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第二十六章 反比例函数
章末知识复习
知识点一 反比例函数的图象与性质
B
>
3.如图所示的是三个反比例函数图象的分支,则k1,k2,k3的大小关系是 .
k1
知识点二 反比例函数的比例系数k的几何意义
6
3
知识点三 反比例函数的综合应用
C
7.(跨学科融合)某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强 p(kPa) 是气体体积 V(m3) 的反比例函数,其图象如图所示,则当气球内气体体积V(m3)的范围是 0.848(2)点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1,连接AB,CB,求△ACB的面积.
类型一 方程思想
应用方程思想的常见类型
(1)双曲线、直线的交点坐标与方程的关系;
(2)根据点的坐标确定函数的解析式.
(2)点P在x轴上,△ABP是以AB为腰的等腰三角形,求点P的坐标.
类型二 数形结合思想
应用数形结合思想的几种题型
(1)反比例函数与其他函数图象的综合;
(2)反比例函数的系数k与图形面积的关系;
(3)利用反比例函数图象求不等式的解集.
C
类型三 分类讨论思想
分类讨论思想的常见题型
(1)存在问题中点的个数;
(2)面积(或长度)的计算.
(2)已知点E(a,0)满足CE=CA,求a的值.
A
C
>
-4
(2)请直接写出y1≥y2时,x的取值范围.
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第二十六章 反比例函数
2022年新课标要求
学业要求 学生核心素养目标
1.理解和掌握反比例函数的图象和性质,了解系数k的几何意义,并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算;能解决反比例函数与一次函数的综合问题. 2.通过分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,再利用反比例函数解决实际问题,掌握反比例函数在其他学科中的运用,体验学科的整合思想. 经历画图、观察、猜想、思考等数学活动,让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征.会应用函数图象解决一些问题,渗透数形结合的思想;运用函数的观点处理实际问题,经历数学知识的应用过程,建立模型观念.
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
1.反比例函数的概念
一般地,形如 (k为常数,k )的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是 的一切实数.
2.反比例函数的三种表达形式
(1) ;
(2) ;
(3) (其中k为常数,且k≠ ).
≠0
不等于0
y=kx-1
xy=k
0
反比例函数的概念
[例1] 已知函数y=(m+3)·x2-|m|是反比例函数,求m的值.
解:∵y=(m+3)·x2-|m|是反比例函数,
∴2-|m|=-1,且m+3≠0,解得m=3.
∴m的值是3.
新知应用
C
反比例
±1
确定反比例函数的解析式
[例2] 已知y与x成反比例,并且当x=-3时y=4.
(1)写出y与x之间的函数解析式;
(2)求当x=1.5时y的值.
(2)代→把x,y的值代入解析式;
(3)求→求得k的值;
(4)换→把k的值替换解析式中的k.
新知应用
C
C
B
3.(2022黄浦区期末)下列说法正确的是( )
A.一个人的体重与他的年龄成正比例关系
B.圆的周长与直径成正比例关系
C.周长一定时,长方形的长与宽成反比例关系
D.车辆行驶的速度v一定时,行驶的路程s与时间t成反比例关系
B
4.已知y与x之间的对应值如下表:
y与x之间的函数解析式为 .
x … 1 2 3 4 5 6 …
y … 6 3 2 1.5 1.2 1 …
5.某三角形的面积为15 cm2,它的一边长为x cm,且此边上高为y cm,请写出x与y之间的解析式,并求出当x=5时,y的值.
6.已知函数y=(m-1)x|m|-2是反比例函数.
(1)求m的值;
(2)求当x=3时,y的值.
解:(1)|m|-2=-1且m-1≠0,
解得m=±1且m≠1.
∴m=-1.
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26.2 实际问题与反比例函数
第1课时 反比例函数在实际生活中的应用
1.用反比例函数解决实际问题时,注意各字母表示的意义及自变量的
.
2.运用实际问题中成反比例函数关系的数量关系求出函数的解析式,并解决实际问题.
取值范围
实际问题中的反比例函数的解析式
[例1] 已知某运动鞋每双的进价为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如下表所示:
(1)观察表中数据,x,y满足什么函数关系 请求出这个函数解析式.
第1天 第2天 第3天 第4天
售价x/(元/双) 150 200 250 300
销售量y/双 40 30 24 20
(2)若商场计划每天的销售利润为3 000元,则其单价应定为多少元
(2)将相关数据代入解析式求得k的值;
(3)根据解析式或图象确定自变量的取值范围.
应用反比例函数解决实际问题的步骤
(1)根据实际问题中的信息设出函数的解析式;
新知应用
C
实际问题中反比例函数的图象
[例2] 某种商品上市之初采用了大量的广告宣传,此时该商品的日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系,当广告停止后,日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系(如图所示),现已知上市20天时,当日销售量为200件.
(1)写出该商品上市以后日销售量y(件)与上市的天数x(天)之间的解析式.
(2)当上市的天数为多少时,日销售量为100件
新知应用
B
1.矩形的面积一定,此矩形的长x与宽y的函数关系图象是( )
A
C
3.码头工人每天往一艘轮船上装载30 t货物,装载完毕恰好8天时间.轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度v(单位:吨/天)与卸货天
数t之间的函数关系式为 .
4.一种电器的使用寿命n(月)与平均每天使用时间t(h)成反比例,其关系如图所示.
(1)使用寿命n(月)与平均每天使用时间t(h)之间的函数解析式为
;
(2)当t=5 h时,电器的使用寿命是 个月.
96
5.如图所示的是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图,建立如图所示的坐标系.其中BC段可看成是反比例函数图象的一段,矩形AOEB为向上攀爬的梯子,梯子高6 m,宽 1 m,出口C点到BE的距离CF为
11 m,求:
(1)BC段所在的反比例函数解析式是 .
