根据虚部的定义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，因为，所以，
，故.
故答案为：B.
【分析】根据对数函数的运算性质结合对数函数的单调性可得，再计算与1比较即可得大小关系.
4．【答案】A
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A、若，则，故A正确；
B、若，则或，故B错误；
C、若，则或或相交，故C错误；
D、若，则或，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据空间中线面位置关系及性质判断即可.
5．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆台的高为h，上、下底面半径分别为，易知，
则.
故答案为：C.
【分析】先求圆台的高，再根据圆台体积公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，解得，
因为，，所以，
则，即，
联立，，解得，
则，故.
故答案为：D.
【分析】将两边同时平方求出，结合求出，解方程结合同角三角函数的商数关系求出，最后根据正切的二倍角公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，两边平方可得，
即，即，则，
同理，，，即；
，，，即；
则，
，
，
故.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件分别求出，，，再求，，，利用向量的夹角公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：B、因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，且函数的定义域为，所以是偶函数，故B错误；
C、因为函数对都有，所以当时，，
又因为是偶函数，所以，即，
则，故是周期为6的周期函数，故C错误；
D、因为是周期为6的偶函数，所以，
，
又因为对，当时，都有，
所以在上单调递减，所以，即，故D正确；
A、 因为对，当时，都有， 所以在上单调递减，，则，故A错误.
故答案为：D.
【分析】根据函数图象的平移可得是偶函数即可判断B；对都有，取，可求得，进而得到成立，即可判断C；再由已知可得在上单调递减，结合偶函数的性质及周期性，即可判断AD.
9．【答案】A,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、，，则，故A正确；
B、当复数 ，满足，但虚数不能比较大小，故B错误；
C、当时，满足，但且，故C错误；
D、令，，，
所以，化简得，所以在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再利用复数高次幂的周期性求解即可判断A；根据复数不可以比较大小，即可判断B；举特例求解即可判断C；令复数的代数形式，根据题意，求得关于的方程即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；一元二次不等式及其解法；不等式的证明
【解析】【解答】解：A、当时，，当时，，
所以，不是奇函数，即函数的图象不是关于原点对称，故A错误；
B、由取整函数的定义知， ，则，
即，故函数的值域为，故B正确；
C、因为，，所以，故C正确；
D、由得，解得，结合取整函数的定义可得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义即可判断A；由取整函数的定义得到，即可判断BC；先解一元二次不等式，再根据取整函数的定义即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间中两点间的距离公式；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间向量的夹角与距离求解公式；余弦定理
【解析】【解答】解：将正多面体补成正方体，则正方体的边长为，
A、连接，，如图所示：
则和的夹角等价于，因为，
在中，，则，
所以，即，则和的夹角为，故A错误；
B、由图可得该几何体的体积，
因为，，
所以，故B正确；
C、因为，，，，，平面，
，平面，根据线面平行及面面平行的判定可得平面平面，
则平面与平面的距离等价于到平面的距离，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，
所以到平面的距离，故C正确；
D、由图可得，二十四等边体表面上任意两点间的最大距离为，由C可得，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】将正多面体补成正方体，连接，，和的夹角等价于，计算出的长，由余弦定理可得即可判断A；由该几何体的体积，计算即可判断B；证明平面平面，平面与平面的距离等价于到平面的距离，建立空间直角坐标系，利用点到平面的向量公式计算即可判断C；由图可得二十四等边体表面上任意两点间的最大距离为，利用空间中两点距离公式计算即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：过作垂直于，垂足为，如图所示：
由圆的性质，可得点为中点，因为，所以，
在中，，
则.
故答案为：
【分析】根据题意先求出，再根据向量数量积的定义求解即可.
13．【答案】
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
连接，如图所示：
则即为直线与平面所成角，
由，故在直角三角形中，，
故，则，
故直线与平面所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面角的定义作出线面角的平面角计算即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：由中，，
得，则.
由，且得，则，即.
由是的中点，所以，
所以，
又因为，所以，
化简可得，又因为，所以，则.
故答案为：.
【分析】在中，利用余弦定理可得，再根据向量的数量积计算，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量的基本定理求得的值，求解即可.
15．【答案】（1）解：由题意可得：，
，则；
（2）解：，且，则，即，解得：；
（3）解：在（2）的条件下，，
则与向量同向的单位向量，
又因为向量在向量方向上的投影为：，
所以向量在向量方向上的投影向量为：.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的夹角公式直接求解即可；
（2）根据向量垂直的坐标表示，列式求解即可；
（3）根据投影向量定义直接求解即可.
16．【答案】（1）解：，
因为，所以，所以；
（2）解：由（1）得函数，令，
可得，
因为，所以在上的单调增区间为.
【知识点】二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式，辅助角公式化简，再根据正弦函数的最小正周期公式求解即可；
（2）由（1）可得，令，即可求出的单调增区间，令和，即可求出在上的单调增区间.
17．【答案】（1）解：连接，如图所示：
在正方形中，因为分别为，的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为面面CPN，所以面，
在中，因为分别为，的中点，所以，
因为面，面，所以面，
因为，面，面，所以面面，
所以当， 面，面，当时，最小，
在中，，则的最小值为；
（2）解：在正方形中，，设，则为中点，
连接、，如图所示：
因为分别为，的中点，所以且，
又因为为中点，且，所以且，
又因为面，所以四边形为矩形，所以，
又，，面，面，所以面，所以面，
又面，所以，又，面，面，
所以面.
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由线面平行的判定有面，面，结合面面平行的判定可证面面，由题意可知时，最小，在中，即可求线段的最小值；
（2）连接、，根据线面垂直的判定定理证明即可.
18．【答案】（1）解：由，根据正弦定理可得，
即
化简整理得，即，
又因为所以，即；
（2）解：因为，两边平方得，，
在中，由余弦定理得，，即，
所以，
在中，由正弦定理得，，所以，
所以
因为为锐角三角形，所以且，得，
所以，所以，所以，
所以中线AD的取值范围是.
【知识点】平面向量的数量积运算；三角函数的化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换化简求值即可；
（2）由向量数量积的运算律可得，再利用余弦定理和正弦定理化简，结合锐角三角形求解即可.
19．【答案】（1）解：因为，所以，
，；
（2）解：①由（1）得①，
因为，所以②，③，
由②-③得
由①-④得
所以；
②由①得，
即，
即，
即，
当时，不成立，
所以，
故，
令，因为，故，
所以在上仅有一个实根，
令，则，
即在上仅有一个实根，
画出函数的图像，如图所示：
由图可知，或，
所以或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象；其他不等式的解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据计算即可；
（2）①根据，分别令，利用方程组法即可得解；
②由①得，分离参数可得，令，，则转化为在上仅有一个实根，再结合函数图象求解即可.
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