(2)C点到x轴的距离CD长是多少
(3)若滑梯BC上有一个小球Q,Q的高度不高于3 m,则Q到BE的距离至少多少米
第2课时 反比例函数在其他学科中的应用
常见的与物理相关的反比例函数
1.杠杆原理:动力×动力臂=阻力× .
2.电压U一定时,电流I与电阻R之间的函数解析式为 .
3.压力F一定时,压强p与受力面积S之间的函数解析式为 .
阻力臂
反比例函数在物理学科中的应用
[例1] 在某一电路中,保持电压不变,电流 I(A)与电阻R(Ω)成反比例,当电阻R=5 Ω 时,电流I=2 A.
(1)求I与R之间的函数解析式;
(2)当电流I=0.5 A时,求电阻R的值.
新知应用
1.一定质量的氧气,它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数,当V=100 m3时,ρ=1.4 kg/m3;那么当V=2 m3时,氧气的密度为
kg/m3.
70
2.小明欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别是1 000 N和0.3 m.
(1)试确定动力F(N)关于动力臂l(m)的函数解析式(不写自变量的取值范围);
(2)求当动力F=600 N时,动力臂l的长.
反比例函数在其他学科中的应用
[例2] 已知当溶质质量固定时,溶液的浓度与溶液质量成反比例.将50 g的盐酸放入一杯水中,此时盐酸溶液总重x g,溶液的浓度为y.
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)若想将浓度控制在16%～20%之间,水的质量为多少
新知应用
A
2.某医药研究所开发一种新药,成年人按规定的剂量服用,服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的函数关系近似满足如图所示的图象,当每毫升血液中的含药量不少于0.5 mg时治疗有效,则服药一次治疗疾病有效的时间为 h.
7.875
1.1888年,海因里希·鲁道夫·赫兹证实了电磁波的存在,这成了后来大部分无线科技的基础.电磁波波长λ(单位:m)、频率f(单位:Hz)满足函数关系λf=3×108,下列说法正确的是( )
A.电磁波波长是频率的正比例函数
B.电磁波波长20 000 m时,对应的频率为 1 500 Hz
C.电磁波波长小于30 000 m时,频率小于10 000 Hz
D.电磁波波长大于50 000 m时,频率小于 6 000 Hz
D
2.(2023南充)小伟用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1 000 N和0.6 m,当动力臂由1.5 m增加到2 m时,撬动这块石头可以节省 N的力(杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂).
100
p14.一个用电器的电阻是可调节的,其调节范围为110～220 Ω.已知电压为220 V,这个用电器的功率P的范围是 W(P表示功率,R表示电阻,U表示电压,三者关系式为P·R=U2).
220≤P≤440
5.(2022台州)如图所示,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
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26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
2.反比例函数的性质
(1)当k>0时,双曲线的两支分别位于 象限,在每一个象限内,y随x的增大而 ;
(2)当k<0时,双曲线的两支分别位于 象限,在每一个象限内,y随x的增大而 .
双曲线
第一、第三
减小
第二、第四
增大
反比例函数的图象
[例1] 画出下列反比例函数的图象:
观察这两组函数图象,回答问题:
(1)反比例函数的图象的形状是 ,它 (选填“是”或“不是”)对称图形;
(2)①中图象位于第 象限;②中图象位于第 象限,反比例函数所在象限是由 决定的;
(3)每个函数图象与坐标轴 交点(选填“有”或“无”).
解:(1)双曲线 是
(2)一、三 二、四 k的值
(3)无
(2)间断性:双曲线的两个分支是断开的,且不与坐标轴相交;
(3)对称性:双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)又是轴对称图形(对称轴是直线y=x或直线y=-x).
反比例函数图象的特点
(1)两支性:图象是双曲线,它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限;
新知应用
D
1(答案不唯一)
反比例函数的性质
(2)当k取什么值时,在每个象限内y随x的增大而减小
反比例函数的增减性不是连续的,在描述反比例函数的增减性时,必须强调“在每一个象限内”,不能笼统地说“y随x的增大而增大(或减小)”.
新知应用
D
-1
A
B
D
k>-3
k>2 023
(2)你认为点B(-2,4)在这个函数的图象上吗
(3)在第二象限内,y随x的增大而 (选填“增大”或“减小”).
解:(2)由(1)可知k=-2,点B(-2,4)中,(-2)×4=-8≠-2,
∴点B不在这个函数的图象上.
(3)增大
第2课时 反比例函数的图象和性质的应用
1.反比例函数的系数k的几何意义
|k|
2.反比例函数与一次函数的综合应用
(1)求函数解析式;(2)求交点坐标;(3)比较函数值的大小:根据函数图象分析,上方函数图象的值 ,进而确定自变量的取值范围;(4)求三角形的面积.
大
反比例函数比例系数k的几何意义
[例1] 如图所示,点P1,P2,P3分别是双曲线同一支图象上的三点,过这三点分别作y轴的垂线,垂足分别是A1,A2,A3,得到的三个三角形△P1A1O,△P2A2O,△P3A3O.设它们的面积分别为S1,S2,S3,则它们的大小关系是( )
A.S1>S2>S3 B.S3>S2>S1
C.S1=S2=S3 D.S2>S3>S1
C
根据k求相关图形的面积,结果是唯一的;而反过来,根据相关图形的面积求k的值时,若不能明确双曲线的位置,则结果不是唯一的,一般要分k为正数、负数两种情况讨论.
新知应用
C
3
反比例函数与一次函数的应用
(2)求点C的坐标及S△AOB;
(3)直接写出当一次函数值小于反比例函数值时的x的取值范围.
(3)-21
新知应用
D
A
A
2
2
(2)求△AOB的面积.
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